等間距線性數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差

魏同利 ，郝惠娟

(1.北方民族大學(xué)，寧夏 銀川　750021；2.寧夏大學(xué)，寧夏 銀川　750021)

等間距線性數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差

魏同利1，郝惠娟2

(1.北方民族大學(xué)，寧夏 銀川750021；2.寧夏大學(xué)，寧夏 銀川750021)

摘 要：對大學(xué)物理實驗中兩種不同類型的等間距線性數(shù)據(jù)進(jìn)行了區(qū)分。第一類線性數(shù)據(jù)中，等權(quán)獨立的誤差來源于對每一位置的測量而與其它位置的測量無關(guān)，應(yīng)該把每一測量點對最佳直線的偏離作為研究對象，其它參量的標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)該從該對象的標(biāo)準(zhǔn)偏差為出發(fā)點求得；第二類線性數(shù)據(jù)等權(quán)獨立的誤差來源于每一次測量過程的增加量，應(yīng)該把每一次測量的增加量同最佳增加量的偏離作為研究對象，其它參量的標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)該從此對象的標(biāo)準(zhǔn)偏差為出發(fā)點求得。針對這兩類數(shù)據(jù)，分別按照算術(shù)平均值法、逐差法和最小二乘法的原則進(jìn)行處理，給出了符合其數(shù)據(jù)類型對象的最佳斜率表達(dá)式和它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差表達(dá)式.給出了它們的比較:第一類線性數(shù)據(jù)的最小二乘法處理的最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差最小；第二類線性數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值處理給出的標(biāo)準(zhǔn)偏差最小。

關(guān)鍵詞：算術(shù)平均值法；逐差法；最小二乘法；標(biāo)準(zhǔn)誤差；標(biāo)準(zhǔn)偏差

關(guān)于線性數(shù)據(jù)處理的三種方法平均值法、逐差法和最小二乘法的理論和實踐方面的討論已經(jīng)持續(xù)了一些時間[1-12]。楊衛(wèi)群提出了“用逐差法處理數(shù)據(jù)不科學(xué)[5]” 的提法，潘克宇和杜金潮則提出相反的意見，認(rèn)為“逐差法彌補了算術(shù)平均法處理數(shù)據(jù)的不足[6]”；單明和聶燕萍論證了用逐差法求得斜率B的估計值bz，雖然不是B的方差最小最佳估值，但也是一個較好的估值，因其方差已接近最佳估值bl的方差.由于逐差法只需用簡單的代數(shù)運算就可以得到相應(yīng)的結(jié)果,因此物理實驗教學(xué)中全部以最小二乘法取代逐差法是不妥的[7]；也有一些作者認(rèn)為“逐差法處理同一組實驗數(shù)據(jù)時相對一般算術(shù)平均法能減小線性系數(shù)b的標(biāo)準(zhǔn)偏差，相對最小二乘法計算過程更簡單[8]”；高永祥認(rèn)為“普通最小二乘法與加權(quán)最小二乘法的前提條件和基本假定是不相同的,不能在相同模型下比較普通最小二乘法和逐差法(加權(quán)最小二乘法)的優(yōu)劣,否則,方法和模型會產(chǎn)生矛盾,得出錯誤結(jié)論”，給出不能否定也不能濫用逐差法的論斷[9]。也有一些同志重點討論了逐差法的獨特優(yōu)越性：呂大韻提出“就其本質(zhì)而言，逐差法主要是為了減小系統(tǒng)誤差的影響[10]”；左安友、余蘭山和李興鰲提出“逐項逐差”的結(jié)果， 能及時檢查數(shù)據(jù)規(guī)律,發(fā)現(xiàn)有無系統(tǒng)誤差[11]。

但是現(xiàn)行的研究相對局限在對方法本身“好或不好”的討論上，而對所處理的“對象(數(shù)據(jù))”缺乏深入的研究。我們認(rèn)為每種方法都有其適用的范圍,方法是否合用，在于該方法的假定和具體數(shù)據(jù)之間的貼近程度。故我們認(rèn)為需要對數(shù)據(jù)本身作深入的研究,本文以牛頓環(huán)實驗和邁克爾遜干涉儀測激光波長兩種典型的線性數(shù)據(jù)為例，討論了兩類不同假設(shè)的數(shù)據(jù)類型.一類數(shù)據(jù)假設(shè)每一個測量點對客觀直線的偏離是等權(quán)的，應(yīng)該選擇各點到直線的距離的標(biāo)準(zhǔn)偏差最小的直線，任一點的標(biāo)準(zhǔn)偏差就是各點到最佳直線的距離的標(biāo)準(zhǔn)偏差；另一類假設(shè)等量增加Δx時所對應(yīng)的Δy的誤差是獨立且等權(quán)的，應(yīng)該選擇一個合適的Δy，以使得各個Δyi對其偏離的方差最小，任一Δyi的標(biāo)準(zhǔn)偏差以選定的最佳值Δy進(jìn)行計算，其它量的標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算都應(yīng)該以此標(biāo)準(zhǔn)偏差為單位進(jìn)行計算。

粗看這兩種假設(shè)是等價的，但在我們對最佳斜率b的標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算中可以看出，不同假設(shè)下的結(jié)果完全不同。第一種類型的數(shù)據(jù)，完全符合最小二乘法的假定，經(jīng)計算，最小二乘法得到的最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差最??；第二種類型的數(shù)據(jù)符合算術(shù)平均值法的假定，通過運算，此法所得的最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差最小.故所謂方法的優(yōu)劣不是絕對的，針對特定的數(shù)據(jù)類型選用合適方法是一種自然的做法。針對這兩種類型的線性數(shù)據(jù)，最小二乘法的適應(yīng)性最好，由最小二乘法得到的最佳斜率b的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為最優(yōu)(最佳結(jié)果)和次優(yōu)(最佳結(jié)果的1.095 4倍)；逐差法也是不錯的，由其所得的最佳斜率b的標(biāo)準(zhǔn)偏差都為最佳結(jié)果的1.154 7倍。

1線性數(shù)據(jù)的分類及其研究對象

在數(shù)據(jù)之間，若理論上滿足線性關(guān)系y=bx+a,依據(jù)誤差來源的不同，我們認(rèn)為存在兩種典型情況：

νi=yi-bxi-a

(1)

若假設(shè)任一yi的標(biāo)準(zhǔn)誤差與位置無關(guān)，則各νi等權(quán)且獨立，其標(biāo)準(zhǔn)偏差可計算為[2-4,12-13]

(2)

其中b為最佳直線的斜率，而a為最佳直線的截距.這種類型的線性數(shù)據(jù)的處理方法與最小二乘法的處理原則是一致的：以S(y)來衡量每次測量的隨機(jī)誤差.該類型數(shù)據(jù)的測量過程中，其x的正確性來源于每次測量的讀取，而與歷史無關(guān)。

另一種類型的誤差來源有所不同.這種類型的線性數(shù)據(jù)的測量過程表現(xiàn)為，在已經(jīng)測得的數(shù)據(jù)(xi-1,yi-1)的基礎(chǔ)上，增加Δx，測量xi+Δx所對應(yīng)的yi.每增加一個Δx，理論上應(yīng)該在前次的測量值yi-1的基礎(chǔ)上增加一個客觀存在的Δy，所以已經(jīng)測得的yi-1對yi的測量值有直接的影響.這種測量類似于通過使用某種量具，每次量取對應(yīng)固定變化量Δx 的Δy，其誤差來源于每次測量中的量取誤差，每次的量取誤差是等權(quán)的，所以我們認(rèn)為在這種數(shù)據(jù)中，應(yīng)該把各個Δyi的測量誤差看作等權(quán)且獨立的誤差來源。在邁克爾遜干涉儀測激光波長的實驗中，每“涌出”或“縮進(jìn)”ΔN 個干涉圓環(huán)，讀取一次M1 鏡的位置，是這種線性數(shù)據(jù)的典型代表。我們選取增加特定Δx所增加的Δy為研究對象：

Δyi=yi+1-yi

(3)

其標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(4)

Δym為Δyi的某種加權(quán)平均，其值應(yīng)該使得S(Δy)最小。該類型數(shù)據(jù)的測量過程中，其x的值為xi-1+Δx，xi-1依賴于歷史測量，Δx依賴于當(dāng)次測量。

2第一種類型線性數(shù)據(jù)的不同處理方法下其最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差

第一類線性數(shù)據(jù)的處理原則和最小二乘法的處理原則完全一致.在我們討論中，為了方便比較，假定存在有2n組數(shù)據(jù)，且x等間距變化。其每一點的y的標(biāo)準(zhǔn)偏差調(diào)整為

(5)

斜率b的計算公式[1-4,12]為

(6)

最小二乘法方法處理下最佳斜率b的標(biāo)準(zhǔn)偏差計算如下

(7)

對于逐差法，其最佳斜率的計算公式為

(8)

斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差S(bz)可以很容易的求得

(9)

對于算術(shù)平均值法，其斜率的表達(dá)式為

(10)

標(biāo)準(zhǔn)偏差S(bm)為

(11)

3第二種類型線性數(shù)據(jù)的不同處理方法下其最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差

對于第二種類型的數(shù)據(jù),其每次的增加量之間互相獨立且具有相同的標(biāo)準(zhǔn)誤差。故第二種類型的數(shù)據(jù)的處理原則和算術(shù)平均值法的原則完全一致。其“最佳”斜率的公式可寫成如下形式

(12)

易得其標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(13)

對于逐差法，其最佳斜率經(jīng)計算可得

(14)

斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差S(bz)可以求得

(15)

目前逐差法常用的關(guān)于不確定度的一些相關(guān)計算，對于第二種類型數(shù)據(jù)是錯誤的。如邁克爾遜干涉儀測激光波長的數(shù)據(jù)處理中，把ΔDi=dn+i-di看作等精度的獨立測量量，實際的情況是ΔDi之間并不獨立，因為在它們之間是有共用數(shù)據(jù)的(ΔD1和ΔD2之間就有d2.到dn+1之間的數(shù)據(jù)共用)，不獨立的數(shù)據(jù)不能直接使用求方和根的方式求得其標(biāo)準(zhǔn)偏差。

對于最小二乘法法，經(jīng)計算，其最佳斜率的表達(dá)式為

(16)

標(biāo)準(zhǔn)偏差S(bl)的計算結(jié)果為

(17)

4結(jié)論

具體的測量中，必須仔細(xì)分析誤差的性質(zhì)和來源，以確定線性數(shù)據(jù)的種類，選用合適的處理方法。第一種類型的線性數(shù)據(jù)，最小二乘法得到的最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差最小，逐差法結(jié)果與其比較接近(1.154 7倍)；第二種類型的線性數(shù)據(jù)，三種處理方法所得到的最佳斜率的標(biāo)準(zhǔn)偏差相差不多，算術(shù)平均值法的結(jié)果稍小一些，最小二乘法和逐差法的結(jié)果是其1.095 4倍和1.154 7倍。

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The Standard Deviations of Linear Dates with Equal Intervals

WEI Tong-li1,HAO Hui-juan2

(1.Beifang University of Nationalities,Ningxia Yinchuan 750021;2.Ningxia University of Nationalities,Ningxia Yinchuan 750021)

Abstract：Two types of linear dates have been distinguished.The standard deviation has been calculated by method of the mean values,the successive minus and the least squares respectively,there comparison has been given.For the first kind of linear dates,the independent errors with equal rights is derived from the measures of the locations and has nothing to do with the position measurement in different place,the method of least squares gives the minimal standard deviation.For the second type of linear dates the independent errors with equal rights is derived from the increment in the process of measuring,the method of arithmetic mean gives the minimal standard deviation.

Key words：method of arithmetic mean；method of least squares；method of successive minus；standard errors；standard deviation

收稿日期：2015-11-27

基金項目：寧夏哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃項目(15NXBYJ06)

文章編號：1007-2934(2016)02-0106-04

中圖分類號：O 4-33

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.002.028