關(guān)于實函數(shù)零點的若干判別法

王有明

【摘要】 主要利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)微分中值定理與次數(shù)以及結(jié)合解析函數(shù)的儒歇定理討論實函數(shù)在某區(qū)間根的個數(shù)。本文給出這三種解題方法，來說明如何在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的類推與歸納總結(jié)能力，謹(jǐn)僅供教學(xué)參考。

【關(guān)鍵詞】 單調(diào)性； 次數(shù)； 儒歇定理

中圖分類號：O174.5 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）01（a）-0000-00

高等數(shù)學(xué)是本科生的公共基礎(chǔ)課程，既為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，也有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力、邏輯推理能力。為了提高學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的效率，教師需要在以后的教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生獨立思考，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與主觀能動性，開闊學(xué)生的思維與視野。下面用一些例子來說明一點這方面的體會。在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中，我們知道大家經(jīng)常利用介值定理判斷實函數(shù)在某些區(qū)間有沒有實根，但是通常比較難以確定根的個數(shù)。本文根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及實函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合自己的長期的教學(xué)經(jīng)驗，給出三種簡單實用的方法來確定解的個數(shù)或方程根的個數(shù)。

一 利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)零點的個數(shù)

定理1 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 連續(xù)單調(diào)且 ，則 在 內(nèi)有且僅有一個零點。

證明（略）。

根據(jù)上述討論得知 至少有四個零點，由于 是五次多項式，則 是四次多項式，因此 最多有四個零點，于是由定理 3知 有且僅有四個零。

三 利用儒歇定理判斷函數(shù)零點的個數(shù)

定理 3 假設(shè)

（1） 與 在簡單閉圍道 上及其內(nèi)部均是解析的；

（2） 在圍道 上每點均有 ，

則函數(shù) 與 在圍道 內(nèi)的零點個數(shù)相同（零點按重數(shù)計）。

證明（見[4，5，6]）。

由儒歇定理可知， 利用一些簡單的解析函數(shù)可以判斷比較復(fù)雜的解析函數(shù)在某區(qū)域的零點個數(shù)。

由儒歇定理， 與 在 內(nèi)的零點個數(shù)是相同的。由于 在單位圓內(nèi)顯然有一個零點，所以 在單位圓內(nèi)也有一個零點。因此原方程有一個根。

我們根據(jù)實函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系與性質(zhì). 也可以利用儒歇定理來考慮某些實函數(shù)根的個數(shù)問題。

由儒歇定理， 與 在 內(nèi)部的零點個數(shù)是相同的。由于 在單位圓內(nèi)內(nèi)按重數(shù)計算有2 個零點，所以 在單位圓內(nèi)也有兩個零點。因此 在 內(nèi)有且僅有兩個零點。

說明： 對于某些實變函數(shù)， 由介值定理可判斷在給定的區(qū)間根的最少個數(shù). 再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理與系數(shù)以及復(fù)變函數(shù)中的儒歇定理， 可以確定在給定區(qū)間根的具體個數(shù)。每一門學(xué)科都有規(guī)律，這種規(guī)律需要總結(jié)與歸納。找到這些規(guī)律與學(xué)習(xí)方法，發(fā)揮主觀能動性，學(xué)好高等數(shù)學(xué)就不難了。

參 考 文 獻

[ 1] 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)[M]， 北京： 高等教育出版社， 2007.

[ 2] 陳紀(jì)修， 淤崇華， 金路. 數(shù)學(xué)分析（上冊）[M]， 北京： 高等教育出版社， 1999..

[ 3] 劉玉璉， 傅沛仁， 等. 數(shù)學(xué)分析講義[M] 4 版， 北京： 高等教育出版社， 2003.

[ 4] 譚小江， 伍勝健， 復(fù)變函數(shù)簡明教程[M]，北京： 北京大學(xué)出版社， 2006.

[ 5] 張錦豪， 邱維元， 復(fù)變函數(shù)論[M]， 北京： 高等教育出版社， 2001.

[ 6] 龔晟， 簡明復(fù)分析[M]， 北京： 北京大學(xué)出版社， 1996.

On the zeros of real function

three discriminant method

Department of Applied Mathematics， College of Science，

Hunan Agricultural University， ChangSha 410128， China

Abstact： In this paper， we mainly use the monotonicity of function， function of differential mean value theorem of analytic function with the degree of polynomial， and use Rouche theorem by relation from real functions and analytic functions. This paper gives the three methods， we only use teaching reference.

Key words： monotonicity， degree， Rouche theorem