涉及2個(gè)量的概率問(wèn)題探究

◇　甘肅　姜有軍

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涉及2個(gè)量的概率問(wèn)題探究

◇甘肅姜有軍

在概率計(jì)算中常會(huì)遇到含有2個(gè)變量的復(fù)雜問(wèn)題.若在古典概型中出現(xiàn)2個(gè)量,可先將其中一個(gè)量的取值定下來(lái),再根據(jù)條件討論確定另一個(gè)變量的取值,最后用概率公式加以計(jì)算;若在幾何概型中出現(xiàn)2個(gè)量時(shí),可用2個(gè)量構(gòu)成的面積來(lái)計(jì)算概率．

x2+2ax+b2=0.

(1) 若a是從0、1、2、3中任取的1個(gè)數(shù),b是從0、1、2中任取的1個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率;

(2) 若a是從區(qū)間[0,3]任取1個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取的1個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率．

(1) 古典概型中出現(xiàn)2個(gè)量,先將一個(gè)量的取值確定,再根據(jù)條件討論確定另一個(gè)變量的取值,最后利用概率公式求解即可．實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果有12個(gè),如何考慮a≥b呢?不妨分別令a=0、1、2、3時(shí),根據(jù)條件a≥b來(lái)討論b的取值．

當(dāng)a=0時(shí),b=0;

當(dāng)a=1時(shí),b=0,1;

當(dāng)a=2時(shí),b=0,1,2;

當(dāng)a=3時(shí),b=0,1,2.

圖1

(2) 幾何概型中出現(xiàn)2個(gè)量,可用2個(gè)量構(gòu)成的面積來(lái)計(jì)算概率．實(shí)驗(yàn)全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},符合a≥b的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},如圖1所示，故

(1) 設(shè)集合P={-1,1,2,3,4,5}和Q={-2,-1,1,2,3,4},分別從P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作a和b,求y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率;

(1) 實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果有36種,需滿足的條件是a>0,且2b≤a,不妨分別令a=1、2、3、4、5時(shí),根據(jù)條件來(lái)討論b的取值．

當(dāng)a=1時(shí),b=-2,-1;

當(dāng)a=2時(shí),b=-2,-1,1;

當(dāng)a=3時(shí),b=-2,-1,1;

當(dāng)a=4時(shí),b=-2,-1,1,2;

當(dāng)a=5時(shí),b=-2,-1,1,2;

(2) 實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域?yàn)閧(a,b)|a+b-8≤0,a>0,b>0},而符合a>0,且2b≤a的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|a+b-8≤0,a>0,b>0,a≥2b},如圖2所示,其中陰影部分面積比整個(gè)區(qū)域面積為所求概率,故

圖2

從上述解答過(guò)程可以看出,在概率計(jì)算中遇到含有2個(gè)變量的問(wèn)題時(shí),先分清概率模型,若是古典概型中出現(xiàn)2個(gè)量,先將一個(gè)量的取值定下來(lái),而根據(jù)條件討論確定另一個(gè)變量的取值,最后利用概率公式加以計(jì)算;若是幾何概型中出現(xiàn)2個(gè)量時(shí),我們常常用2個(gè)量構(gòu)成的面積來(lái)計(jì)算概率.望讀者仔細(xì)體會(huì),將解題思想加以應(yīng)用．

(作者單位：甘肅省金昌市第二中學(xué))