基于最小二乘擬合的太陽影子定位模型

張印　李偉東　楊洋

【摘 要】本文針對2015年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題[1]中的第2問，依據(jù)最小二乘原理，并利用實(shí)際測定的參照物的影子長度隨時間變化的數(shù)據(jù)，建立了確定圖片拍攝地點(diǎn)的優(yōu)化模型。在Matlab環(huán)境下編程求解，得出參照物的經(jīng)緯度。將此經(jīng)緯度作為已知數(shù)據(jù)，重新計算參照物的影子長度，并與實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)二者基本吻合。說明模型是合理有效的。

【關(guān)鍵詞】最小二乘法；太陽高度角；太陽影子定位模型

1 問題背景及提出

如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面。其中一種簡單的情形是：根據(jù)相關(guān)影長數(shù)據(jù)確定參照物位置，這一技術(shù)也稱為太陽影子定位技術(shù)。在本文中，根據(jù)2015年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題附件1的數(shù)據(jù)[1]，確定出該地點(diǎn)的位置。

2 影長與時間的函數(shù)關(guān)系

2.1 影響影長的各個參數(shù)

太陽高度角是指太陽光的入射方向和地平面之間的夾角，可以用太陽高度角來估計影子場電影。太陽高度角h與實(shí)測地的地理緯度θ，太陽直射角緯度φ，時角Ω滿足以下函數(shù)關(guān)系式[2]：

太陽直射點(diǎn)每時都在向西移動，每小時移過15度經(jīng)度，在地理題的計算中可粗略取每天移動0.25度緯度[3]。據(jù)此求解出太陽直射角緯度與日期之間的關(guān)系，進(jìn)而通過MATLAB編程，得到了每天太陽直射點(diǎn)的緯度，部分表見表1，在 4 月 18日的太陽直射點(diǎn)緯度為φ=7。

將H，φ中的數(shù)據(jù)代入（5）中，用 MATLAB 編程計算，我們得到 21 個時間點(diǎn)所對應(yīng)的經(jīng)度位置，我們發(fā)現(xiàn)，這 21 個經(jīng)度變化都十分小，故我們經(jīng)度該位置的經(jīng)度就選取求出的 21 個經(jīng)度的平均值，得到 4 個經(jīng)度，進(jìn)而得到四個固定直桿可能所處的地理位置：（18.24N，105.9528E），（18.24N，37.4972E），（7.3969N，107.1988E），（7.3969N，36.2512E）。

4 地理位置的檢驗(yàn)

根據(jù)測定的關(guān)于x，y 的坐標(biāo)，我們發(fā)現(xiàn)隨著時間的增加，影子長度也在不 斷增加，說明當(dāng)?shù)貢r間已經(jīng)過了正午時間 12：00，而此時的北京時間為 14：42-15：42，結(jié)合北京時間以東八區(qū) 120 度為標(biāo)準(zhǔn)，每向西 15 度，當(dāng)?shù)貢r間往前 1 小時的規(guī)律，我們計算出在79.5 E 時，北京時間為 14：52，當(dāng)?shù)貢r間恰好為12：00，因此我們所確定的經(jīng)度必須大于 79.5E。進(jìn)而確定可能的地理位置為：（18.24N，105.9528E）和（7.3969N，107.1988 E）。

根據(jù)地圖確定地理位置為（18.24N，105.9528E）的地點(diǎn)為越南，地理位置為（7.3969N，107.1988E）的地點(diǎn)為泰國灣（為靠近馬來西亞的一個海峽），故這個位置不符合我們的標(biāo)準(zhǔn)，故我們確定的直桿所處位置大致在越南。

5 模型的檢驗(yàn)

我們將所確定的地理位置代入關(guān)于太陽高度角的式子（5）中，畫出 14：42-15：42的影子長度的變化曲線l1，同時擬合出附件 1 中影子長度隨時間變化曲線l2 ，兩者之間的誤差e=||，可以這21個時刻的誤差分別為：0.0004，0.0005，0.0005，0.0006，0.0006，0.0006，0.0006， 0.0006，0.0006，0.0006，0.0005，0.0005，0.0005，0.0005，（下轉(zhuǎn)第130頁）（上接第136頁）0.0004，0.0004，0.0004，0.0004，0.0004，0.0004，0.0004。兩條影子長度隨時間變化的曲線（見圖1）。

【參考文獻(xiàn)】

[1]http：//www.shumo.com/2015cumcm.html[OL].

[2]http：//baike.baidu.com/view/86609.htm[OL].

[3]http：//baike.baidu.com/link？url=_aUuZtIGSo3DBZgjWiSGC2NqH9NNBjEcXX37 JYu5MWsF6M22qioNdjuY81eNjeP31LlpvJKTBhf_ePWF9g5CXa#1[OL].

[4]王國安，米鴻濤，鄧天宏，李亞男，李蘭霞.太陽高度角和日出日落時刻太陽方位角 一年變化范圍的計算[J].氣象與環(huán)境科學(xué)，2007，30：161-163.

[5]http：//wenku.baidu.com/view/f8fb67f481c758f5f61f6749.html？from=search[OL].

[責(zé)任編輯：楊玉潔]