采用非線性自回歸時(shí)序模型的汽車懸架隔振性能辨識(shí)*

陳茹雯　王玉國(guó)　湛時(shí)時(shí)

（南京工程學(xué)院，南京210036）

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采用非線性自回歸時(shí)序模型的汽車懸架隔振性能辨識(shí)*

陳茹雯王玉國(guó)湛時(shí)時(shí)

（南京工程學(xué)院，南京210036）

【摘要】根據(jù)攝動(dòng)法求解非線性微分方程理論，通過單自由度振動(dòng)系統(tǒng)在單位脈沖激勵(lì)下動(dòng)力學(xué)方程的解析解，推導(dǎo)出了振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的非線性自回歸時(shí)序（GNAR）模型表達(dá)式，獲得了基于GNAR模型的懸架隔振性能主要指標(biāo)計(jì)算公式。通過對(duì)某汽車懸架隔振參數(shù)辨識(shí)的試驗(yàn)結(jié)果表明，基于GNAR模型的懸架隔振性能辨識(shí)方法準(zhǔn)確、便捷，能實(shí)現(xiàn)對(duì)在用車輛懸架隔振性能的快速辨識(shí)和評(píng)價(jià)。

1　前言

汽車懸架隔振性能的主要指標(biāo)是懸架的固有頻率、阻尼比和懸架效率。采用文獻(xiàn)［1］～文獻(xiàn)［7］中的方法能較好地獲得懸架系統(tǒng)特性參數(shù)，但也存在一些缺點(diǎn)：如采用解析法求解固有頻率，必須掌握系統(tǒng)工作機(jī)理，正確建立其非線性微分方程；采用快速正弦掃頻激振測(cè)試結(jié)構(gòu)可能受測(cè)試臺(tái)和飛輪慣性影響；某些懸架參數(shù)在線辨識(shí)方法需要特殊的信號(hào)發(fā)生器和較多的傳感器等。

汽車懸架可視作質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，因此，懸架在外界激勵(lì)作用下的輸出是一組能反映系統(tǒng)本身特性的時(shí)間序列。非線性自回歸時(shí)序（General Expres?sion for Nonlinear Autoregressive，GNAR）模型能以任意精度逼近線性/非線性系統(tǒng)，模型的階數(shù)、記憶步長(zhǎng)及參數(shù)能反映數(shù)據(jù)系統(tǒng)的固有特性［8，9］，因此本文研究了一種基于GNAR模型的汽車懸架隔振性能快速辨識(shí)方法。首先以攝動(dòng)法求解非線性微分方程的理論為基礎(chǔ)，根據(jù)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)單位脈沖激勵(lì)下動(dòng)力學(xué)方程的解析解，推導(dǎo)出振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的GNAR模型表達(dá)式；然后推導(dǎo)出基于GNAR模型的懸架隔振性能主要指標(biāo)計(jì)算公式；通過Duffing系統(tǒng)自由振動(dòng)算例，證明非線性GNAR模型與弱非線性系統(tǒng)之間的本質(zhì)聯(lián)系，通過模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)可以辨識(shí)出系統(tǒng)的非線性特征；最后對(duì)某汽車懸架隔振參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法準(zhǔn)確、便捷，能實(shí)現(xiàn)對(duì)在用車輛隔振性能的快速辨識(shí)和評(píng)價(jià)。

2　GNAR模型

GNAR模型表達(dá)式為：

式中，wt（t=1，2，…）為系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)；at（t=1，2，…）為零均值白噪聲序列；αi1,…,αi1,i2,…為模型參數(shù)。

實(shí)際建模時(shí)，模型階次一般取為有限值，式（1）改寫為：

該模型可以簡(jiǎn)記為GNAR（p；n1, n2,…, np）。

3　基于GNAR模型的振動(dòng)系統(tǒng)辨識(shí)原理

3.1弱非線性振動(dòng)系統(tǒng)剛度和阻尼的辨識(shí)

單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)如圖1所示，設(shè)系統(tǒng)相對(duì)于平衡位置的位移響應(yīng)為z（t），根據(jù)牛頓第二定律，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：

當(dāng)ε=0時(shí)，方程（4）成為：

圖1　質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

方程（5）是方程（4）的派生方程，描述線性簡(jiǎn)諧振動(dòng)，若系統(tǒng)在t=0時(shí)刻受到單位脈沖力F=1δ（t）輸入，則方程（5）的解為［11］：

對(duì)式（6）所示的函數(shù)值z(mì)進(jìn)行等間隔離散采樣，得到一組時(shí)間序列zi，i=1, 2,…，在任意時(shí)刻有：

設(shè)定采樣間隔為Δt，由此可得：

利用三角函數(shù)公式將式（9）和式（10）展開，進(jìn)行恒等變換，可得：

式中，Δt為采樣間隔，可以視作常數(shù)。

可見，單自由度線性系統(tǒng)自由振動(dòng)的時(shí)域響應(yīng)可以采用GNAR（1；2）表示。

GNAR（1；2）的系數(shù)α1和α2為：

當(dāng)ε≠0時(shí)，根據(jù)攝動(dòng)法求解非線性微分方程的原理［12］，方程（4）所示自治振動(dòng)系統(tǒng)的解z和非線性頻率ω可以寫為：

式中，右端各項(xiàng)表示方程解不同量級(jí)的項(xiàng)，z（0）、ω（0）表示零級(jí)項(xiàng)，且稱為j級(jí)項(xiàng)。

將式（13）代入方程（4），根據(jù)等式左右同一量級(jí)相等原則，可以寫出各級(jí)解滿足的方程：

式中，各等式分別表示零級(jí)方程、一級(jí)方程、二級(jí)方程…。

顯然，式（14）中的零級(jí)方程就是派生方程（5），因此零級(jí)解可表示為：

將式（16）代入式（14）中一級(jí)方程的右端：

式中，z（0）和ck為常數(shù)。

因此，一級(jí)解z（1）可以寫成關(guān)于z（0）的多項(xiàng)式：

式中，P1表示多項(xiàng)式函數(shù)。

將式（15）代入式（19）：

對(duì)式（19）所示的z（1）求導(dǎo)數(shù)，可以得到和：

將式（19）和式（21）代入式（14）中二級(jí)方程的右端，可以獲得i時(shí)刻的二級(jí)解表示為零級(jí)解和的高階多項(xiàng)式形式，用P2表示。同理可以求得二級(jí)以上各階解。

式中，多項(xiàng)式函數(shù)Pi取決于方程（4）的非線性解析函數(shù)f。

根據(jù)式（13）有：

將式（23）代入式（22）：

式中，αi1,L,ij為待定系數(shù)。

式（25）表明非線性系統(tǒng)現(xiàn)時(shí)刻的輸出值可以用過去時(shí)刻輸出值的高階多項(xiàng)式來(lái)表示，這與GNAR模型的表達(dá)形式一致?？梢?，非線性GNAR模型可以用來(lái)描述非線性系統(tǒng)輸出，模型系數(shù)由系統(tǒng)基本參數(shù)（如參數(shù)ω0、非線性量ε）確定。

觀察式（24）的右側(cè)可以發(fā)現(xiàn)，右側(cè)第一項(xiàng)中zi-1和 zi-2的系數(shù)為和e-2nΔt；從右側(cè)第二項(xiàng)開始，zi-1和zi-2的系數(shù)都是包含的乘積項(xiàng)，當(dāng)ε是正的常數(shù)時(shí)，隨著j增大因此，式（25）的系數(shù)為：

變換式（26），可以得到系統(tǒng)參數(shù)：

式（27）的含義是在弱非線性條件下采用零級(jí)頻率分量表示系統(tǒng)非線性頻率。

上述推導(dǎo)過程針對(duì)的是系統(tǒng)位移輸出，同樣方法可以推導(dǎo)出速度、加速度輸出的GNAR模型表達(dá)方式。因此，對(duì)未知參數(shù)的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)輸出的位移、速度或加速度信號(hào)建立GNAR模型，獲得模型的參數(shù)α1和α2后，通過式（28）可以算出系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)。

3.2仿真算例

Duffing系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程物理意義是一種具有漸硬彈簧的振動(dòng)系統(tǒng)：

式中，n表示系統(tǒng)衰減系數(shù)；ω0為頻率參數(shù)；β為正的常數(shù)表示非線性彈力。

表1　Duffing系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果

圖2　Duffing系統(tǒng)振動(dòng)位移輸出序列（系統(tǒng)參數(shù)n=0.125/s，w0=1.5 rad/s）

對(duì)系統(tǒng)輸出建立GNAR模型，根據(jù)式（27）辨識(shí)出n? 和?，試驗(yàn)結(jié)果列于表1。表1中是系統(tǒng)輸出的10個(gè)周期的均值，相對(duì)誤差e為：

從表1中可以看出，辨識(shí)結(jié)果的相對(duì)誤差在5％以內(nèi)，較為準(zhǔn)確。隨著β增大，非線性頻率增大，其原因?yàn)橄到y(tǒng)的非線性恢復(fù)力隨著β增大而增大，這與圖2所示序列的變化趨勢(shì)一致。

可見，GNAR模型可以用來(lái)描述非線性系統(tǒng)，且通過模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)可以辨識(shí)出系統(tǒng)的非線性特征參數(shù)。

4　汽車懸架隔振性能辨識(shí)方法的應(yīng)用

4.1懸架隔振參數(shù)的辨識(shí)

將懸架簡(jiǎn)化為圖1所示單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，根據(jù)機(jī)械振動(dòng)理論，懸架的固有頻率fd、阻尼比ξ和懸架效率η這3項(xiàng)指標(biāo)的理論計(jì)算公式為：

式中，m為汽車簧載質(zhì)量；k為懸架系統(tǒng)剛度；c為懸架系統(tǒng)阻尼；ωr為懸架的阻尼固有頻率

將式（27）和式（28）代入式（31），即采用GNAR模型的參數(shù)α1和α2表示懸架的固有頻率和阻尼比：

4.2辨識(shí)試驗(yàn)

單輪平板式汽車懸架參數(shù)檢測(cè)平臺(tái)硬件組成如表2所列。采用按壓車體法給予被測(cè)車輛擬脈沖激勵(lì)，由單輪平板式汽車懸架參數(shù)檢測(cè)平臺(tái)采集車體駕駛室在擬脈沖激勵(lì)下的振動(dòng)加速度信號(hào)，如圖3所示。實(shí)際采樣時(shí)長(zhǎng)為10 276 ms，通道采集點(diǎn)數(shù)為512個(gè)，通道采樣頻率為49.822 Hz。

表2　單輪平板式汽車懸架參數(shù)檢測(cè)平臺(tái)硬件組成

圖3　振動(dòng)加速度信號(hào)

對(duì)振動(dòng)加速度信號(hào)建立GNAR模型，獲得模型參數(shù)α1和α2，根據(jù)式（31）和式（32）即可得到懸架系統(tǒng)的3個(gè)隔振性能指標(biāo)。表3給出了5次試驗(yàn)的辨識(shí)結(jié)果，可以看出基于GNAR模型辨識(shí)出的懸架隔振性能參數(shù)接近于設(shè)計(jì)值。

表3　試驗(yàn)車懸架參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)和歐洲減振器協(xié)會(huì)EUSAMA的要求，汽車懸架阻尼比ξ的值應(yīng)在0.2～0.45之間，懸架效率η應(yīng)大于0.45，懸架的固有頻率fd應(yīng)盡可能在人體感覺較為舒適的1.0～1.6 Hz之間。對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)，可知該車懸架隔振性能合格。

5　結(jié)束語(yǔ)

提出了一種基于GNAR模型的汽車懸架隔振性能快速辨識(shí)方法，即給予被測(cè)車輛懸架擬脈沖激勵(lì)，根據(jù)懸架振動(dòng)輸出信號(hào)建立GNAR模型，根據(jù)模型系數(shù)可以辨識(shí)出懸架的隔振性能指標(biāo)。理論推導(dǎo)與Duffing自由振動(dòng)系統(tǒng)算例證明了由GNAR模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)可以辨識(shí)出系統(tǒng)的線性或非線性特征及相關(guān)參數(shù)，因此，該辨識(shí)方法對(duì)線性和非線性懸架系統(tǒng)都適用。

GNAR模型只對(duì)觀測(cè)到的系統(tǒng)輸出的有序數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，模型中包含線性和非線性項(xiàng)，建模時(shí)不需要進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)和數(shù)據(jù)預(yù)處理，建模便捷，因此，該辨識(shí)方法無(wú)需掌握被測(cè)車輛的具體結(jié)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)在用車輛隔振性能的快速辨識(shí)和評(píng)價(jià)。

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（責(zé)任編輯簾青）

修改稿收到日期為2015年11月1日。

主題詞:非線性自回歸時(shí)序模型懸架隔振性能辨識(shí)

Identification of Vehicle Suspension Anti-vibration Performance Based on GNAR Model

Chen Ruwen, Wang Yuguo, Zhan Shishi
（SNanjing Institute of Technology）

【Abstract】First, based on the perturbation method of solving nonlinear differential equation theory, general expression for nonlinear autoregressive（GNAR）model is derived for vibration system time domain response with unit pulse excitation and the calculation formulas of vehicle suspension anti-vibration performance indexes are obtained based on parameters of GNAR model. Finally the vehicle suspension vibration isolation parameter identification experiments are carried on, the results show that the method is accurate and convenient to realize a rapid identification and evaluation of the suspension vibration isolation performance for vehicles in use.

Key words:GNAR model, Suspension, Anti-vibration performance, Identification

*基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51305194）；江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（BK20130746）。

中圖分類號(hào):U463.33

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1000-3703（2016）04-0031-05