面板數(shù)據(jù)下的線性混合模型及其在車(chē)險(xiǎn)費(fèi)率厘定中的應(yīng)用

張連增　王皎

摘 要：精算師在進(jìn)行車(chē)險(xiǎn)凈保費(fèi)信度厘定時(shí)可采用關(guān)于面板數(shù)據(jù)的線性混合模型，本文采用每次交通事故平均損失額和事故發(fā)生頻率作為車(chē)險(xiǎn)凈保費(fèi)的計(jì)算指標(biāo)。利用2008～2012年31個(gè)省、市、自治區(qū)5年的數(shù)據(jù)，建立面板數(shù)據(jù)下的線性混合模型，選取人均地區(qū)生產(chǎn)總值、每平方公里人口數(shù)、民用汽車(chē)擁有量作為解釋變量，得到每次交通事故平均損失額和事故發(fā)生頻率的估計(jì)模型，進(jìn)而得到純保費(fèi)估計(jì)。這一研究可為車(chē)險(xiǎn)費(fèi)率市場(chǎng)化提供一定的理論支持和參考。

關(guān)鍵詞： 面板數(shù)據(jù)；費(fèi)率厘定；車(chē)險(xiǎn)；費(fèi)率市場(chǎng)化

中圖分類(lèi)號(hào)：F840.65 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1003-7217（2016）03-0022-08

一、引 言

在精算學(xué)中，一個(gè)基本問(wèn)題是利用關(guān)于某個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的已知?dú)v史索賠及相關(guān)外部信息來(lái)預(yù)測(cè)該風(fēng)險(xiǎn)的未來(lái)索賠，這就是經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率厘定問(wèn)題，因?yàn)樗c信度理論有密切的聯(lián)系，所以有時(shí)也稱為信度厘定問(wèn)題。車(chē)險(xiǎn)費(fèi)率厘定應(yīng)該根據(jù)保險(xiǎn)標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)狀況來(lái)確定，由于車(chē)輛類(lèi)型、車(chē)輛使用者、車(chē)輛使用范圍、長(zhǎng)期行駛線路等不同，風(fēng)險(xiǎn)就存在很大的差異。對(duì)單個(gè)被保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō)，理論上講保險(xiǎn)公司要考慮到可獲得的被保險(xiǎn)人信息，如車(chē)型、車(chē)輛用途、行駛區(qū)域、行駛里程數(shù)、性別、駕駛?cè)四挲g、交通肇事記錄及駕駛行為等因素，從中選出合適的費(fèi)率厘定變量，進(jìn)而得到車(chē)險(xiǎn)凈保費(fèi)。

當(dāng)前在國(guó)際上廣義線性模型已被充分應(yīng)用于車(chē)險(xiǎn)定價(jià)中。國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)車(chē)險(xiǎn)定價(jià)的研究也主要集中在廣義線性模型方面，較少探討線性混合模型在車(chē)險(xiǎn)費(fèi)率厘定中的應(yīng)用。孟生旺（2007）簡(jiǎn)要分析了傳統(tǒng)定價(jià)方法存在的缺陷，并通過(guò)汽車(chē)第三者責(zé)任保險(xiǎn)的損失數(shù)據(jù)說(shuō)明了廣義線性模型在非壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)中的具體應(yīng)用[1]。曾理斌（2007）指出廣義線性模型是在風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)分類(lèi)基礎(chǔ)上的一種非壽險(xiǎn)費(fèi)率厘定方法，可以考慮到各種已識(shí)別的風(fēng)險(xiǎn)因素[2]。趙慧卿、王漢章（2011）從索賠頻率和索賠額度兩個(gè)方面利用廣義線性模型估計(jì)保險(xiǎn)費(fèi)率，分析了從車(chē)、從人、從地三個(gè)因素的變動(dòng)對(duì)索賠頻率和索賠額度的影響[3]。孫維偉、張連增（2013）采用Frees（2010）中汽車(chē)第三者責(zé)任保險(xiǎn)的一組損失數(shù)據(jù)，在介紹廣義線性模型的定義、算法和模型實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，討論零調(diào)整逆高斯回歸模型在汽車(chē)保險(xiǎn)定價(jià)中的具體應(yīng)用[4]。孫維偉（2014）分析了廣義線性模型和廣義可加模型的基礎(chǔ)和特點(diǎn)，并從Tweedie類(lèi)分布的視角分析保險(xiǎn)索賠額數(shù)據(jù)的分布[5]。

線性混合模型是線性模型的另一個(gè)擴(kuò)展，尤其適合處理面板數(shù)據(jù)下的回歸問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)面板數(shù)據(jù)的每個(gè)組內(nèi)，觀測(cè)量不再有獨(dú)立性假設(shè)。為此通常的線性模型和廣義線性模型就不再適用，這就需要采用線性混合模型和廣義線性混合模型。因此，線性混合模型與廣義線性混合模型在車(chē)險(xiǎn)定價(jià)中的應(yīng)用研究，必將受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的更多關(guān)注。

二、面板數(shù)據(jù)下的線性混合模型

（一）線性混合模型

時(shí)間序列數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)都是一維數(shù)據(jù)，時(shí)間序列是變量按時(shí)間先后得到的一組數(shù)據(jù)，截面數(shù)據(jù)是變量在給定的時(shí)點(diǎn)的一組數(shù)據(jù)。面板數(shù)據(jù)兼有時(shí)間序列數(shù)據(jù)與截面數(shù)據(jù)的特征，可以理解為截面上的個(gè)體在不同時(shí)點(diǎn)的重復(fù)觀測(cè)數(shù)據(jù)。與截面數(shù)據(jù)或時(shí)間序列相比，面板數(shù)據(jù)包含了更多的信息，相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)更有效；而且在面板數(shù)據(jù)下，可多層次地分析問(wèn)題，能夠更好地識(shí)別出時(shí)間序列數(shù)據(jù)或截面數(shù)據(jù)不能體現(xiàn)出的特征。

（三）面板數(shù)據(jù)下的信度模型

信度模型是非壽險(xiǎn)定價(jià)中經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率厘定的理論依據(jù)。信度理論充分利用已獲得的信息，其中包括先驗(yàn)信息和樣本信息。設(shè)來(lái)自先驗(yàn)信息的估計(jì)量為M，來(lái)自樣本信息的估計(jì)量為樣本均值，信度估計(jì)量是對(duì)兩者的加權(quán)平均，即Pc=ζ+（1-ζ）M，其中ζ是信度因子，ζ越大則樣本信息更可信。

三、數(shù)據(jù)來(lái)源及模型選定

（一）數(shù)據(jù)來(lái)源及描述

1.數(shù)據(jù)來(lái)源。

本文數(shù)據(jù)來(lái)源于2009～2013年《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》，樣本為我國(guó) 2008～2012 年31個(gè)省、市、自治區(qū)的年度數(shù)據(jù)。車(chē)險(xiǎn)費(fèi)率模型分為兩大類(lèi)：索賠頻率模型和索賠金額模型。為了對(duì)車(chē)險(xiǎn)進(jìn)行費(fèi)率厘定，選擇平均每次事故的損失額（AVE_LOSS）和每輛車(chē)每年的出險(xiǎn)率（FREQ）為被解釋變量，選擇人均地區(qū)生產(chǎn)總值（PGDP）、民用汽車(chē)擁有量（NOC）和人口密度即平均每平方公里人口數(shù)（PPSM）作為可供選擇的解釋變量，每次事故的損失額、人均地區(qū)生產(chǎn)總值都與價(jià)格指數(shù)均有密切聯(lián)系，因此為了使各年的數(shù)據(jù)有可比性，絕對(duì)數(shù)值都以2008年為基年進(jìn)行了消費(fèi)指數(shù)的平減，剔除了通貨膨脹的影響①。

2.數(shù)據(jù)特征。使用R軟件的nlme軟件包對(duì)面板數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和建模。表1描述了基本的變量隨時(shí)間變化的特性，可見(jiàn)平均每次事故的損失金額、人均地區(qū)生產(chǎn)總值、人口密度、民用汽車(chē)擁有量是隨時(shí)間增長(zhǎng)的，每輛汽車(chē)發(fā)生事故的頻率是隨時(shí)間遞減的。標(biāo)準(zhǔn)差和極值表現(xiàn)出在不同的省、市或自治區(qū)之間有實(shí)質(zhì)性的差異。

由于實(shí)際的宏觀經(jīng)濟(jì)變量序列一般呈現(xiàn)出如下特征：隨著解釋變量值的變化，被解釋變量值的差異性一般會(huì)越來(lái)越大。為了消除可能產(chǎn)生的遞增型異方差的影響，本文對(duì)31個(gè)地區(qū)的平均每次事故的損失額（AVE_LOSS）、人均地區(qū)生產(chǎn)總值（PGDP）、平均每平方公里人口數(shù)（PPSM）數(shù)據(jù)取自然對(duì)數(shù)進(jìn)行處理，分別得到各地區(qū)的LN_AVE_LOSS、LN_PGDP、LN_PPSM的面板數(shù)據(jù)序列，取對(duì)數(shù)后解釋變量的系數(shù)表明如果解釋變量數(shù)值增加1%，導(dǎo)致被解釋變量的變化百分比。

圖1和圖2分別是平均每次事故的損失額（AVE_LOSS）和對(duì)數(shù)化后的平均每次事故的損失額（LN_AVE_LOSS）隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，圖1和圖2的每一條線連接著一個(gè)省、市或自治區(qū)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，從圖1可見(jiàn)每一個(gè)省、市或自治區(qū)的AVE_LOSS變化有較大差別，而從圖2可見(jiàn)，對(duì)數(shù)化后的數(shù)據(jù)在不同省、市或者自治區(qū)的變化差別較小。因此，下面選用對(duì)數(shù)化的宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)， 表2描述了對(duì)數(shù)化后的平均每次事故的損失金額、人均地區(qū)生產(chǎn)總值、人口密度、民用汽車(chē)擁有量隨時(shí)間變化的特性。

圖3 表示對(duì)數(shù)化后的平均每次事故的損失金額與人均地區(qū)生產(chǎn)總值隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，每一條連線表示一個(gè)省、市和自治區(qū)在2008～2012年隨時(shí)間變化的情況。由圖3可以看出來(lái)幾乎每個(gè)省、市和自治區(qū)的平均每次事故的損失金額與人均地區(qū)生產(chǎn)總值都是正向關(guān)系，平均每次事故的損失金額與人均地區(qū)生產(chǎn)總值隨時(shí)間遞增，斜率在各個(gè)省、市和自治區(qū)幾乎是相同的。圖4表示對(duì)數(shù)化后的平均每次事故的損失金額與人口密度隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，圖5表示對(duì)數(shù)化后的平均每次事故的損失金額與民用汽車(chē)擁有量隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，每一條連線表示一個(gè)省、市和自治區(qū)在2008～2012年之間的隨時(shí)間變化的情況。

由于每輛車(chē)每年的出險(xiǎn)率（FREQ）數(shù)值很小，為了方便研究，我們將研究每千輛車(chē)每年的出險(xiǎn)率。圖6表示每千輛車(chē)每年的出險(xiǎn)率隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，由圖6可以看出每千輛車(chē)每年的出險(xiǎn)率隨時(shí)間是逐漸遞減的，2008年每個(gè)省、市和自治區(qū)的每千輛車(chē)出險(xiǎn)率差異比較大，各省的出險(xiǎn)率差異逐年遞減。

圖7和圖8分別表示每千輛車(chē)每年的出險(xiǎn)率與對(duì)數(shù)化的人均地區(qū)生產(chǎn)總值、人口密度隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，每一條連線表示一個(gè)省、市和自治區(qū)在2008～2012年之間的隨時(shí)間變化的情況，由圖7可以看出來(lái)幾乎每個(gè)省、市和自治區(qū)的事故發(fā)生頻率與對(duì)數(shù)化人均地區(qū)生產(chǎn)總值成負(fù)相關(guān)系，人均地區(qū)生產(chǎn)總值越高則出險(xiǎn)的頻率越低。

圖9表示的是對(duì)數(shù)化的平均每次事故的損失金額隨時(shí)間的增加變量圖（added variable plot），增加變量圖也稱為部分回歸圖，是在控制了其它潛在變量的影響之后評(píng)價(jià)一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量影響的圖形工具。增加變量圖可以使我們?cè)诳刂破渌忉屪兞恐笥^測(cè)被解釋變量和一個(gè)解釋變量之間的關(guān)系，使分析者不用關(guān)注由其它變量引起的差異性，而僅關(guān)注被解釋變量y和某個(gè)解釋變量xj的關(guān)系。圖9表示對(duì)數(shù)化的平均每次事故的損失金額隨時(shí)間的增長(zhǎng)在每個(gè)省、市、自治區(qū)是基本一致的，有一個(gè)省的增長(zhǎng)率相比于其他省、市、自治區(qū)的增長(zhǎng)率比較大。

圖10和圖11分別為對(duì)數(shù)化的平均每次事故的損失金額和事故發(fā)生頻率隨時(shí)間變化的格架圖（trellis plot）。格架圖把多個(gè)面板數(shù)據(jù)在一個(gè)矩陣列中表示出來(lái)。圖10和圖11中的每個(gè)面板圖都是相似的，但是每一個(gè)面板圖基于不同的省、市、自治區(qū)，這種圖形結(jié)構(gòu)的便于驗(yàn)證每一個(gè)省、市、自治區(qū)對(duì)數(shù)化后平均每次事故的損失金額的增加和事故發(fā)生頻率的遞減，并從中觀測(cè)到每一個(gè)省、市、自治對(duì)數(shù)化后平均每次事故的損失金額和事故發(fā)生頻率的總體水平和斜率。

（二）模型選定及參數(shù)估計(jì)

根據(jù)關(guān)于數(shù)據(jù)特征的描述和基本分析，選用如下線性混合效應(yīng)模型來(lái)擬合平均每次事故的損失金額和事故發(fā)生頻率，模型選定如下：

四、總結(jié)

與時(shí)間序列數(shù)據(jù)模型和截面數(shù)據(jù)模型進(jìn)行比較，可見(jiàn)使用線性混合模型分析面板數(shù)據(jù)時(shí)，包含的樣本數(shù)量更多，對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)效果更理想，該模型既能描述總體的一般特征，又能體現(xiàn)出不同個(gè)體之間的差異。本文利用散點(diǎn)圖、增加變量圖等圖形工具直觀地描述出平均每次事故損失額與人口密度、人均地區(qū)生產(chǎn)總值、民用汽車(chē)擁有量的關(guān)系，及事故發(fā)生頻率與人口密度、人均地區(qū)生產(chǎn)總值的關(guān)系，便于精算人員進(jìn)行模型分析和模型診斷，為研究索賠金額和索賠頻率提供了參考。

同時(shí)，平均每次事故損失額和事故發(fā)生頻率的估計(jì)可以使用面板數(shù)據(jù)下的線性混合模型得到，進(jìn)一步凈保費(fèi)可以用索賠金額與索賠頻率的乘積求得。面板數(shù)據(jù)下的線性混合模型有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：有更多的備選模型可供選擇，不限于信度模型；統(tǒng)計(jì)軟件（如R軟件）使數(shù)據(jù)分析更簡(jiǎn)便；精算人員有另一種解釋費(fèi)率厘定的方法；精算人員可用圖形或診斷工具來(lái)選擇模型并且評(píng)價(jià)它的適用性。

注釋?zhuān)?/p>

①省份按照《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》的順序，分別為北京、天津、河北、山西、內(nèi)蒙古、遼寧、吉林、黑龍江、上海、江蘇、浙江、安徽、福建、江西、山東、河南、湖北、湖南、廣東、廣西、海南、重慶、四川、貴州、云南、西藏、陜西、甘肅、青海、寧夏、新疆。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：寧曉青）