立體幾何教學的“虛”與“實”

舒登科

最近在立體幾何教學中，筆者發(fā)現(xiàn)很多同學對立體幾何中的點線面的關(guān)系處理起來很困難，教師講得津津有味，但學生聽著是天花亂墜，一頭霧水。認真分析一下原因，是因為教師和學生對幾何體的感知出現(xiàn)了差異，教師在講課時他的腦子里面是有這個幾何體的，而學生在教師講課時，腦子里面什么都沒有，這必然造成學生認識上的偏差。

怎樣解決以上問題？我思考了很長時間，我認為最重要的是要讓學生和教師建立在同一個思維空間，讓學生也能想到這個幾何體，要讓學生有能觸摸到的感覺，教師若能長期這樣開展立體幾何教學，我相信一定會培養(yǎng)好學生的空間想象能力。

幾何畫板作為一款非常優(yōu)秀的教學輔助軟件，可以很好地解決上面的問題。教師如果能靈活運用，不僅可以降低學生的思維維度，提高課堂的效率，而且還能把抽象的空間想象問題轉(zhuǎn)化為具體的實際問題，讓學生感受到生活中的變化的無規(guī)律性和規(guī)律的統(tǒng)一性。下面我用球的內(nèi)接問題來闡述我的觀點。

一、直棱柱外接球問題

1.正方體外接球

問題提出：知道正方體的邊長為a，求它的外接球的半徑。

問題分析：易知正方體和球都是對稱的圖形，那么正方體的體的中心就應該是球的球心，正方體的體對角線AC′就是球的直徑，用幾何畫板作出圖形如圖1。通過圖形讓學生感知了這個事實，學生也更會接受這個事實，從而使學生在掌握知識的牢固性和提高數(shù)學的興趣性上面都有了很大的提高。

2.長方體外接球問題

有了剛才的球的內(nèi)接正方體知識的鋪墊，我們很容易解決球的內(nèi)接正方體問題。如：已知長方體的長為a，寬為b，高為c，求它的外接球的半徑。

問題分析：長方體也具有對稱性，它的體對稱中心也是球的球心，那么要求出球的直徑，就只要求出長方體的體對角線的長度，所以有2R=，作出圖2幫助學生更容易理解。

3.底面是直角三角形的直棱柱外接球問題

這個問題可以變式地看成是在長方體中沿著面A′C切去一半得到的圖形（圖3），解法等同長方體外接球的解法。

4.底面是正三角形的直棱柱外接球問題

問題提出：已知底面是邊長為a的正三角形，高為h的直三棱柱ABC-A′B′C′，求它的外接球的半徑。

問題分析：底面是正三角形的直棱柱也是一個高度對稱的幾何體，它的體對稱中心也必然和球心重合。

解決問題：∵O′是正三角形A′B′C′的中心，

∴O′C′=a×sin60°，又∵OO′=h，∴OC′。

二、正四面體的外接球問題

正四面體可以看成是正方體切割而成，所以能解決正方體外接球問題就一定能解決正四面體外接球問題，圖形的演變過程與下：

這類問題都有一個共同的特點，就是具有對稱性，我們教師若能在教學時抓住這點，把正方體的外接球問題解決好，后面幾個問題只要能夠借助信息技術(shù)畫出圖形，降低學生的思維維度，把學生認為比較“虛”的幾何體“實”體化，這樣的數(shù)學課堂不僅有趣，而且還會讓學生觸類旁通地理解了問題的本質(zhì)。

（作者單位：福建省沙縣金沙高級中學）