變形計(jì)

趙軍　周玉俊

【摘 要】 在學(xué)生的思維發(fā)展區(qū)內(nèi)，對(duì)“題源”進(jìn)行由易到難、循序漸進(jìn)的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生經(jīng)歷問題變式的探索過程，豐富“變題”策略，感受探究樂趣，體驗(yàn)變與不變的辯證關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“變式思考”問題的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和探索能力的提升.

【關(guān)鍵詞】 變式；探究；旋轉(zhuǎn)

2016年4月10—11日，我市開展了義務(wù)教育階段骨干教師送教下鄉(xiāng)活動(dòng).初中數(shù)學(xué)活動(dòng)的主題定為“中考專題復(fù)習(xí)”，旨在通過本次活動(dòng)，研討九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的思路與備戰(zhàn)中考的相關(guān)策略，充分發(fā)揮課本的導(dǎo)向與輻射功能，進(jìn)一步提升復(fù)習(xí)效率，有效提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，增進(jìn)教師之間的業(yè)務(wù)交流，促進(jìn)教師的教學(xué)研究與專業(yè)成長.

1 課堂實(shí)錄

1.1 課前活動(dòng)

上課前，老師給每兩位同學(xué)（同桌）發(fā)兩個(gè)邊長不等的等邊三角形紙片，讓學(xué)生分組“玩”拼圖，“在玩中學(xué)，在學(xué)中玩”，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生.通過“動(dòng)手”操作，使其在實(shí)驗(yàn)過程中感悟數(shù)學(xué)問題的存在.

1.2 情境創(chuàng)設(shè)

師：同學(xué)們，對(duì)于《西游記》中的主人公，大家最喜歡誰？

生（齊）：孫悟空.

師：他有什么本領(lǐng)？

生1：他神通廣大，會(huì)七十二變！

師：好！老師今天就帶領(lǐng)大家一起來對(duì)一道習(xí)題進(jìn)行變化，看看誰的本領(lǐng)大？（板書課題的第一個(gè)字：“變”）在變化之前先讓我們一起來看課本上的這道習(xí)題.

原題再現(xiàn) （ 蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)第67頁第10題）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)A、C、E在一條直線上，AD與BE相等嗎？證明你的結(jié)論.

教學(xué)說明 用學(xué)生喜歡的孫悟空為例引入課題，不但深受學(xué)生喜愛，而且能夠充分吸引學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，達(dá)到了在較短的時(shí)間內(nèi)調(diào)動(dòng)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)的效果.所選例題也是大家所熟悉的課本原題，學(xué)生都會(huì)運(yùn)用全等三角形的知識(shí)進(jìn)行證明，在此基礎(chǔ)上展開變式探究拓展空間很大.

1.3 變式探究

1.3.1 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

師：請(qǐng)大家把課前準(zhǔn)備好的兩張等邊三角形紙片按原題拼好圖形，把較小的等邊三角形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，觀察并猜想：在旋轉(zhuǎn)過程中AD與BE的長度是否相等？（如圖2，老師用自制的教具演示）

教學(xué)說明 用教具（AD與BE用橡皮筋代替）演示時(shí)，隨著旋轉(zhuǎn)的變化，線段AD與BE的長度也在不斷變化，但它們相等的關(guān)系卻始終未變.加之教者語言上的啟發(fā)、動(dòng)作的展示，使學(xué)生感到不能僅僅滿足于課本問題的解決，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，使其形成強(qiáng)烈的探究愿望.

生2：旋轉(zhuǎn)過程中AD與BE的長度始終相等.

師：請(qǐng)大家畫出圖形，進(jìn)行證明.

變式1 如圖3，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點(diǎn)D落在△ABC外部（B、C、E不在同一直線上），求證：AD=BE.

教學(xué)說明 學(xué)生猜想到AD與BE相等，預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)生成，筆者順勢(shì)請(qǐng)大家畫出圖形并進(jìn)行證明，既訓(xùn)練了學(xué)生的動(dòng)手畫圖能力，又為學(xué)生的探究指明了方向，學(xué)生樂于探索，也想盡快對(duì)變化后的結(jié)論是否成立進(jìn)行求證，這樣的設(shè)計(jì)不僅彰顯了學(xué)生的主體地位，同時(shí)也體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用.

生3：證明的方法沒有改變，依然是運(yùn)用“邊角邊”證明△ACD≌△BCE，變化的是在證明∠ACD=∠BCE相等時(shí)，運(yùn)用了“等角加同角”.

師： 既然我們能夠把等邊△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，那么，能否改變旋轉(zhuǎn)的方向，在逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的情況下進(jìn)行探究呢？請(qǐng)大家畫出圖形，分組進(jìn)行探究.

1.3.2 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

變式2 如圖4，將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點(diǎn)D落在△ABC內(nèi)部，上述結(jié)論還成立嗎？為什么？

教學(xué)說明：學(xué)生剛剛感受到成功的喜悅，接著在逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的情形下進(jìn)行探究，學(xué)生的熱情不減，可引導(dǎo)學(xué)生乘勝追擊.

生4：結(jié)論仍然成立，同樣證明△ACD≌△BCE即可，唯一變化的是在找兩個(gè)角相等的時(shí)候，用的是“同減”，而不是“同加”.

教學(xué)說明 經(jīng)歷變式1，學(xué)生積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，在動(dòng)手畫圖的基礎(chǔ)上可以自己解決問題，有困難的同學(xué)可以請(qǐng)組內(nèi)成員進(jìn)行必要的幫助.

教師：同學(xué)們，如果兩個(gè)等邊三角形中的“小弟弟△CDE”漸漸長大了，使得點(diǎn)D落在AB上，此時(shí)除了AD=BE之外，你還有哪些新的發(fā)現(xiàn)？

1.3.3 旋轉(zhuǎn)過程中的特殊情形

變式3 （1）如圖5，在旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)D落在AB邊上，試猜想BE與AC之間的位置關(guān)系.

生5：由△ACD≌△BCE得：∠A=∠CBE=60°，再由等邊△ABC得：∠BCA=60°，所以∠CBE=∠BCA，故BE∥AC.

師（追問）：隨著△CDE的不斷長大，如果點(diǎn)D落在直線BA上，上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)你畫出圖形，繼續(xù)探究.

（2）如圖6，在旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)D落在BA延長線上，BE∥AC是否仍然成立？若成

立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖7，在旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)D落在AB延長線上，BE∥AC是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由. 圖5 圖6 圖7

教學(xué)說明 學(xué)生畫出的圖形通常有兩種，一部分同學(xué)畫出的是圖6；一部分同學(xué)畫出的是圖7，但不管畫出哪一種圖形，只要抓住△ACD≌△BCE即可解決問題，課堂上可充分發(fā)揚(yáng)民主，讓學(xué)生動(dòng)手畫圖，并說出自己的證明思路.

師：剛才大家對(duì)等邊三角形進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)、放大，實(shí)質(zhì)上就是針對(duì)圖形做適當(dāng)?shù)淖兓〒駲C(jī)板書課題的第二個(gè)字：“形”）.另外，我們還可以嘗試對(duì)題目中的條件與結(jié)論進(jìn)行互換，構(gòu)造新的命題，并判斷其是否為真，請(qǐng)大家看看下面的變式.

1.3.4 逆向變化

變式4 （1）如圖8，已知等邊△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)D，外部有一點(diǎn)E，且△ACD≌△BCE，求證：△CDE是等邊三角形；

生6：由全等可得相等，抓住CD=CE和∠DCE=60°即可證得. 圖8 圖9

師：（2）如圖9，在（1）的條件下，連接BD，若∠ADC=150°，試證明：DA2+DC2=DB2.

生7：證明DA2+DC2=DB2，可考慮把DA、DC、DB轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中去證明.

師（追問）：思路很好，那如何轉(zhuǎn)化呢？

生8：用全等，把它們都轉(zhuǎn)化到Rt△BDE中去.

……

教學(xué)說明 此處變化的目的主要是訓(xùn)練學(xué)生逆向思維的能力和對(duì)基本結(jié)論（“等邊遇等邊，全等邊角邊”）的運(yùn)用能力，體會(huì)“題中”的思想方法，為最后靈活運(yùn)用中探究三者平方關(guān)系做鋪墊.

1.3.5 建模思想

如圖10，等邊△ABC外部有一點(diǎn)P，連接PA，若∠BPC=30°，試探究：PA2、PB2、PC2之間的關(guān)系.

師：請(qǐng)大家借鑒變式4（2）中處理問題的方法和經(jīng)驗(yàn)，思考如何探究PA2、PB2、PC2之間的關(guān)系？思考片刻后，老師提醒大家分組討論.

（問題提出后，學(xué)生的思維得到激發(fā)，討論異常熱烈，一會(huì)兒功夫，有幾位同學(xué)高高舉起了手，一副躍躍欲試的樣子）

生9：如圖11，過點(diǎn)P作PD⊥BP，使PD=PC，連接CD、BD.（教師配合學(xué)生的表述，在黑板上畫出輔助線）

師：談?wù)勀闶窃趺聪氲模?/p>

生9：由圖可知：PA最長，所以它就是將來的直角三角形的斜邊，PB、PC應(yīng)該是未來的直角邊，所以，我想過點(diǎn)P作一條直角邊PD，來代替PC，這樣就會(huì)得到PB2+PC2=PB2+PD2=BD2，下面只需要證到BD=AP就OK了.

師：很好！思路很流暢！要證BD=AP，大家有辦法嗎？

生10：先證：△PCD為等邊三角形，再證：△ACP≌△BCD即可.

師：對(duì)了，這就回到圖3中的“等邊遇等邊，全等邊角邊”這個(gè)問題上來了.

教學(xué)說明 此處靈活運(yùn)用旨在引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想處理三者之間的關(guān)系，教學(xué)過程中可視學(xué)生學(xué)習(xí)情況靈活處理.

（此時(shí)，還有兩個(gè)同學(xué)高高地舉起右手，老師請(qǐng)其中一位同學(xué)發(fā)表自己的見解.）

生11：我的構(gòu)造方法與他不一樣，如圖12，過點(diǎn)P作PE⊥CP，使PE=PB，連接BE、CE.（教師配合學(xué)生的表述，在黑板上畫出輔助線）把PB2+PC2轉(zhuǎn)化為PE2+PC2=EC2，然后證明PA=EC即可.

師（追問）：怎樣證明PA=EC呢？

生12：證△EBC≌△PBA就可以了.

師：還有其它想法嗎？

生13：我看到剛才兩位同學(xué)的輔助線實(shí)際上就是以PC或PB為邊作等邊三角形，那么能否以PA邊作等邊三角形呢？

師：想法很好！課后我們不妨試試.（作為課后作業(yè)的一部分，考慮到時(shí)間問題，教者把此種方法延伸到課后）

教學(xué)說明 學(xué)生能往此方向去思考，變式的目的已經(jīng)達(dá)到，教者順勢(shì)把這個(gè)問題順延到課后，有效“拉長”了學(xué)習(xí)的長度和寬度.（事實(shí)上，運(yùn)用這種思路也可以進(jìn)行證明，如圖13，由等邊△PAD可以把PA轉(zhuǎn)化為PD，由△PAC≌△DAB可以把PC轉(zhuǎn)化為DB，只要證明到△PBD為直角三角形就可以了，結(jié)合四邊形ABPC內(nèi)角和為360°可得∠PCA+∠PBA=270°，即∠DBA+∠PBA=270°，從而得證.）

師：結(jié)合剛才的幾種變形，（黑板上圖形的展示）談?wù)勥@節(jié)課你的收獲？

生14：雖然圖形在變，但結(jié)合兩個(gè)等邊三角形證明全等一直未變.

生15：我們要學(xué)會(huì)思考問題，不能僅僅滿足于解題，還要多思考題目可以怎么變化？

師：兩位同學(xué)歸納得都很好！我們圍繞這道習(xí)題一直在思考一種“變形”的方法，即變形的“計(jì)謀”（擇機(jī)板書課題的第三個(gè)字：“計(jì)”），如圖14、15、16，事實(shí)上，我們還可以把兩個(gè)等邊三角形類比成兩個(gè)正方形或其它圖形，進(jìn)行“變形”研究，請(qǐng)大家課后繼續(xù)圍繞“變形”這個(gè)話題，寫一篇數(shù)學(xué)日記，把自己的思路與體會(huì)寫出來，與大家一起分享！ 圖14 圖15 圖16

師：最后，老師送給大家三句話：“形變法不變，你變我不變，以不變應(yīng)萬變！”下課！

教學(xué)說明 此時(shí)，變形的目的已經(jīng)達(dá)到，雖然題目在變，但解決問題的方法始終未變，學(xué)生似乎還沉浸在圖形的變化中，意猶未盡！

附：課后作業(yè) ：

探索研究

已知：△ABC和△CDE都是等邊三角形.

（1）如圖17，若點(diǎn)A、C、E在一條直線上時(shí)，我們可以得到結(jié)論：線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系為： ，線段AD與BE所成的銳角度數(shù)為 °；

（2）如圖18，當(dāng)點(diǎn)A、C、E不在一條直線上時(shí)，請(qǐng)證明⑴中的結(jié)論仍然成立；

靈活運(yùn)用

如圖19，某廣場(chǎng)是一個(gè)四邊形區(qū)域ABCD，現(xiàn)測(cè)得：AB=60m，BC=80m，且∠ABC=30°，∠DAC=∠DCA=60°，試求水池兩旁B、D兩點(diǎn)之間的距離.

2 教學(xué)反思

2.1 變式教學(xué)應(yīng)充分發(fā)揮課本的潛在功能

數(shù)學(xué)教材不僅是傳播知識(shí)的工具，而且是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生思維的極好素材.課本提供的例、習(xí)題作為教材的有機(jī)組成部分，是教學(xué)中不可忽視的重要內(nèi)容，它對(duì)幫助學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)，形成基本技能，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)和提高思維能力等都起著重要的作用.因此，如何深入挖掘課本典型題目的潛在價(jià)值，真正發(fā)揮其應(yīng)有的功能，為學(xué)生的思維發(fā)展架梯搭橋，是我們?cè)诮虒W(xué)中值得重視和探討的問題.

課本上原題所提供的是兩個(gè)等邊三角形，其目的是讓學(xué)生靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)來證明兩個(gè)三角形全等.如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中抓住了“等邊遇等邊，全等邊角邊”這一解決問題的核心，掌握?qǐng)D形變但方法不變的本質(zhì)，學(xué)會(huì)一通百通，就能達(dá)到融會(huì)貫通.學(xué)會(huì)方法的根本目的，真正發(fā)揮習(xí)題應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值.同時(shí)為學(xué)生的思維發(fā)展“添梯搭橋”，以求學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三、觸類旁通，讓學(xué)生經(jīng)歷探索問題的過程，感受數(shù)學(xué)探究的樂趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中變與不變的辯證關(guān)系.

2.2 變式教學(xué)應(yīng)充分尊重學(xué)生的主體地位

回顧本節(jié)課的教學(xué)，由老師帶著學(xué)生一起對(duì)基本圖形做變式探究，到放手讓學(xué)生通過動(dòng)手操作、小組合作、建立模型，以圖形變化、問題變式為導(dǎo)向，教者始終尊重學(xué)生的意見，使每位學(xué)生的潛能都得到最大可能的發(fā)揮，讓不同層次的學(xué)生都能學(xué)有所獲，彰顯了學(xué)生的主體地位，使學(xué)生真正成為課堂學(xué)習(xí)的主人.

本節(jié)課對(duì)問題變式步步深入、層層推進(jìn)，既兼顧到學(xué)生的基礎(chǔ)和能力，使每一個(gè)問題的變式都建立在前面問題的基礎(chǔ)之上，又保持了適度的“空間”，讓學(xué)生既不能輕易“得手”，又不覺得無計(jì)可施，使不同水平的學(xué)生在不知不覺中漸入佳境，在“拾階”而上的過程中，學(xué)生的靈感得以激發(fā)，思維得到拓展.同時(shí)，立足學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，通過師生交流、生生合作，時(shí)刻關(guān)注每一位學(xué)生的思維變化和探究過程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“變式性”地去思考問題.

德國哲學(xué)家狄慈根曾說過：“變式是學(xué)習(xí)之母”，對(duì)問題進(jìn)行變式就是一種積極的“重復(fù)”.實(shí)踐證明，在原題的基礎(chǔ)上對(duì)圖形和問題進(jìn)行變式是一項(xiàng)很有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)，變形過程中，給學(xué)生足夠的思考時(shí)間和互動(dòng)空間，使學(xué)生的思維得以發(fā)展，能力得到提高.隨著學(xué)生從答題者到“變式者”身份的悄然變化，學(xué)生的主體地位得到保證，“探索權(quán)”得到提升，最終效果體現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)上的事半功倍.

2.3 變式教學(xué)應(yīng)充分挖掘?qū)W生思維的“蘑菇”效應(yīng)

本節(jié)課主要對(duì)原題中的圖形和所提出的問題進(jìn)行“自然”變式，使學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)等邊三角形的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)中放大、位置特殊等過程，在“接力”式的變式探究過程中，讓學(xué)生在力所能及的范圍內(nèi)充分參與、積極思考.

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：“好問題如同某種蘑菇，有些相似，它們大都成堆地生長.找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍再找找，很可能在附近就有幾個(gè).”習(xí)題變式教學(xué)何嘗不是如此！作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，對(duì)此類問題的處理決不能就題論題，作為教者應(yīng)在學(xué)生的思維發(fā)展區(qū)內(nèi)，對(duì)其進(jìn)行由易到難、循序漸進(jìn)的變式拓展訓(xùn)練，對(duì)題源進(jìn)行適度的“繁衍”，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“變式思考”問題的習(xí)慣，并以此學(xué)會(huì)思考問題的方法，進(jìn)一步豐富學(xué)生的“變題”策略，感受問題變化的過程和發(fā)展的內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和探索能力的提升，以達(dá)到會(huì)一題、變一串，思一類、通一片的學(xué)習(xí)效果.

值得我們思考的是，除了對(duì)題目所提問題進(jìn)行變式外，我們還可以在解題方法、結(jié)論探索、課題研究等方面做一些類似的變式教學(xué)嘗試，帶領(lǐng)學(xué)生邀游于五彩繽紛的變式世界，讓學(xué)生挖到更多、更粗壯、更鮮美的好“蘑菇”，在尋找蘑菇的道路上提升學(xué)生的思維能力，優(yōu)化學(xué)生思考問題的方式，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ).