具有接種疫苗和再次感染的媒介傳染病模型的穩(wěn)定性分析*

白　夢(mèng)，薛亞奎

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

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具有接種疫苗和再次感染的媒介傳染病模型的穩(wěn)定性分析*

白夢(mèng)，薛亞奎

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

摘要:建立和研究了一類具有接種疫苗和再次感染的媒介傳染病模型. 假設(shè)易感者接種疫苗后還被感染, 得到了疾病流行與否的閾值, 即基本再生數(shù) R0, 并討論了平衡點(diǎn)的存在性. 進(jìn)一步運(yùn)用Lyapunov函數(shù)及Routh-Hurwitz判據(jù)證明了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.最后根據(jù)實(shí)際情況選取適當(dāng)數(shù)據(jù), 進(jìn)行數(shù)值模擬, 驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性.

關(guān)鍵詞:接種疫苗; 再次感染; 媒介傳染病; 無(wú)病平衡點(diǎn); 地方病平衡點(diǎn)

0引言

媒介傳染病是一種很常見(jiàn)的傳染病, 它的肆虐對(duì)人類的威脅不容忽視. 媒介宿主傳染病指通過(guò)某種生物載體傳播的傳染性疾病, 它是由病毒、 細(xì)菌或真菌等病原微生物引起的, 這種生物載體被稱為傳播媒介.

人類在利用醫(yī)學(xué)科學(xué)技術(shù)治療一些傳染病的同時(shí), 也開(kāi)始更多地關(guān)注用疫苗對(duì)某些傳染病進(jìn)行預(yù)防. 從理論上講,接種過(guò)某種疫苗, 身體會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的抗體, 也就是說(shuō)對(duì)某種病有了抵抗力, 再接觸該種病原體時(shí), 就不會(huì)再患這種病了. 然而，通過(guò)預(yù)防接種所獲得的抵抗力是相對(duì)的, 而不是絕對(duì)的, 也就是說(shuō), 絕大多數(shù)人接種了疫苗后, 可能不再患該種傳染病, 但還有少數(shù)人可能再患該種傳染病. Takeuchi, Yasuhiro，Iwami及Shingo討論了具有接種疫苗的SVIR模型[1], 其中S是易感者, V是接種疫苗者, I是感染者, R是恢復(fù)者. 李學(xué)志, 周勤學(xué)等人研究了具有接種疫苗和再次感染的SEIRV模型, 并討論了Hopf分支存在的條件[2-3], 其中E是潛伏期者. 還有一些文獻(xiàn)對(duì)此類模型也有詳細(xì)的研究[4-7]. 那么在媒介傳染病的數(shù)學(xué)建模和研究中, 也應(yīng)該考慮接種后仍會(huì)被感染媒介所感染的情形.

本文建立了一類具有接種疫苗且接種疫苗后會(huì)再次感染的媒介傳染病模型, 并對(duì)模型的全局動(dòng)力學(xué)形態(tài)進(jìn)行了分析.

1模型

假設(shè)疾病流行地區(qū)的總?cè)丝谝?guī)模固定不變, 把t時(shí)刻的人口總數(shù)分為易感者、 接種者、 染病者和恢復(fù)者四類, 分別用SH,PH,IH,RH表示.NH表示t時(shí)刻的總?cè)丝跀?shù), 則NH=SH+PH+IH+RH. 對(duì)于媒介總數(shù)NV(如蚊子等), 可分為易感者、 感染者, 分別用SV,IV表示, 則NV=SV+IV. 由于媒介每天的繁殖量和死亡量巨大, 如不采取控制措施, 則總數(shù)變化相對(duì)于總量來(lái)說(shuō)幾乎可以忽略, 因此可以假設(shè)媒介總量為常數(shù). 若不考慮因病死亡, 人口的輸入率用C1表示, 各類人群的死亡率都用μH表示.α表示對(duì)易感者的接種疫苗率;βH表示染病媒介對(duì)易感人群的感染率;σ表示事先接種過(guò)疫苗而再次感染該疾病的可能性;γ1表示接種者感染后的康復(fù)率;γ表示染病者的康復(fù)率;C2表示蚊子的輸入率;βV表示染病人群對(duì)易感媒介的感染率;μV表示媒介的死亡率.

根據(jù)建模思想,可以建立動(dòng)力學(xué)模型

(1)

由于總?cè)丝跀?shù)和媒介總數(shù)都是常數(shù), 且SV=1-IV, 只需考慮模型(2)

(2)

2無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

(3)

利用文獻(xiàn)[8]的方法來(lái)計(jì)算R0, 考慮第二代生成矩陣

則定義R0如式(4)

(4)

當(dāng)基本再生數(shù) R0<1 時(shí), 平均每個(gè)染病者可以感染到的人數(shù)不足一個(gè), 疾病消亡; 當(dāng) R0>1 時(shí), 平均每個(gè)感染者可以感染到的人數(shù)大于一個(gè), 疾病流行.

證明模型(2)在無(wú)病平衡點(diǎn) E0處的Jacobian矩陣為

(5)

其對(duì)應(yīng)的特征方程為det(λ I-J(E0))=0, 即

令

(6)

由于a1>0, 當(dāng) R0<1 時(shí), a2>0. 方程(6)的所有特征根均有負(fù)實(shí)部. 根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可以得到無(wú)病平衡點(diǎn) E0在可行域內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的. 若 R0>1,a2<0, 方程(6)有一正根，故無(wú)病平衡點(diǎn) E0不穩(wěn)定.

證明

由比較定理可得

又由比較定理得

則

當(dāng)且僅當(dāng) IH=0 時(shí), V′=0. 當(dāng) R0≤1時(shí), 有 E={(SH,PH,IH,IV)∈Ω:V′=0}={IH=0}, 故 E 中模型(2)的最大不變子集為 IH=0. 由LaSalle不變性原理[9]可知, 當(dāng) R0≤1 時(shí), 無(wú)病平衡點(diǎn) E0在 Ω 中是全局漸近穩(wěn)定的.

3地方病平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性

(7)

求解式(7)中第一個(gè)方程

求解式(7)中第二個(gè)方程

求解式(7)中第四個(gè)方程

(8)

其中

可以看出, 恒有A>0, 當(dāng)R0>1,C<0時(shí), 由式(8)知, 方程有唯一正根.

(9)

定理 4對(duì)于模型(2), 當(dāng) R0>1時(shí), 地方病平衡點(diǎn) E*在可行域 Ω 內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明模型(2)在地方病平衡點(diǎn) E*處的Jacobian矩陣為

(10)

在地方病平衡點(diǎn) E*處的特征方程為

若令

(11)

其中

根據(jù)Hurwitz判據(jù), 特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部, 則該模型的地方病平衡點(diǎn) E*在可行域 Ω內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的.

4數(shù)值模擬

計(jì)算機(jī)模擬是人們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)用計(jì)算機(jī)程序模仿各種實(shí)際系統(tǒng)的進(jìn)行過(guò)程, 并通過(guò)程序計(jì)算了解系統(tǒng)隨時(shí)間變化的行為或特性[10]. 本節(jié)應(yīng)用Matlab對(duì)模型(2)進(jìn)行數(shù)值模擬, 得到的仿真結(jié)果充分驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.

例 1取參數(shù)C1=0.53; βH=0.21; βV=0.13; γ=0.45; γ1=0.36; μH=0.31; μV=0.35; α=0.38; σ=0.49. 此時(shí)R0=0.082 0<1, 圖 1(a) 為SH,PH,IH,IV關(guān)于時(shí)間 t 的圖像.

例 2取參數(shù) C1=0.53; βH=0.31; βV=0.33; γ=0.61; γ1=0.56; μH=0.31; μV=0.27; α=0.47; σ=0.52. 此時(shí)R0=0.350 4<1, 圖 1(b) 為SH,PH,IH,IV關(guān)于時(shí)間 t 的圖像.

由圖 1 可以看出, 當(dāng) R0<1 時(shí), 隨時(shí)間的增長(zhǎng), 模型的無(wú)病平衡點(diǎn)在可行域 Ω 內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的. 比較圖 1(a) 和圖 1(b), 可以看出改變一些參數(shù)后, 疾病消亡所用的時(shí)間變短.

例 3取參數(shù) C1=0.53; βH=0.46; βV=0.63; γ=0.45; γ1=0.36; μH=0.27; μV=0.23; α=0.48; σ=0.39. 此時(shí)R0=1.946 5>1, 圖 1(c) 為SH,PH,IH,IV關(guān)于時(shí)間 t 的圖像.

例 4取參數(shù) C1=0.53; C2=0.87; βH=0.36; βV=0.51; γ=0.45; γ1=0.36; μH=0.27; μV=0.23; α=0.48; σ=0.39. 此時(shí)R0=1.471 6>1, 圖 1(d) 為SH,PH,IH,IV關(guān)于時(shí)間 t 的圖像.

由圖1可以看出, 當(dāng) R0>1 時(shí), 隨時(shí)間的增長(zhǎng), 模型的地方病平衡點(diǎn)在可行域 Ω 內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的. 對(duì)比圖 1(c), 從圖 1(d) 中可以看出疾病到達(dá)地方病平衡點(diǎn)所需的時(shí)間變短.

對(duì)參數(shù)α, σ進(jìn)行敏感度分析, 如圖 2 可知，通過(guò)控制這些參數(shù)可以更好地控制疾病的傳染爆發(fā).

圖 1　模型(1)和(2)的模擬圖Fig.1　Simulated diagram of the model (1) and (2)

圖 2　參數(shù)敏感度分析圖Fig.2　Diagram of parameter sensitivity analysis

5結(jié)論

本文建立的模型呈現(xiàn)了一類具有接種疫苗且接種疫苗后有可能再次感染的媒介傳染病傳播機(jī)理.運(yùn)用Routh-Hurwitz判據(jù)和Lyapunov函數(shù)理論, 證明了無(wú)病平衡點(diǎn) E0是局部且全局漸近穩(wěn)定的, 地方病平衡點(diǎn) E*是局部漸近穩(wěn)定的. 最后通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論的正確性, 并給出了一些參數(shù)變化對(duì)模型影響的模擬圖, 可以更直觀地發(fā)現(xiàn)通過(guò)控制哪些因素來(lái)控制疾病的傳播與發(fā)展, 制定合理的控制措施.

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Global Stability of an Epidemic Model with Vaccination and Re-Infection

BAI Meng, XUE Ya-kui

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

Abstract:The epidemic model with vaccination and re-infection is formulated and analysed.It is assumed that the susceptible individuals are infected after being vaccinated, the basic reproduction number R0 which determines the outcome of disease is identified and the existence of the equilibrium is discussed.Further application of Lyapunov function and Routh-Hurwitz criterion are used to prove that disease free equilibrium and endemic equilibrium is global stability.Then a series of numerical simulations are presented to illustrate the mathematical findings.

Key words:vaccination; re-infection; epidemic; disease free equilibrium; endemic equilibrium

文章編號(hào):1673-3193(2016)02-0120-06

*收稿日期:2015-06-30

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301491)； 山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015011009)

作者簡(jiǎn)介：白夢(mèng)(1990-)，女，碩士生，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

中圖分類號(hào):O175

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.02.005