“月上柳梢頭”數(shù)學(xué)模型分析

劉君++韓黎明

摘要 本文通過分析北宋著名學(xué)者歐陽(yáng)修《生查子·元夕》中的名句“月上柳梢頭，人約黃昏后”，根據(jù)不同地點(diǎn)的經(jīng)緯度和天文學(xué)數(shù)據(jù)以及利用多種天文算法建立了一系列月出月沒、日出日落的數(shù)學(xué)模型，并將地球自轉(zhuǎn)、月球繞地球旋轉(zhuǎn)引起的天文現(xiàn)象與人們的生活習(xí)性相結(jié)合，通過使用MATLAB軟件求得了不同時(shí)間、不同地點(diǎn)的符合題意的解，同時(shí)利用Stellarium（虛擬天文館軟件），對(duì)各個(gè)所求解進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，確保了計(jì)算結(jié)果的真實(shí)準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞： 天體運(yùn)行 天文算法 Stellarium MATLAB

中圖分類號(hào)：O242.1

一、 問題分析

根據(jù)題目要求結(jié)合我們的生活習(xí)慣，定義“月上柳梢頭”為月亮上升到與地平面夾角15度以上位置，然后根據(jù)天文參數(shù)建立月球的升落時(shí)間模型，解出月球升起的時(shí)間，再根據(jù)月球繞地球旋轉(zhuǎn)的角速度找出月球運(yùn)行到與地平面夾角15度的日期與時(shí)間，即是題中要求的“月上柳梢頭”的日期與時(shí)間；接著繼續(xù)定義“黃昏后”的時(shí)間，考慮到不同地區(qū)所在的經(jīng)、緯度不同，也就是太陽(yáng)落到地平面以下的時(shí)間不一致，所以根據(jù)天文學(xué)定義，“黃昏”應(yīng)該是從太陽(yáng)與地平面平齊開始，一直到下降到地平面以下12.5度所用的時(shí)間段，我們將這段時(shí)間定義為“黃昏后”從而求出一個(gè)時(shí)間段，進(jìn)而與日沒的時(shí)刻相加，即可求得“人約黃昏后”發(fā)生的日期和時(shí)間。接著根據(jù)能夠查到的天文資料太陽(yáng)和月亮在天空中的位置，以及日出日沒時(shí)刻、月出月末時(shí)刻來驗(yàn)證我們所求得的模型的合理性。

在前面已建模型的基礎(chǔ)上，通過地圖查詢到2016年哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊的經(jīng)緯度，然后依舊建立月球繞地運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)學(xué)模型，分別求出“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”的日期和時(shí)間，然后看其是否能夠取到交集，如果能夠取到交集就說明在這座城市里有能夠既滿足“月上柳梢頭”以能夠?qū)崿F(xiàn)“人約黃昏后”的日期和時(shí)間，否則這座城市，在這一年度里將不會(huì)有出現(xiàn)題目要求的日期和時(shí)間。

二、模型假設(shè)

（1）將地球假設(shè)為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的球體；

（2）將月球看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；

（3）忽略其它星球?qū)υ虑蛞约暗厍虻挠绊懀?/p>

（4）忽略大氣、引力變化等自然因素對(duì)月球繞地球旋轉(zhuǎn)以及地球自轉(zhuǎn)的影響；

（5）通過查閱資料假設(shè)詩(shī)人作詩(shī)地點(diǎn)為現(xiàn)在的河南省開封市

三、模型建立與求解

對(duì)于問題一通過查詢相關(guān)資料，我們知道這首詩(shī)是寫于正月十五，也就是圓宵節(jié)，而根據(jù)月球繞地球公轉(zhuǎn)，月亮是會(huì)從初一的朔逐漸變?yōu)樯舷以氯缓笤谵r(nóng)歷十五左右形成滿月，再慢慢減少變?yōu)橄孪以拢詈笙?。通過分析可知，月球繞地球的時(shí)間大約是在24小時(shí)48分鐘，從圖2中我們可以看出“月上柳梢頭”即為月球繞地球旋轉(zhuǎn)15度所需的時(shí)間，我們可以利用下面的等式求出：

經(jīng)過計(jì)算求得a為62min，也就是說求得月出的時(shí)間然后加上62分鐘，就是題目要求的“月上柳梢頭”的時(shí)間。

針對(duì)“黃昏后”這一問題，我們通過上述建立的模型，根據(jù)T2、T3可以求得日落的時(shí)間，然后根據(jù)地球自轉(zhuǎn)需時(shí)23h56min，由于地球圍繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)產(chǎn)生日出日落現(xiàn)象，現(xiàn)我們將地球作為一個(gè)靜止的參考系，則可以看成是太陽(yáng)圍著地球轉(zhuǎn)，太陽(yáng)轉(zhuǎn)過15度到30度角所需的時(shí)間可以根據(jù)如下的公式求出：

。

經(jīng)過計(jì)算求得c為60.23min，也就是說求得日落的時(shí)間然后加上60.23min到日落的時(shí)間加上120.46min，就是題目要求的“人約黃昏后”的時(shí)間段。

在第二問中，題目要求判斷在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊這六個(gè)城市是否能出現(xiàn)這一情景，我們采用與第一問相同的方法，分別根據(jù)這六個(gè)城市的經(jīng)緯度建立月出月沒的數(shù)學(xué)模型，再利用“黃昏后”這一時(shí)間段作為限制條件，通過計(jì)算來判斷月亮是否通夠在這一時(shí)間段內(nèi)上升到與地平線成30度角的位置，如果能達(dá)到即為“月上柳梢頭”，如果達(dá)不到那將不會(huì)出現(xiàn)題目中所說的情景。

四、模型的改進(jìn)

①在本問題中，我們認(rèn)為“月上柳梢頭”就是月亮與地平線夾角在15度以上，這在不同的地方由于經(jīng)緯度的不同，以及周圍地理環(huán)境的不同，可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差，只有將不同地區(qū)的氣侯條件和生態(tài)因素充分考慮進(jìn)去，才能使計(jì)算結(jié)果下加精確。

②我們定義“黃昏后”為太陽(yáng)落到地平面以下15度到30度的時(shí)間段，這也有一定的局限性，由于我國(guó)地域遼闊，生態(tài)環(huán)境多種多樣，根據(jù)人們的生活習(xí)性不同，其實(shí)黃昏開始和持續(xù)的時(shí)間也各有不同，按照古人所講，一更即為黃昏其持續(xù)時(shí)間是19點(diǎn)到21點(diǎn)，而19點(diǎn)對(duì)于我國(guó)新疆來說太陽(yáng)還沒有落山，對(duì)于成哈爾濱可以18點(diǎn)就已經(jīng)進(jìn)入了黃昏時(shí)間，所以我們應(yīng)該根據(jù)不同地區(qū)分別定義黃昏，才能保證結(jié)果的更加準(zhǔn)確性和可靠性。

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