HPM視角下的“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)

廖飛 王進(jìn)敬

摘要：文章運(yùn)用復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入三角形內(nèi)角和的教學(xué)，從提波特的旋轉(zhuǎn)法出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷從繞三個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，再到繞一邊上的任意一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，最后到繞三角形所在平面上任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的三角形內(nèi)角和探究過(guò)程。

關(guān)鍵詞：HPM；三角形的內(nèi)角和；教學(xué)設(shè)計(jì)；三維目標(biāo)；反饋

“三角形的內(nèi)角和”是滬教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形相關(guān)概念等內(nèi)容。三角形內(nèi)角和定理是平面幾何學(xué)中最重要的三個(gè)定理之一。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)旋轉(zhuǎn)法的實(shí)驗(yàn)操作、歸納總結(jié)、說(shuō)理論證，讓學(xué)生經(jīng)歷三角形內(nèi)角和的探究過(guò)程；體會(huì)直觀(guān)感知與理性思考之間的聯(lián)系和區(qū)別，感受數(shù)學(xué)思維的多樣性和靈活性，懂得直觀(guān)結(jié)論需要說(shuō)理證實(shí)的意義；借助數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的悠久歷史和多元文化、感受三角形內(nèi)角和定理背后的人文精神。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)是掌握三角形內(nèi)角和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與說(shuō)理方法。

1 歷史材料的選擇與加工

1.1 提波特旋轉(zhuǎn)方法的歷史

古希臘七賢之一、著名哲學(xué)家泰勒斯（Thales，公元前6世紀(jì)）最早從拼圖實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和定理，但這種發(fā)現(xiàn)完全是經(jīng)驗(yàn)性的，泰勒斯并未給出嚴(yán)格的證明。之后，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得、普羅克拉斯等相繼給出了基于平行線(xiàn)性質(zhì)的不同的證明；法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡、克萊羅，德國(guó)數(shù)學(xué)家提波特等相繼給出不同的發(fā)現(xiàn)方案。

提波特（Thibaut，1775-1832）利用旋轉(zhuǎn)的方法發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和。如圖1所示，將BC所在直線(xiàn)XY繞點(diǎn)B沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠B的度數(shù)，到AB所在的直線(xiàn)X'Y'；將X'Y'繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠A的度數(shù)，到AC所在的直線(xiàn)X"Y"；最后，X"Y"繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠C的度數(shù)，到直線(xiàn)BC所在直線(xiàn)，總共轉(zhuǎn)過(guò)180度。如果考慮順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即可證明三角形外角和定理。

19世紀(jì)西方平面幾何教材大多采用畢達(dá)哥拉斯或歐幾里得的方法來(lái)證明三角形內(nèi)角和定理，但也有少數(shù)教材將畢氏和歐氏的方法推廣到一般情形：不在某一頂點(diǎn)處作某一邊的平行線(xiàn)，而在三角形內(nèi)任一點(diǎn)處同時(shí)作三條邊的平行線(xiàn)，如圖2所示，可看作是將提波特的三點(diǎn)旋轉(zhuǎn)改成了一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。用這種方法易于證明三角形外角和定理，并可用于任意多邊形。

1.2 歷史材料的運(yùn)用

以旋轉(zhuǎn)方法為主線(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷從“繞三頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”到“繞同一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”，再到“繞某一邊上任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”，最后到“繞三角形內(nèi)任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”的過(guò)程，逐一展現(xiàn)了歷史上畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得、普羅克拉斯以及19世紀(jì)西方幾何教科書(shū)中的方法，以重構(gòu)、復(fù)制和順應(yīng)等方式融入數(shù)學(xué)史。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

2.1 新課引入

教師演示幾何畫(huà)板，讓學(xué)生觀(guān)察三角形的形狀變化。問(wèn)題1 隨著三角形形狀的變化，單個(gè)角的度數(shù)是否確定？?jī)?nèi)角和的度數(shù)是否改變？學(xué)生很容易地給出答案：?jiǎn)蝹€(gè)角的度數(shù)不確定，內(nèi)角和的度數(shù)是確定的，三角形的內(nèi)角和等于180度。

教師拋出本節(jié)課的探究任務(wù)。問(wèn)題2 根據(jù)已知△ABC，不添加其他條件，說(shuō)明∠B+∠A+∠C=180？紫。你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？學(xué)生們感到匪夷所思，認(rèn)為只有添加條件才能解決問(wèn)題。教師順理成章地引出德國(guó)數(shù)學(xué)家提波特的故事，通過(guò)幾何畫(huà)板演示了他的旋轉(zhuǎn)方法：將三角形某一邊所在直線(xiàn)分別繞三個(gè)頂點(diǎn)沿逆時(shí)針依次旋轉(zhuǎn)相應(yīng)角度，驗(yàn)證了“三角形內(nèi)角和等于180度”。

2.2 用旋轉(zhuǎn)法探究三角形內(nèi)角和

2.2.1繞同一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

教師首先復(fù)習(xí)舊知：說(shuō)明∠B+∠A+∠C=180？紫，在已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)中，有哪些與180？紫有關(guān)？學(xué)生一起敘述出平角、鄰補(bǔ)角和同旁?xún)?nèi)角。

教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用提波特的旋轉(zhuǎn)思想，將△ABC的某一邊所在直線(xiàn)繞其上某一頂點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一次，將∠B+∠A+∠C轉(zhuǎn)化為平角或同旁?xún)?nèi)角。通過(guò)師生互相交流，解決了如下問(wèn)題：提波特的方法是將三角形的邊所在直線(xiàn)繞著幾個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)呢？能否將某條邊所在直線(xiàn)，繞著三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，就可以將∠B+∠A+∠C轉(zhuǎn)化為平角或同旁?xún)?nèi)角？在前面方法的啟發(fā)下，請(qǐng)你在任務(wù)單上利用操作圖①動(dòng)手完成該操作過(guò)程，看看會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)。

通過(guò)幾何畫(huà)板演示，三名學(xué)生分別選擇了AB，AC和BC所在直線(xiàn)進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)（圖3）：1.將AB所在的直線(xiàn)繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠A的度數(shù)，EF∥AC，∠ABE=∠A，∠CBF=∠C，那么∠B+∠A+∠C是一個(gè)平角；2.將AC所在直線(xiàn)繞著點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠C的度數(shù)，PQ∥BC，∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，那么∠B+∠A+∠C是一個(gè)平角；3.將BC所在的直線(xiàn)繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠B的度數(shù)，MN∥AB，得到的結(jié)果一樣。

師生發(fā)現(xiàn)了直線(xiàn)繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的所有方法，因其選擇邊的不同而分成三類(lèi)，為此選擇其中一種方法利用圖形進(jìn)行說(shuō)理。師生一起敘述，由教師板書(shū)畢達(dá)哥拉斯方法的嚴(yán)謹(jǐn)說(shuō)理過(guò)程：如圖4所示，過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)B作AC的平行線(xiàn)，利用兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，即得∠ABC+∠A+∠C=∠ABC+∠ABD+∠CBE=180？紫。教師闡述了這個(gè)方法是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯提出來(lái)的，通過(guò)探究，激勵(lì)學(xué)生也可以達(dá)到他的思維水平，在幾何上和他站在同一起跑線(xiàn)上。

通過(guò)上述操作還找到了古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的方法，后期數(shù)學(xué)家稱(chēng)這種方法宛若從天而降，既神秘又讓人佩服。師生共同敘述，由教師在黑板上板書(shū)歐幾里得方法的說(shuō)理過(guò)程。歐幾里得的方法：如圖5所示，過(guò)點(diǎn)B作CA的平行線(xiàn)BD，則∠ABD=∠A，∠DBE=∠C，故得∠ABC+∠A+∠C為一平角。

教師和學(xué)生通過(guò)上述的操作一起發(fā)現(xiàn)，只要將△ABC的邊繞著頂點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一次就可以將∠B+∠A+∠C轉(zhuǎn)化為平角或同旁?xún)?nèi)角。并且無(wú)論旋轉(zhuǎn)哪條邊，本質(zhì)是相同的。

2.2.2繞某一邊上任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

接下來(lái)，教師引導(dǎo)學(xué)生在任務(wù)單上嘗試操作，繼續(xù)探討B(tài)C所在的直線(xiàn)繞著線(xiàn)段BC上任意一點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)∠B、∠A的度數(shù)，將∠B+∠A+∠C轉(zhuǎn)化為平角。教師結(jié)合幾何畫(huà)板給學(xué)生演示說(shuō)理過(guò)程（圖6），指出：19世紀(jì)末的美國(guó)幾何教材上已經(jīng)出現(xiàn)了該方法?？梢?jiàn)，通過(guò)探究，站在巨人肩膀上的我們也可以獨(dú)立得出先哲們?cè)?jīng)用過(guò)的證明方法。

師生共同敘述，由教師在黑板上書(shū)寫(xiě)添線(xiàn)過(guò)程。隨后，教師提出課后思考題：繞三角形的邊所在直線(xiàn)BC上任意一點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)兩次，可以得到結(jié)論嗎？要求學(xué)生課后在練習(xí)本上完成判斷并進(jìn)行說(shuō)理。

2.2.3繞三角形內(nèi)任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

然后，教師提出新的問(wèn)題：如果將直線(xiàn)BC繞著平面上任意一點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)謩e旋轉(zhuǎn)∠B、∠A和∠C的度數(shù)，也可以得出三角形內(nèi)角和等于180度的結(jié)論。如果旋轉(zhuǎn)中心選在△ABC的外部，是否可行？教師利用幾何畫(huà)板進(jìn)行演示，并指出：這種方法已為19世紀(jì)西方平面幾何教科書(shū)所采用（圖2）。

教師結(jié)合幾何畫(huà)板，介紹了三角形內(nèi)角和定理的歷史，指出：旋轉(zhuǎn)的次數(shù)越多，對(duì)旋轉(zhuǎn)中心的要求越低，并強(qiáng)調(diào)了旋轉(zhuǎn)角度與旋轉(zhuǎn)方向的重要性，再次強(qiáng)調(diào)現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)中，平行線(xiàn)是證明三角形內(nèi)角和定理的重要工具。最后師生一起歸納了四種方法的共同特征：通過(guò)平行線(xiàn)對(duì)三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分別將∠B、∠A和∠C轉(zhuǎn)化成具有公共頂點(diǎn)的三個(gè)角。

2.3 拓展與總結(jié)

教師給出問(wèn)題：已知AD∥BE，說(shuō)明∠DAC + ∠EBC =∠C。反之是否成立。首先喚起學(xué)生對(duì)圖7的記憶，問(wèn)：“如果連接AB，已知AD∥BE，你能說(shuō)明∠ABC +∠BAC + ∠ACB = 180？紫嗎？”教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)構(gòu)造三角形，拓展了平行線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用，得到了古希臘評(píng)注家普羅克拉斯的證明方法（圖8）：設(shè)BD和CE是BC的兩條垂線(xiàn)，讓BD和CE分別繞點(diǎn)B和點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得端點(diǎn)D和點(diǎn)E重合于點(diǎn)A，構(gòu)成△ABC。原來(lái)的兩個(gè)直角點(diǎn)B和點(diǎn)C所減少的部分相加恰為頂角∠A的大小，即∠ABD +∠ACE =∠A。因此，∠A+∠ABC+∠BCA為兩直角之和。

教師以一句話(huà)鼓勵(lì)學(xué)生“太陽(yáng)底下沒(méi)有新鮮事”，指出三角形內(nèi)角和定理的證明也是如此，古今中外的數(shù)學(xué)家們給出了豐富多彩的證明方法，希望有興趣的同學(xué)課后進(jìn)一步查閱資料、探究新的方法。拓展環(huán)節(jié)呼應(yīng)提波特的旋轉(zhuǎn)方法，激發(fā)學(xué)生感恩意識(shí)，鍛煉學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力，讓他們感受、理解和欣賞數(shù)學(xué)思想之美，體會(huì)數(shù)學(xué)背后火熱的思考。

3 學(xué)生反饋

課后，對(duì)全班35名學(xué)生進(jìn)行了隨堂問(wèn)卷調(diào)查。關(guān)于“我對(duì)老師教學(xué)中關(guān)于三角形內(nèi)角和等于180度的啟發(fā)、引導(dǎo)和發(fā)現(xiàn)過(guò)程理解得很好”，100%的學(xué)生都選擇了“同意”或“非常同意”。關(guān)于“我愿意了解與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)歷史知識(shí)，特別是數(shù)學(xué)家對(duì)問(wèn)題的思考過(guò)程”，97%的同學(xué)都選擇了“同意”或“非常同意”。關(guān)于“這堂課給我提供了一些表達(dá)自己想法和展示自己能力的機(jī)會(huì)”，92%的學(xué)生選擇了“同意”或“非常同意”。

最后一道開(kāi)放問(wèn)題“你還有其他方法嗎？有多少寫(xiě)多少”。我們對(duì)學(xué)生的答案進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，1名同學(xué)寫(xiě)出4種方法，4名同學(xué)寫(xiě)出2種方法，19名同學(xué)寫(xiě)出1種方法，11名同學(xué)沒(méi)有想出其他方法。學(xué)生的答案分為三角形的內(nèi)角和性質(zhì)發(fā)現(xiàn)和說(shuō)理兩類(lèi)方法：（1）直觀(guān)的發(fā)現(xiàn)方法——折紙、撕紙、旋轉(zhuǎn)、測(cè)量、三角板，圖9～11分別是三名學(xué)生各自給出的解答；（2）嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)理方法——添加輔助線(xiàn)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)構(gòu)造新圖形，找到聯(lián)系已知與未知的橋梁，圖12是一名學(xué)生給出的解答。

從學(xué)生們課堂學(xué)習(xí)表現(xiàn)和課后問(wèn)卷反饋可以歸納出學(xué)生對(duì)這節(jié)課的印象有5個(gè)方面：新的數(shù)學(xué)知識(shí)；悠久的數(shù)學(xué)歷史；智慧的數(shù)學(xué)家；巧妙的實(shí)驗(yàn)操作；嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)理方法。

4 結(jié)語(yǔ)

本節(jié)課以旋轉(zhuǎn)方法為主線(xiàn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)中心的改變展開(kāi)教學(xué)，整體上說(shuō)是對(duì)歷史的重構(gòu)。教學(xué)過(guò)程中，同時(shí)又復(fù)制了畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得和普羅克拉斯的說(shuō)理方法?；谡n堂觀(guān)察和學(xué)生反饋的結(jié)果，數(shù)學(xué)史知識(shí)給學(xué)生留下了深刻印象，學(xué)生看到“旋轉(zhuǎn)”之美，領(lǐng)略方法之妙，拓寬數(shù)學(xué)思維，感受多元文化。培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀(guān)與想象、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。由于數(shù)學(xué)史的融入，經(jīng)歷旋轉(zhuǎn)法實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，添加輔助線(xiàn)進(jìn)行說(shuō)理，了解幾何學(xué)的價(jià)值，拉近學(xué)生與古代數(shù)學(xué)家之間的“心理距離”，體會(huì)數(shù)學(xué)的悠久歷史與人類(lèi)文明的密切關(guān)系，使數(shù)學(xué)課堂充滿(mǎn)親和力，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，提高學(xué)生合作交流的能力，創(chuàng)造學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。對(duì)教師的訪(fǎng)談和對(duì)學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查都表明，本節(jié)課完成了“知識(shí)與技能”“過(guò)程與方法”“情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)”的三維教學(xué)目標(biāo)，達(dá)到了理想的效果，取得了較大的成功，受到了一致的認(rèn)可。

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