高中數(shù)學(xué)“怎樣審題”表及其應(yīng)用

張哲++韓紅軍++張紅祥

[摘 要]復(fù)習(xí)是教學(xué)過(guò)程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，初中化學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程不是老師將學(xué)生的知識(shí)進(jìn)行機(jī)械的重復(fù)和再現(xiàn)，也不是按照老師劃定的內(nèi)容讓學(xué)生死記硬背，而是應(yīng)該先按照教材體系使知識(shí)前后系統(tǒng)化，形成知識(shí)鏈，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，突出知識(shí)之間的相互聯(lián)系，使學(xué)生正確理解和掌握所學(xué)知識(shí)，提高綜合能力。

[關(guān)鍵詞]初中化學(xué)；復(fù)習(xí)；能力培養(yǎng)

美籍?dāng)?shù)學(xué)家喬治﹒波利亞（George Polya）的“怎樣解題表”將解題分為四部分：審題，轉(zhuǎn)換，實(shí)施，反思，指出“審題”作為解題過(guò)程的第一步驟至關(guān)重要。[1]審題作為解題的第一環(huán)節(jié)，它是確定解題的依據(jù)，是形成解題思路的重要一環(huán)，審題的正確與否，直接關(guān)系解題的成效，只有全面透徹的審題，才能有明確的解題方向，合理的解題思路。

審題是解題的靈魂，審題為解題思維提供切入點(diǎn)和突破點(diǎn)，審題過(guò)程可以看成是一個(gè)思維定向的過(guò)程，即在審題中分析目標(biāo)、簡(jiǎn)化目標(biāo)，由抽象到具體，將不易把握轉(zhuǎn)化為可把握，根據(jù)條件聯(lián)想類(lèi)似方法，解題思路由封閉轉(zhuǎn)變?yōu)殚_(kāi)放，讓學(xué)生進(jìn)行有效地思維，逐步使學(xué)生能夠準(zhǔn)確、完整地把握概念、公式、定理。[2]

1 程序化審題的模式

1.1 什么是審題

數(shù)學(xué)審題是解數(shù)學(xué)題的首要步驟，是正確解題的前提，是提取解題有用信息的積極思維活動(dòng)。審題是解題的開(kāi)始，是感知問(wèn)題，分析問(wèn)題特征，并將其反映在頭腦中的思維活動(dòng)。

從圖式的角度看，審題圖式包含了預(yù)測(cè)、選擇、檢驗(yàn)、證實(shí)等心理活動(dòng)。在審題過(guò)程中，圖式一經(jīng)啟動(dòng)，所有圖式中的信息都將處于一種準(zhǔn)備狀態(tài)，可以隨時(shí)參與理解，但又過(guò)于雜亂，于是圖式會(huì)結(jié)合數(shù)學(xué)問(wèn)題的各方面信息，從中選擇最合適的內(nèi)容與圖式中的信息進(jìn)行交流。在審題過(guò)程中，如果證明某條信息是錯(cuò)誤的，或是發(fā)現(xiàn)有新的信息能給予數(shù)學(xué)問(wèn)題更合理的解釋?zhuān)敲磮D式將重組，不斷摒棄、修正。

從審題的程序看，審題可以分為“四個(gè)步驟”：（1）讀題——弄清字面含義。（2）理解——弄清數(shù)學(xué)含義。（3）表征——識(shí)別題目類(lèi)型。（4）深化——接近深層結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)單題一旦弄清題意，題型就得以識(shí)別，思路隨之打通，但有時(shí)認(rèn)識(shí)是淺層的.對(duì)于變通過(guò)的、“形似而質(zhì)異”的、或綜合性較強(qiáng)的題目，則還要不停頓地“弄清問(wèn)題”.因而，“弄清題意”的工作在“識(shí)別題目類(lèi)型”之后還結(jié)束不了，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：其一是在思路探求中，還有一個(gè)繼續(xù)弄清題意的過(guò)程，否則會(huì)思路受挫、思維走偏；其二是在思路業(yè)已打通、解法初步得出時(shí)，仍有一個(gè)回顧反思、再認(rèn)識(shí)的過(guò)程，即更本質(zhì)的“弄清問(wèn)題”、努力接近問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu).[3]

根據(jù)以上研究成果，本文所涉及的數(shù)學(xué)審題就是對(duì)題目信息進(jìn)行觀察、理解、處理，感知數(shù)學(xué)問(wèn)題中的文字和圖形信息，弄清哪些是條件，哪些是結(jié)論，獲取數(shù)學(xué)“符號(hào)信息”和“形象信息”，識(shí)別題目的類(lèi)型，將獲取的信息不斷重新整合，提取有用的結(jié)論，明確解題方向、思路和途徑；在解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)已知和未知之間的聯(lián)系無(wú)法建立時(shí)回題，檢查是否遺漏或忽略某一條件；當(dāng)問(wèn)題得到解答時(shí)，檢測(cè)結(jié)論是否與已知相符合，是否與已知有矛盾之處的一種立體螺旋式動(dòng)態(tài)思維活動(dòng)。

1.2 程序化審題的模式

數(shù)學(xué)審題貫穿于整個(gè)解題過(guò)程之中，包括解題前的初審、解題中的再審、解題后的終審三部分。三部分互相依存，形成一個(gè)有機(jī)的整體，又密不可分。

2 “怎樣審題”表

仿照美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞（George Polya，1887～1985） 1945年所著的《怎樣解題》一書(shū)中提到的“怎樣解題”表，我們?cè)O(shè)計(jì)了高中數(shù)學(xué)“怎樣審題”表，主要包括解題前的初審、解題中的再審、解題后的終審三部分.

2.1 解題前的初審——弄清問(wèn)題 尋找聯(lián)系

2.2 解題中的再審——挖掘隱含 突破障礙

2.3 解題后的終審——反思回望 檢驗(yàn)論證

3 “怎樣審題”表的應(yīng)用

我們以下題為例說(shuō)明“怎樣審題”表的應(yīng)用，原題如下：已知 ，則 的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

第一步，解題前的初審

弄清題意：本題是解析幾何問(wèn)題，圓是載體，已知條件主要有： 結(jié)論主要有：求 的取值范圍。

明確范圍：本題涉及圓的一般方程、標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程之間的互化，涉及多參數(shù)問(wèn)題的處理策略。

確定類(lèi)型：本題屬于解析幾何中多參數(shù)最值問(wèn)題。

根據(jù)上述分析，我們很容易想到下列審題程序一：

根據(jù)上述思路，我們很容易求出

嘗試回憶：此問(wèn)題與下列問(wèn)題非常相似： 是曲線

上任意一點(diǎn)，則 的最大值是（ ）

A.36 B.6 C.26 D.25

這兩個(gè)問(wèn)題結(jié)論非常相似，但是條件好像完全不同，實(shí)則可以將本題條件圓的一般方程變形為圓的參數(shù)方程。

展開(kāi)聯(lián)想：聯(lián)想到下列問(wèn)題：若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足

求x+y+1的最大值。

本題已知條件 可以變形成

顯然這是一個(gè)圓，此問(wèn)題可以借助圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求最值問(wèn)題，于是我們可以得到如下審題程序二：

第二步，解題中的再審

本題涉及兩個(gè)變量，而且結(jié)論中的 所以上述審題程序一是有漏洞的，失誤主要是忽略了題目中由于兩個(gè)變量x，y的相互制約所隱含的變量x的取值范圍，所以我們可以進(jìn)一步完善上述審題程序一如下：

回歸定義：繼續(xù)深入審視本題，已知條件 可以變形成 即 由上述審題程序一中知：

聯(lián)想到涉及兩個(gè)參數(shù)的范圍，求最值問(wèn)題，我們很自然想到線性規(guī)劃的定義，能否運(yùn)用線性規(guī)劃知識(shí)求解，于是我們可以得到如下審題程序三：

第三步，解題后的終審

運(yùn)用此題的審題程序我們也可以用來(lái)解決下列問(wèn)題：

1.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足 則 的最小值為（ ）

A.3 B.5 C.9 D.25

2.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足 ，求：

（1） 的最值； （2） 的最小值； （3） 的最值。

數(shù)學(xué)審題的目的就在于理解題目，所以我們必須做好以下幾件事：（1）仔細(xì)審題，抓住題干，弄清題設(shè)條件的數(shù)學(xué)含義。（2）抓住題設(shè)條件中的關(guān)鍵字眼，聯(lián)想是否有已知結(jié)論可以借用。（3）排除迷惑，不要受題設(shè)條件中非關(guān)鍵字眼的影響，以至于產(chǎn)生不必要的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)想。（4）盡可能挖掘題設(shè)條件中的“隱性信息”。（5）嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言或圖形來(lái)表達(dá)題目。（6）若題設(shè)條件與幾何意義明顯，畫(huà)出草圖來(lái)理解題目含義。數(shù)學(xué)審題過(guò)程它不僅對(duì)解題者的知識(shí)基礎(chǔ)和知識(shí)結(jié)構(gòu)有要求，而且依賴(lài)于解題者擁有良好的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。

數(shù)學(xué)審題能力的高低，直接反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的水平。在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)審題能力的提高對(duì)于學(xué)生正確快速解題的作用體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：（1）有利于理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生審題，可以使學(xué)生明了解題方向，理清解題思路，抓住題目重點(diǎn)；可以加深學(xué)生對(duì)有關(guān)內(nèi)容的理解，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系及規(guī)律；可以使學(xué)生的知識(shí)局限得以突破，從而拓展思維，優(yōu)化知識(shí)框架，完善知識(shí)體系。（2）有利于促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化。培養(yǎng)學(xué)生的審題意識(shí)，才能促使學(xué)生在審題中提升思維品質(zhì)，做到準(zhǔn)確細(xì)致、深刻全面，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，做到目標(biāo)明確，重點(diǎn)突出，善于挖掘，進(jìn)一步提高學(xué)生準(zhǔn)確找到解決問(wèn)題突破口的能力。（3）有利于培養(yǎng)學(xué)生“提出問(wèn)題”的意識(shí)。教會(huì)學(xué)生“提出問(wèn)題”是教會(huì)學(xué)生怎樣解題的一個(gè)切入口和突破口。為了激發(fā)學(xué)生提出問(wèn)題的興趣和意識(shí)，在審題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生緊扣題目的條件和結(jié)論，進(jìn)行分析、聯(lián)系、轉(zhuǎn)化等操作，進(jìn)而讓學(xué)生學(xué)會(huì)“提問(wèn)”。（4）有利于培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)。“學(xué)起于思，思源于疑”。在數(shù)學(xué)審題過(guò)程中，我們應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地鼓勵(lì)學(xué)生多方位、多角度地思考問(wèn)題，對(duì)題中的各個(gè)條件之間的聯(lián)系，新的結(jié)果等進(jìn)行大膽猜想，主動(dòng)質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并嘗試解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞，閻育蘇譯.怎樣解題[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]周小芬.高中數(shù)學(xué)審題訓(xùn)練方法探究[J].麗水學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（10）：95—97.

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)審題審什么，怎么審？[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（4）：39—43.

本文是2015年陜西省教育學(xué)會(huì)一般課題——高中學(xué)生數(shù)學(xué)審題失誤的原因與對(duì)策研究（編號(hào)：SJHYBKT2015315—02）的研究成果。