小議初中數(shù)學拓展課程的原則及可行途徑

蔣國芳

【摘 要】《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》首次將義務(wù)教育課程劃分為基礎(chǔ)性課程和拓展性課程兩大類。其中，拓展課程建設(shè)是我省深化基礎(chǔ)教育改革的重要內(nèi)容，也是此次改革的亮點。本文介紹了深化課改的背景，明確了何為拓展課程及其和課堂教學拓展之間的區(qū)別，并結(jié)合自身參與學校數(shù)學拓展課程建設(shè)的經(jīng)歷，提出了初中數(shù)學拓展的原則和途徑，以期為各學校貫徹數(shù)學拓展課程建設(shè)提供一些建議。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；拓展課程；原則及途徑

一、背景介紹

今年3月，省教育廳出臺《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》?！兑庖姟吩趪艺n程、地方課程、校本課程的三級課程分類的基礎(chǔ)上，首次從教育功能的層面將義務(wù)教育課程劃分成基礎(chǔ)性課程和拓展性課程兩類。拓展性課程的提出和建設(shè)，將在落實義務(wù)教育基礎(chǔ)性、全面性和公平性的基礎(chǔ)上，強化學生的個性化發(fā)展。此舉是深化現(xiàn)階段義務(wù)教育課程改革的重要舉措，既是落實立德樹人根本任務(wù)、全面提高國民素質(zhì)的迫切要求，也是總結(jié)和推廣本世紀初開始的義務(wù)教育課程改革先進經(jīng)驗的現(xiàn)實需要，更是對我省深化高中課程改革，尤其是去年9月開始實施的高考招生制度改革的一種呼應(yīng)。

二、基本問題

作為深化義務(wù)教務(wù)課程改革的試點學校，我校數(shù)學教研組在校領(lǐng)導(dǎo)的帶領(lǐng)和支持下，積極響應(yīng)號召，于本學期開始嘗試展開初中數(shù)學拓展課程教學的探索。

（一）何為拓展課程

在初步探索階段，首先明確什么是拓展課程。按照《意見》的表述，基礎(chǔ)性課程指國家和地方課程標準規(guī)定的統(tǒng)一學習內(nèi)容，拓展性課程則指學校自主開發(fā)開設(shè)、供學生自主選擇的學習內(nèi)容?！兑庖姟愤€將拓展性課程分為知識拓展、體藝特長、實踐活動等三大類。其中，知識拓展類課程是基礎(chǔ)性課程的延伸、應(yīng)用和整合，這類課程應(yīng)基于地方文化和學科核心素養(yǎng)，旨在拓展學生的知識面，激發(fā)學生的學習興趣。據(jù)此，筆者認為初中數(shù)學拓展課程可作如下定義：即以學校為教研主陣地，以初中數(shù)學課程知識為載體，從數(shù)學學習的意義空間、文化內(nèi)涵、生活底蘊中去延伸和開拓，以發(fā)展學生的數(shù)學思維、培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)為核心的數(shù)學知識拓展型課程。

（二）拓展課程與課堂教學拓展

弄清楚拓展課程和課堂教學拓展的差異，有助于更好地理解拓展課程的地位，更為深入地貫徹實施深化教育改革要求。數(shù)學拓展課程作為基礎(chǔ)性課程的補充，應(yīng)當是擁有包含指導(dǎo)思想、教學原則、課程實施、課程評價、條件保障在內(nèi)，既聯(lián)系數(shù)學基礎(chǔ)課程，又具有相對獨立性的課程體系。而數(shù)學課堂教學拓展是基于某一堂數(shù)學課而言，是指在課堂教學過程中依據(jù)該堂課的教學內(nèi)容、教學目標，在一定范圍和深度上同外部相關(guān)的內(nèi)容密切聯(lián)系起來的教學活動，屬于基礎(chǔ)性課程的范疇。數(shù)學拓展課程的開發(fā)和實施，將有效緩解現(xiàn)行初中數(shù)學基礎(chǔ)課程統(tǒng)一學習內(nèi)容過多、過分強調(diào)學習基礎(chǔ)性、對學生興趣培養(yǎng)和個性發(fā)展不夠重視的問題。

三、拓展原則

省教育廳辦公室發(fā)布的關(guān)于建設(shè)拓展課程的意見中指出，拓展課程應(yīng)滿足多樣性、層次性、綜合性和實踐性四個基本原則。數(shù)學拓展課程的建設(shè)首先需要滿足上述四條拓展課程的共性，同時，筆者認為，因數(shù)學學科的個性，還需要具體分析具體制定數(shù)學拓展課程的相關(guān)原則。本學期以來，筆者所在學校的數(shù)學教研組積極嘗試數(shù)學拓展課程的開發(fā)和實踐。筆者根據(jù)自身參與數(shù)學拓展課程觀摩與交流的經(jīng)歷，結(jié)合自身教學經(jīng)驗，對數(shù)學拓展課堂建設(shè)提出以下三個原則。

（一）橫向拓展，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學知識不是孤立的存在。表現(xiàn)有二：某個知識往往前有鋪墊后有延伸，前后知識逐步遞進、有序展開；不同知識間也存在聯(lián)系，例如數(shù)形結(jié)合。數(shù)學知識相互關(guān)聯(lián)，橫向交織，形成網(wǎng)絡(luò)。因而在設(shè)計數(shù)學拓展課程時，可利用現(xiàn)階段的數(shù)學基礎(chǔ)性課程尚未涉及，且符合中學生的認知發(fā)展特點的內(nèi)容進行橫向拓展。可以找到基礎(chǔ)性課程的延伸內(nèi)容或者跨界聯(lián)系的知識點所在，幫助學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。例如，我們在進行完全平方公式的證明時，在完成了基礎(chǔ)性知識的教學任務(wù)后，可以利用數(shù)學拓展課堂適當?shù)匾龑?dǎo)學生了解數(shù)形結(jié)合思想，并結(jié)合一些簡單的練習進行強化，幫助學生進行知識的橫向遷移。橫向且正向?qū)W習遷移可以為以后的數(shù)學學習起到良好的鋪墊作用。

（二）縱向拓展，深化知識理解

所謂縱向，從內(nèi)容的難度和學習層次的深度上說。就難度而言，最近發(fā)展區(qū)理論認為，教學應(yīng)當適時為學生提供有難度的內(nèi)容，促使學生“跳一跳，摘桃子”。數(shù)學拓展課程應(yīng)當基于數(shù)學基礎(chǔ)性課程，并根據(jù)班級學生的學情制定稍難的學習任務(wù)，形成數(shù)學學習的縱向拓展，幫助學生深化理解基礎(chǔ)性課程中的知識。就深度而言，新課標認為學生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。因而拓展性課程的一個重要任務(wù)和使命，就是通過設(shè)置動手實踐、自主探索與合作交流等活動，引導(dǎo)學生追問為什么、探究還有什么以及還能怎么樣，讓學生體驗發(fā)現(xiàn)學習的樂趣，挖掘出知識背后的“所以然”。這在一定程度上可以彌補基礎(chǔ)性課程對數(shù)學思維訓練不足的缺陷，也能夠通過恰當?shù)奶骄拷鉀Q數(shù)學能力較好學生“吃不飽”的問題。

（三）課外拓展，課堂聯(lián)系生活

新課標指出，數(shù)學教育作為促進學生全面發(fā)展教育的重要組成部分，不僅要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的邏輯推理和創(chuàng)新思維方面的作用，更要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能。因而數(shù)學拓展課程應(yīng)當充分考慮到數(shù)學在生活中的應(yīng)用性和實踐性，并以之為方向朝課外和生活拓展，也朝學生未來的數(shù)學學習拓展。目前初中數(shù)學教學仍以班級授課制為主，筆者認為，在傳統(tǒng)的以班級為單位的組織形式下展開拓展課程，可以引進生活中的一些值得思考的、學生們正在經(jīng)歷或?qū)?jīng)歷的數(shù)學問題，例如銀行存款利率中的數(shù)學問題、手機套餐方案選擇問題。跳出班級授課制的制約，帶領(lǐng)學生走進學校、走進社區(qū)、走進企業(yè)，發(fā)現(xiàn)實際生活中的數(shù)學問題則更值得嘗試。我們可以組織學生展開以小組為單位的專題調(diào)研、社會實踐活動，讓學生在給定目標下，設(shè)計解決問題的方案，進一步體驗分析問題和解決問題的過程，發(fā)展應(yīng)用意識和能力。

四、拓展途徑

根據(jù)上述數(shù)學拓展課程的原則，筆者結(jié)合自身數(shù)學教學經(jīng)驗和總結(jié)，提出以下三條數(shù)學拓展課程的可能途徑。

（一）將數(shù)學史融入數(shù)學拓展課程

數(shù)學學習在新的時代背景下，除了堅持數(shù)學的應(yīng)用性、工具性，也應(yīng)當關(guān)注數(shù)學的人文性。數(shù)學史是數(shù)學教學的人文向度的重要表現(xiàn)。20世紀70年代興起的HPM研究大力提倡數(shù)學史在數(shù)學教學中的作用，其諸多教學實驗表明，數(shù)學史與中學數(shù)學教學相結(jié)合能夠有效的激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，幫助學生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學的作用，感受數(shù)學家治學的嚴謹，欣賞數(shù)學的優(yōu)美，從而構(gòu)筑數(shù)學與人文之間的橋梁。我國數(shù)學史與數(shù)學教育國際研討會議自2005年舉辦第一屆以來，連續(xù)五屆大會都把如何將數(shù)學史融入中小學數(shù)學教學、提升數(shù)學教學質(zhì)量作為會議的主要議題。義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011）也指出，數(shù)學文化作為數(shù)學教育的組成部分，應(yīng)當滲透在教學中。而數(shù)學史恰恰是數(shù)學文化的重要載體，理應(yīng)成為數(shù)學課程的有機組成部分。然而長久以來，我國的初中數(shù)學教學強調(diào)解題教學，數(shù)學史在中學數(shù)學中沒有得到應(yīng)有的重視，從而忽視了培養(yǎng)學生從整體、宏觀認識數(shù)學思想體系、文化內(nèi)涵和美學價值。因此，作為基礎(chǔ)性數(shù)學課程的深化，數(shù)學拓展課程應(yīng)當對數(shù)學史在數(shù)學教學中的作用給予充分重視。

如何實現(xiàn)數(shù)學史融入初中數(shù)學拓展課程的教學設(shè)計？筆者查閱了相關(guān)資料，作了一番總結(jié)與思考。

（1）講授數(shù)學知識的歷史發(fā)展及演變歷程。例如在學習函數(shù)這一初中數(shù)學重點板塊時，對于剛剛接觸函數(shù)的初中學生來說，對函數(shù)概念的發(fā)展史，雖然不可能有較深的理解，但函數(shù)的演變史無疑對加深理解課堂知識、激發(fā)學習興趣是有益的。又如在學習從自然數(shù)到有理數(shù)這一板塊時，可以通過對“數(shù)的理論體系”發(fā)展的漫長歷程的展示，揭示數(shù)學不是靜止而是動態(tài)的，不是絕對的而是在猜想和證明中不斷發(fā)展進化的。從中展示出人類探索數(shù)學奧秘的決心和毅力，讓學生感受數(shù)學家治學的嚴謹，激發(fā)學生探索數(shù)學知識的熱情。

（2）利用數(shù)學家和數(shù)學研究的奇聞軼事形成激勵。帕斯卡爾16歲奠基射影幾何，牛頓22歲發(fā)現(xiàn)一般二項式定理，高斯18歲時發(fā)明了用圓規(guī)和直尺作正17邊形的方法；陳景潤艱辛付出完全靠紙筆和腦袋證明哥德巴赫猜想中的“1+2”，華羅庚克服貧寒困苦終有所成，陳省身作為現(xiàn)代微分幾何的開拓者被楊振寧譽為繼歐幾里得、高斯、黎曼、嘉當之后又一里程碑式的人物……在數(shù)學拓展課程的教學中，有意識地給學生介紹歷史上有名的國內(nèi)外數(shù)學家治學的故事，將會帶給學生莫大的激勵。同時從他們治學的挫折和失敗的經(jīng)歷中揭示在數(shù)學學習過程中出現(xiàn)困難是正常的，以此幫助學生樹立對數(shù)學學習的信心，幫助學生克服畏難心理。

（3）古為今用洋為中用，巧解歷史上的數(shù)學問題。歷史上的數(shù)學問題為數(shù)學拓展課程提供了豐富的教學資源，有許多可以直接用于當下的數(shù)學拓展課程。例如在講授概率這一板塊時，在數(shù)學拓展課上引入數(shù)學史上有名的“點數(shù)問題”：“若有甲乙兩人（賭技相當）各出賭金 96 金幣，規(guī)定必須要贏 3 場者才能贏得全部賭金 192 金幣，但比賽中途因故終止，此時甲、乙勝局數(shù)為 2：1.問：此時應(yīng)如何分配賭金？”十五世紀到十七世紀共有五位數(shù)學家各自提出了自己的解法，教師可先出示題目并引導(dǎo)以小組為單位進行交流和解題，相繼出示歷史上數(shù)學家的解法，同學們可能會因為自己的解法和歷史上的解法的一致性而興奮不已。又如在引導(dǎo)學生用圖形直觀證明（a+b）2 =a2+b2 +2ab時，向?qū)W生介紹歐幾里得《幾何原卷》中的命題，如下圖：

另外，《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題，《九章算術(shù)》中的應(yīng)用題，希臘三大幾何難題等都可以成為數(shù)學拓展課程的資源。歷史上的數(shù)學問題及其解法對于今天的數(shù)學教學不僅是一種資源支持，更可以讓學生通過思考與古代數(shù)學思想發(fā)生思維的碰撞。在一次HPM的教學實驗中，老師選取20名11—12歲的學生，先讓他們獨立完成選自于16世紀荷蘭數(shù)學教材中的三個題目，然后介紹原書上的解法。實驗過程中，學生對歷史上的方法產(chǎn)生了濃厚的興趣，為自己的解法與歷史方法的一致性而感到高興，也了解到了數(shù)學問題解法的多樣性，并比較了解法的優(yōu)劣，建立了數(shù)學學習的自信?？傊?，數(shù)學史蘊含著大量數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的背景知識，數(shù)學研究的科學精神，是我們進行數(shù)學拓展課程建設(shè)的寶貴資源。

（二）利用拓展課集中講授數(shù)學思想和方法

中學數(shù)學教學內(nèi)容大致由兩個部分組成：表層知識和深層知識。表層知識主要包括概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學的基本知識和基本技能，深層知識主要指數(shù)學思想和數(shù)學方法。深層知識是數(shù)學的精髓，它起著支撐和統(tǒng)率表層知識的作用。筆者在多年的教學中也發(fā)現(xiàn)，出于教學考核的需要，教師往往不得不在表層知識上花大量時間對學生進行機械的訓練使得學生“做對”，以獲取更高的分數(shù)。訓練是必不可少的，因為強化是數(shù)學技能習得的重要手段，但僅僅為了“做對”而進行的強化于學生數(shù)學思維的發(fā)展而言并不能起到很好的作用，反而枯燥機械的重復(fù)會削弱學生在數(shù)學上的興趣和創(chuàng)造力。比如有的學生在一些熟悉的題目上游刃有余，但是題目稍微一變形就束手無策，分數(shù)落差巨大，究其原因在于，學生沒有真正獲取蘊含在題目中的深層知識。我們教師不僅要讓學生“做對”，還要讓學生“會做”，這就需要教師在基本知識和基本技能的教學過程中，不斷地滲透與之相關(guān)的數(shù)學思想和數(shù)學方法，即深層知識，讓學生在掌握兩基的同時領(lǐng)悟到數(shù)學思想和方法的統(tǒng)領(lǐng)性，繼而表里結(jié)合，高屋建瓴，占領(lǐng)數(shù)學學習的制高點，不斷提高數(shù)學思維和數(shù)學素養(yǎng)。根據(jù)義務(wù)教育課程標準（2011），初中階段的基本數(shù)學思想主要包括歸納、演繹、抽象、轉(zhuǎn)化、分類、模型、數(shù)形結(jié)合等，基本方法主要指待定系數(shù)法、消元法、配方法、換元法、圖象法等。初中數(shù)學方法在數(shù)學教材里都有具體涉及但缺乏系統(tǒng)性；數(shù)學思想散于教材和練習中，需要經(jīng)過一定的歸納總結(jié)和強化才能夠較好地為學生所理解和吸收，因而，筆者認為，可以利用為數(shù)不多的數(shù)學拓展課程將平日里零碎的、未經(jīng)總結(jié)和強化的數(shù)學思想和方法進行一番梳理，通過練習和強化幫助學生內(nèi)化思想方法。如何將數(shù)學思想和方法融入數(shù)學拓展課程的設(shè)計呢？在同樣將拓展課程納入義務(wù)教育階段課程組成部分的上海，一項培養(yǎng)數(shù)學思維較好的學生運用數(shù)學方法的實踐研究或許能夠給我們提供一定的借鑒：

課題組通過梳理相關(guān)文獻和教學實踐研究證明初中數(shù)學方法和思想的運用對于數(shù)學思維水平稍低的初中學生的數(shù)學基礎(chǔ)成績提高無明顯效果，但對中等以上特別是將升入高一級學校繼續(xù)深造的學生有明顯效果。課題組首先在一所開設(shè)拓展課程的中學建立數(shù)學思想方法應(yīng)用探究班。而后使用自編教材《初中數(shù)學方法80講——六 、七年級使用》和《初中數(shù)學方法120講——八、九年級使用》對探究班的學生進行每周一節(jié)數(shù)學思想方法課的拓展訓練，并以該班為案例總結(jié)經(jīng)驗而后推廣至50多所學校。研究結(jié)果表明，使用《120講》的學校學生的數(shù)學中考成績及高分段比例有了明顯的提高。這讓筆者有了一定的思考，并得到一定的啟示：

（1）數(shù)學思想方法類的拓展課程更適合采用分層教學的方式。之所以選擇數(shù)學思維能力較好的學生參加探究班級是基于相關(guān)研究的結(jié)果。數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，基礎(chǔ)知識和基本技能較為薄弱的學生可能難以在較高層次上得到鍛煉，反而可能因此打亂原有的知識結(jié)構(gòu)，失去數(shù)學學習的信心。因而，將數(shù)學思想和方法集中在數(shù)學拓展課程進行講授可以嘗試用“分層教學”的方式，這也是《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》所鼓勵嘗試的。但是實施分層教學應(yīng)當遵循“學生自愿、教師走教、動態(tài)分層”的原則，切忌簡單地以學科成績分“快慢班”。

（2）學校應(yīng)當積極籌備數(shù)學思想和方法教學的資源，包括師資團隊建設(shè)、教學材料的準備。目前還沒有一本教輔或教師參考用書對初中數(shù)學主要思想和方法進行專門梳理和總結(jié)并成冊，因而這給學校教師發(fā)揮自身教科研能力、自主開發(fā)校本教材提供了很大的空間。上述例子中的兩本《120講》即為學校教師自主編寫的校本教材。有條件的學校還可以聯(lián)合區(qū)內(nèi)學校教師，利用集體智慧編寫適合全區(qū)學生使用的相關(guān)教材。這或許需要一個過程，需要多方支持，但是相信一旦編寫出相關(guān)教材將會受益無窮。

“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地的發(fā)生作用，使人終身受益。”將數(shù)學思想和方法融入數(shù)學拓展課程不論對學生個人還是對學校的數(shù)學教學，都會大有裨益。

（三）開發(fā)數(shù)學應(yīng)用與探究型拓展課程

數(shù)學應(yīng)用與探究型課程的范圍很廣。既包括課堂內(nèi)為了分析某個數(shù)學問題、弄清某個數(shù)學現(xiàn)象而展開的合作交流與探究，也包括課堂外以數(shù)學為載體展開的資料搜集和調(diào)研。數(shù)學應(yīng)用與探究型拓展課程著眼于培養(yǎng)學生的方案設(shè)計選擇能力、信息搜集和處理的能力、問題分析和解決的能力、與人交流與合作的能力。新課程理念強調(diào)教學以學生現(xiàn)實生活和已有經(jīng)驗為學習背景，筆者認為，數(shù)學應(yīng)用和探究型拓展課程也應(yīng)當聯(lián)系學生已有的知識經(jīng)驗，從學生的學習和生活中找素材形成可供探究的內(nèi)容，提高學生動手、實踐、思考、探索、閱讀自學和合作的能力。筆者從空間范圍的角度將這類數(shù)學拓展課程分為兩種：課堂內(nèi)的拓展和走出課堂的拓展。

1.課堂內(nèi)的拓展

在筆者所在的學校，不少數(shù)學教師已經(jīng)開始嘗試拓展課程的教學。有的教師以《銀行存款中的利率問題》為一堂數(shù)學拓展課的主題，將生活中的利率問題引進課堂，通過引導(dǎo)學生自主設(shè)計存款方案、比較優(yōu)化不同方案的活動，體會數(shù)學知識在實際生活中的應(yīng)用的廣泛性和科學性，收到了良好的效果。教師首先向?qū)W生展示一張杭州銀行的存單，通過觀察存單的活動引導(dǎo)學生了解存單上有哪些信息，接著結(jié)合學生的表述借機完整介紹存款方式、本金、利息和利率等概念。在學生對以上基本概念有一定的了解后，引導(dǎo)學生得出以下公式：

①利息=本金*利率*存期。

②本息和=本金+利息。

接著教師創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學生自主存款，通過填寫空白存單的活動，引導(dǎo)學生應(yīng)用利息計算方式。教師假設(shè)一年后取出存款，再次引導(dǎo)學生在“存兩年定期”和“存一年再轉(zhuǎn)存一年”這兩種方式中通過計算選擇存款收益更多的方式，對存款的方案進行優(yōu)化。最后教師引導(dǎo)學生放眼儲蓄存款以外的理財方式，將知識延伸到課堂之外，將課堂和實際相聯(lián)系起來。以上教學設(shè)計的最大亮點在于，這位老師將數(shù)學教材中有關(guān)利率的知識進行了拓展和遷移，將學生的視線引到生活情境中，形成了“創(chuàng)設(shè)問題情境——建立數(shù)學模型——對所建的數(shù)學模型進行解釋與應(yīng)用”的課堂教學模式。本堂數(shù)學拓展課集應(yīng)用性和探究性為一體，充分鍛煉了學生實踐、探索、思考、合作的能力。

另一位教師則以橋牌為拓展課程的主題，將課程合理有序地安排在一個學期，使用自編的講義用11個課時完成了橋牌的課堂趣味教學。其主要安排如下：

講義一

就內(nèi)容而言，該教師對橋牌的講解由淺入深，將理論上的方法及原則同學生具體的實踐操作相結(jié)合。為了不破壞教學設(shè)計的完整性，筆者選取講義一的部分內(nèi)容為例：

001.【何為橋牌】橋牌集思維、分析、計算、推理于一身，是國際比賽項目。我國男女選手在世界上均有很高的水平。中學生完全有必要對橋牌有一個比較好的了解。

002.【橋牌打法】你和對家是朋友，聯(lián)合起來與另兩家作戰(zhàn)。使用統(tǒng)一的叫牌法（后學），使用獨立的坐莊技術(shù)（后學），使用聯(lián)合的防守手段（后學），進行游戲或者比賽。

003.【橋牌基本規(guī)則】一副撲克54張，去掉2張Joker共52張。分4門花色各13張（從A，K，Q，J， 10，9，8，7，6，5，4，3，2）。請按花色理好，記號：黑桃S，紅桃H，方塊D，草花C.為相對橋牌有一個強弱之分，規(guī)定A記4點，K記3點，Q記2點，J記1點，其余不計。當一手牌?12點時，理解為較好，可以開叫。當一手牌?7點時，理解為稍好，可以應(yīng)叫或者爭叫。

004.開叫。己方與敵方都沒有叫過牌，以新自然叫牌法（約定極少，比較自然）為準，以下同。

筆者幾次觀摩橋牌拓展課，發(fā)現(xiàn)學生對此十分投入，課間還不忘和同學就課堂內(nèi)容進行交流和討論，可見以橋牌教學為主題的拓展課深受學生的歡迎。類似于橋牌的可供拓展的內(nèi)容還有很多，例如國際象棋，24點算法等。我們學校數(shù)學拓展課還開設(shè)了數(shù)學未來領(lǐng)袖、懂點經(jīng)濟學等。筆者也了解到在杭州市下城區(qū)的一些小學，教師將學生的視野引到校園中，引導(dǎo)學生利用數(shù)學知識計算物體表面積體積等，稱之為“數(shù)學步道”。還有的學校將學生圍成圓桌的合作探究形象地稱為“普羅米修斯的智慧桌”，這些也都是可供借鑒的方式。

（2）走出課堂的拓展。沒有空間和時間的限制，走出課堂的拓展可以有效地溝通和融合“課內(nèi)與課外”、“數(shù)學與生活”、“知識與能力”。將數(shù)學和實踐相結(jié)合形成數(shù)學課題研究是走出課堂的拓展的一種重要途徑。例如，有同學發(fā)現(xiàn)手機服務(wù)商推出不同的服務(wù)套餐，這激發(fā)了他探究手機套餐搭配的興趣，并在同老師和同學的交流與合作中形成了《爸爸手機運營商及套餐的選取和優(yōu)化》等研究；有同學對車牌號的編碼方式產(chǎn)生探究的欲望，通過上網(wǎng)搜集資料、實地采訪等形式形成《數(shù)學編碼在我市車牌號中的運用》的研究報告。這些都是走出課堂的數(shù)學拓展課程的表現(xiàn)。

五、小結(jié)

在實際數(shù)學拓展課程的教學中，其原則和可使用的途徑與內(nèi)容還有許多，筆者的總結(jié)只是關(guān)于數(shù)學拓展課程原則和途徑的一種看法，當然還有許多原則和途徑有待探究。在一堂數(shù)學拓展課上，講授的途徑和內(nèi)容也并不僅僅局限于某一種，而往往是多種途徑和內(nèi)容相結(jié)合。假設(shè)在課堂上強行“貼標簽”似地講授數(shù)學史， 并不能很好地發(fā)揮數(shù)學史的功能，甚至學生可能會因為這些課程與“分數(shù)” 無關(guān)， 而“抵制”學習；又假設(shè)我們一味地講數(shù)學思想則容易導(dǎo)致學生精力疲乏，事倍功半。數(shù)學拓展課程的教學也同樣如此，不管構(gòu)成數(shù)學拓展課程的途徑和內(nèi)容如何組合，都必須以“為學生的數(shù)學學習服務(wù)”為宗旨。教師在拓展教學過程中要把握教學方向，思路合理，避免“為了拓展而拓展”。

數(shù)學拓展課程應(yīng)與數(shù)學基礎(chǔ)課程有機結(jié)合，它應(yīng)立足數(shù)學基礎(chǔ)課程所學的內(nèi)容，并有一定的超越，但始終是為學生的數(shù)學學習服務(wù)和奠基的。只有從學生的角度出發(fā)，為學生的數(shù)學素養(yǎng)提升著想，這樣的數(shù)學拓展課程才是有效的、適時適度的。因此在數(shù)學拓展課程的建設(shè)中，我們應(yīng)當找準學生所需，根據(jù)校情、學情制定符合學生認知水平的拓展課程，付之以切實的行動進行有效地拓展，使數(shù)學課程因拓展而生趣盎然，使學生因拓展而學有所獲。

參考文獻：

[1]浙江省教育廳.深化義務(wù)教育課程改革指導(dǎo)意見[S].2015.3.

[2]浙江省教育廳教研室深化義務(wù)教育課程改革調(diào)研組.浙江省深化義務(wù)教育課程改革啟動情況調(diào)研報告[J].教學月刊·中學版（教學管理），2015，Z2：3-8.

[3]教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012

[4]陳加倉.小學數(shù)學拓展性課程的開發(fā)與實踐研究[J].課程教育研究，2013，06：41-43.

[5]呂秀俊.對新課標下小學數(shù)學生活化的探究[J].內(nèi)蒙古師范大學學報（教育科學版），2006，S2：224-226.

[6]馮振舉，楊寶珊.發(fā)掘數(shù)學史教育功能，促進數(shù)學教育發(fā)展——第一屆全國數(shù)學史與數(shù)學教育會議綜述[J].自然辯證法通訊，2005，04：108-109.

[7]汪曉勤，張小明.HPM研究的內(nèi)容與方法[J].數(shù)學教育學報，2006，01：16-18.

[8]張奠宙，鄭振初.“四基”數(shù)學模塊教學的構(gòu)建——兼談數(shù)學思想方法的教學[J].數(shù)學教育學報，2011，05：16-19.

[9]喬一鵬.培養(yǎng)智優(yōu)學生運用數(shù)學方法的實踐研究[J].上海中學數(shù)學，2009，05：16-17.

[10]梁立士.初中數(shù)學專題復(fù)習“橫向拓展”教學模式初探[J].中國數(shù)學教育，2011，23：10-12.