產(chǎn)出導(dǎo)向：指向未來的數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)

【摘要】在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，一個人最需要具備獨立獲取知識、批判性思考和問題解決等關(guān)鍵能力，以及其他適應(yīng)未來社會發(fā)展和個人發(fā)展的必備品格。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該精選數(shù)學(xué)核心知識，著眼于學(xué)生學(xué)習(xí)“產(chǎn)出”來組織教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)生數(shù)學(xué)知識，聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)知識，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)學(xué)生深度理解和靈活遷移，提升其以高階思維能力和學(xué)習(xí)力為核心的學(xué)科素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心知識；產(chǎn)出導(dǎo)向；創(chuàng)生知識；聯(lián)結(jié)知識；應(yīng)用知識

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）21-0012-03

【作者簡介】魏光明，南京市中華中學(xué)附屬小學(xué)（南京，210019）副校長，高級教師，南京市“基礎(chǔ)教育專家”培養(yǎng)對象，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象。

“互聯(lián)網(wǎng)+”時代已經(jīng)悄然到來，知識和信息呈幾何級數(shù)增加，更新和消亡的速度也明顯加快，我們通過計算機(jī)或者移動終端等工具可以輕易地獲得知識和信息。在這樣的時代，每個人最需要的不再是簡單占有大量知識，而是具備獨立獲取知識、批判性思考和問題解決等關(guān)鍵能力，以及其他適應(yīng)未來社會發(fā)展和個人發(fā)展的必備品格，或者說是核心知識、關(guān)鍵能力和必備品格三位一體的核心素養(yǎng)。相應(yīng)地，當(dāng)下的教育包括數(shù)學(xué)教育就應(yīng)該思考學(xué)生需要學(xué)習(xí)怎樣的知識以及怎樣學(xué)習(xí)這些知識，才能讓他們憑借學(xué)習(xí)形成的素養(yǎng)，從容地走向未來、適應(yīng)未來并擁有一個可持續(xù)發(fā)展的未來。從這個意義上說，我們應(yīng)該精選數(shù)學(xué)核心知識，著眼于學(xué)生“產(chǎn)出”學(xué)習(xí)成果來組織教學(xué)活動，促進(jìn)學(xué)生深度理解、靈活遷移和主動應(yīng)用，提升其高階思維能力和學(xué)習(xí)力。本文擬結(jié)合實例，談?wù)劵凇爱a(chǎn)出”導(dǎo)向的數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)的一些做法和思考。

一、基于需要，自然創(chuàng)生數(shù)學(xué)知識

解決實際問題的需要，解釋生活現(xiàn)象的需要，其他學(xué)科發(fā)展的需要，都會促使新的數(shù)學(xué)知識不斷產(chǎn)生。教學(xué)數(shù)學(xué)核心知識，可以創(chuàng)設(shè)一個在解決問題或解釋生活現(xiàn)象時遭遇困難、產(chǎn)生沖突的真實情境，促使學(xué)生自然而然地產(chǎn)生創(chuàng)生新知識的需要，并基于已有經(jīng)驗和知識，完整地經(jīng)歷創(chuàng)生新知識的過程。例如：教學(xué)蘇教版四上《認(rèn)識平均數(shù)》一課，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“平均數(shù)”的概念：

出示小紅套圈成績統(tǒng)計圖：小紅三次均套中6個。

師：你能用一個數(shù)來表示小紅比賽成績的整體水平嗎？

生1：可以用18來表示。

生2：好像也可以用6來表示。

師：能不能說說你們的想法？

生1：把小紅三次套中的個數(shù)加起來就是18。

生2：小紅三次都套中6個，所以我想用6來表示。

師：有道理！看來我們可以用18來表示，也可以用6來表示。

出示小軍套圈成績統(tǒng)計圖：小軍第一次套中3個，第二次8個，第三次4個。

師：你也能用一個數(shù)來表示小軍比賽成績的整體水平嗎？

學(xué)生的意見幾乎一邊倒，認(rèn)為可以用小軍三次套中的個數(shù)之和15來表示。

師：用8來表示可以嗎？用4或3呢？為什么？

大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為小軍三次套中的個數(shù)不一樣，用其中一次的個數(shù)來表示他比賽成績的整體水平不合適。此時，出示小華套圈成績統(tǒng)計圖：小華第一次套中3個，第二次8個，第三次2個，第四次3個。

師：小華說他一共套中16個，比小軍的水平高，他說得對嗎？為什么？

學(xué)生一致表示反對。此時，教師呈現(xiàn)兩個問題，引發(fā)學(xué)生思考、討論和爭辯：（1）能不能也用這樣的數(shù)（指著板書的表示小紅整體水平的“6”）來表示小軍的整體水平呢？（2）如果可以，你有什么辦法得到這樣的數(shù)？

通過討論和交流，學(xué)生很快認(rèn)識到可以用“5”來表示小軍的比賽成績，并找到了得出這個結(jié)果的不同方法。至此，感悟“平均數(shù)”的意義、理解求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的方法水到渠成。

從上述教學(xué)可以看出，教師沒有回避學(xué)生已有的用“和”來表示一組數(shù)據(jù)的整體水平的經(jīng)驗，而是讓學(xué)生經(jīng)歷多次認(rèn)知沖突，逐步認(rèn)識到“比賽次數(shù)不同，用‘和來表示各自成績的整體水平”不合理，自然而然地產(chǎn)生尋找一個合適的數(shù)來表示一組數(shù)據(jù)的整體水平的需求，并在后續(xù)學(xué)習(xí)中順勢生長出“先求和再平均分”的方法。學(xué)習(xí)是一種模仿，更是一種創(chuàng)造。事實上，在進(jìn)入并喻文化特別是后喻文化時代以后，學(xué)生已經(jīng)悄然成為知識的創(chuàng)生者、貢獻(xiàn)者和分享者。我們需要順應(yīng)這種變化，充分解放學(xué)生，讓學(xué)生走到前臺，利用已有的知識、經(jīng)驗、技能和方法，按照自己的理解和習(xí)慣去探索、去發(fā)現(xiàn)、去表達(dá)，進(jìn)而創(chuàng)造出獨特的、有意義的、屬于學(xué)生個體世界的知識，并通過相互交流和教師點撥，建構(gòu)客觀、完善的精準(zhǔn)知識。持續(xù)進(jìn)行這樣的教學(xué)，每一個學(xué)生都可能成為深度參與的創(chuàng)客和學(xué)習(xí)者，并在創(chuàng)造的過程中更加深刻地理解知識，學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會創(chuàng)造。

二、著眼生長，深度聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)知識

研究表明：碎片化知識容易受到其他知識的干擾和擠壓而很快遺忘，高度依賴經(jīng)常復(fù)習(xí)和反復(fù)練習(xí)進(jìn)行強化，而一旦知識之間產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化，則能進(jìn)入長時記憶，且易于激活和提取，便于遷移和應(yīng)用。因而，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會根據(jù)知識之間的相似性或相關(guān)性，借助知識本質(zhì)、邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)思想和思維方法的一致性，建立多向度、深層次的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)知識結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化。這里以蘇教版五下“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元結(jié)束后一道習(xí)題（對教材原題數(shù)據(jù)作了調(diào)整）的處理為例：

一塊花布長6米，正好可以做5條同樣大小的童褲。每條童褲用布幾分之幾米？（結(jié)果用帶分?jǐn)?shù)表示）

明晰思路、解決問題、交流互動之后，教師呈現(xiàn)以下一組習(xí)題，讓學(xué)生觀察、比較和判斷：（1）一塊花布長60米，正好可以做50條同樣大小的童褲。每條童褲用布幾分之幾米？（2）一塊花布長600米，正好可以做500條同樣大小的童褲。每條童褲用布幾分之幾米？（3）一塊花布長6000米，正好可以做5000條同樣大小的童褲。每條童褲用布幾分之幾米？

師：先讀一讀題目，再想一想，哪種情況下每條童褲用布米數(shù)最多？

生1：花布長6000米的時候。

生2：這幾種情況下每條童褲用布米數(shù)一樣多。

師：哪一種答案是正確的呢？可以怎樣驗證？

大多數(shù)學(xué)生傾向于“每條童褲用布米數(shù)一樣多”的結(jié)論，并通過計算驗證了結(jié)論的正確性。

師：不計算，你也能解釋為什么每條童褲用布米數(shù)一樣多嗎？

生1：根據(jù)商不變的規(guī)律。

生2（指著黑板上板書的幾道除法算式）：從上往下看，被除數(shù)和除數(shù)同時乘10、100、1000，商不變。

師：有道理！用以前學(xué)過的知識解釋、證明新知識的合理性是個好習(xí)慣。以前在運用商不變的規(guī)律進(jìn)行簡便計算時，我們會發(fā)現(xiàn)商相等，但是余數(shù)不同。這是不是和大家剛剛發(fā)現(xiàn)的“每條童褲用布米數(shù)一樣多”相互矛盾呢？誰能來解釋一下？

生：我是這樣想的。剩下的布也必須分完，第一題剩下1米，平均每條褲子還可以分得1/5米，合起來就是11/5米……

在上述教學(xué)中，我們由解決一道題目，引出一組題目的比較，借助分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到以前帶有余數(shù)表示的并不是除法計算的精確答案，并從新的視角理解了商不變的規(guī)律，打通了有余數(shù)的除法與一般除法之間的通道。學(xué)習(xí)最重要的任務(wù)之一，就是建立知識之間的深度關(guān)聯(lián)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。聯(lián)結(jié)越多，結(jié)構(gòu)化程度越高，知識的活躍度就越高，遷移性就越強，也就越有助于學(xué)生解釋、消除先前學(xué)習(xí)中遇到的疑問，預(yù)測、探索和研究后續(xù)將要學(xué)習(xí)的新知識。在教學(xué)中，我們應(yīng)該具有整體視野，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、分析和推理，去識別具體情境中不同知識之間的關(guān)聯(lián)，感悟所學(xué)知識與個體經(jīng)驗、相關(guān)背景、具體情境甚至現(xiàn)實生活之間的關(guān)聯(lián)，明晰解決同一問題的多種方法、多種路徑以及答案的多種表征形式之間的關(guān)聯(lián)，了解算理和算法、實物操作、表象操作和心智操作之間的關(guān)聯(lián)。在此基礎(chǔ)上，引發(fā)知識借勢生長和有序整理，并依托核心知識的豐富內(nèi)涵建立多元聯(lián)結(jié)，實現(xiàn)知識的縱向貫通和橫向聯(lián)通，增強認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生長活力和吸附能力，讓學(xué)生知道知識從哪里來又到哪里去以及可以怎樣去，學(xué)會關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)化思考，學(xué)會從新的視角、采用新的方法建立新的聯(lián)結(jié)，學(xué)會從已知的領(lǐng)域和熟悉的世界出發(fā)去推測和探索未知世界，提升可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)力和思考力。

三、關(guān)注價值，主動應(yīng)用數(shù)學(xué)知識

主動應(yīng)用知識解決問題屬于高階思維活動，也是一種重要的、指向未來的、作為全球公民所必需的可遷移能力，是一個人具有可持續(xù)學(xué)力的重要標(biāo)志。對數(shù)學(xué)教學(xué)而言，學(xué)以致用、解決問題是一項重要的目標(biāo)和任務(wù)。在教學(xué)中，要適度放大知識應(yīng)用環(huán)節(jié)，讓學(xué)生逐步學(xué)會在新情境中或面對新問題時應(yīng)用所學(xué)的知識，或解釋日常生活現(xiàn)象，或推斷事情發(fā)展趨勢，或驗證新的猜想和規(guī)律，或解決簡單實際問題直至生活中的真實問題。例如：蘇教版五上拓展課程“分段計費”，可以這樣教學(xué)：

在探究、建立出租車“分段計費”的模型之后，讓學(xué)生獨立解決這道題——某地出租車的收費標(biāo)準(zhǔn)是：3千米以內(nèi)11元，超過3千米的部分，每千米收費2.4元（不足1千米的按1千米計算）。王老師從家打車去學(xué)校，一共付費18.2元。王老師家到學(xué)校的路程是多少千米？

生1：先算18.2-11=7.2（元），再算7.2÷2.4=3（千米），最后算3+3=6（千米）。

生2：18.2元包括起步價和超過起步價兩個部分，所以，王老師家到學(xué)校的路程也可以分成兩段。

教師順勢在線段圖上標(biāo)注出兩個“3千米”。這一做法得到絕大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)可，只有少數(shù)學(xué)生有些搖擺不定。

師（指著其中一個猶豫不決的學(xué)生）：和大家分享一下你的想法，好嗎？

生3：我認(rèn)為最后1千米也有可能沒有走完。

師（指著線段圖）：為什么最后1千米也有可能沒有走完呢？再讀一讀題目，看看有沒有道理。

不少學(xué)生根據(jù)“不足1千米的按1千米計算”這一條件，認(rèn)識到“最后1千米有可能沒有走完”。

師：如果是這樣的情況，你們認(rèn)為王老師家到學(xué)校的路程是多少千米呢？

生1：我認(rèn)為只要超過5千米就行了。

生2：應(yīng)該是超過5千米，最多是6千米。

師：看來，用數(shù)學(xué)知識解決問題必須考慮生活中的實際情況。

生1：等紅燈時間長了，出租車也要計費的。

生2：在路上堵車時間長了，也是要計費的。

生3：超過一定的路程，還要加收返程費用。

學(xué)生沒有囿于應(yīng)用學(xué)到的知識求出一個所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案，而是發(fā)散開去，聯(lián)系生活中的一些常識和規(guī)定，對問題進(jìn)行多元分析。我們知道，不與學(xué)生的生命、生活發(fā)生聯(lián)系的教育是缺乏活力的，最好的學(xué)習(xí)就是以用促學(xué)，在實踐和應(yīng)用過程中學(xué)習(xí)的知識才是最有力量的知識。在教學(xué)中，應(yīng)該鼓勵學(xué)生以已有經(jīng)驗為支點，以所學(xué)知識為工具，主動嘗試從數(shù)學(xué)的視角去分析和解釋生活現(xiàn)象，借數(shù)學(xué)工具去探索和解決新的數(shù)學(xué)問題與實際問題。在具體操作中，可以從解釋簡單的生活現(xiàn)象逐步過渡到解釋復(fù)雜的生活現(xiàn)象，從解決簡單的實際問題逐步過渡到解決復(fù)雜的實際問題，從解決確定的良構(gòu)問題逐步過渡到解決不確定的劣構(gòu)問題，逐步提高學(xué)生應(yīng)用知識的能力，使他們養(yǎng)成主動應(yīng)用知識的習(xí)慣，進(jìn)而逐步增強他們應(yīng)對未來挑戰(zhàn)、探求未知領(lǐng)域和陌生世界的能力。

需要注意的是，人都是借助各種感官間接地聯(lián)系外部世界，學(xué)習(xí)“產(chǎn)出”出現(xiàn)偏差、迷思或錯誤在所難免。因此，關(guān)注學(xué)生反思意識和質(zhì)疑能力的培養(yǎng)，讓他們對認(rèn)知過程和思維結(jié)果保持一種自覺的、內(nèi)在的覺察、反省、評估和懷疑，就顯得尤為重要，這是保證“產(chǎn)出”質(zhì)量和品質(zhì)的有力保障。

實踐證明，著眼于“產(chǎn)出”的學(xué)習(xí)，學(xué)生的注意力更集中，認(rèn)知加工更深入，參與程度更高。我們應(yīng)將學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，將知識的“產(chǎn)出權(quán)”賦予學(xué)生，讓他們在與教材、與生活、與教師、與同伴、與自己對話的過程中，建構(gòu)并分享知識的意義世界，通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，學(xué)會創(chuàng)造，學(xué)會接受挑戰(zhàn)，實現(xiàn)知識學(xué)習(xí)與人的整體發(fā)展相統(tǒng)一。

【參考文獻(xiàn)】

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