一道彰顯直觀想象試題的命制與分析

劉興梓

試題命制素材提倡源于生活中的問題，最終為生活服務(wù).我們在試題命制探究過程中，應(yīng)該學會挖掘生活素材，注意直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模等學科核心素養(yǎng)之間密切關(guān)聯(lián).筆者結(jié)合一道試題命制與分析，與大家共享命制心路.

1 題目呈現(xiàn)f（m）的最小值為____.

2 考查目標

這是一道函數(shù)最值問題，試題簡潔樸實，內(nèi)涵深刻.本題以初等型函數(shù)為載體，以探尋函數(shù)最小值為目標.主要考查線段和差最值、點到直線垂線段最短、直線方程的傾斜角、解直角三角形、兩點間距離公式、等腰三角形等知識;運用函數(shù)方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，考查學生的轉(zhuǎn)化意識、數(shù)學語言互譯能力及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.

3 命制過程

3.1 靈感來源

筆者翻閱數(shù)學與物理文化書籍，一則古老的數(shù)學問題引起了筆者的注意.

來源1 古老的胡不歸問題

有一則歷史故事說的是，一個身在他鄉(xiāng)的小伙子得知父親病危的消息后，便日夜趕路回家，然而他選擇回家路線不當，最終當他氣喘吁吁地來到父親面前時，老人才剛剛咽氣了.人們告訴他，老人在彌留之際，還在不斷喃喃的叨念：“胡不歸？胡不歸？……”

早期的科學家曾為這則古老的傳說中的小伙子設(shè)想了一條路線（如圖1）.A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是砂土地帶.為了急切回家，小伙子選擇了直線路程AB.

他忽略了在驛道上行走要比在砂土地帶行走快的這一因素.如果他能選擇一條合適的路線（盡管這條路線長一些，但是速度可以加快），是可以提前抵達家門的.

那么這應(yīng)該是哪條路線呢？顯然，根據(jù)兩種路面的狀況和在其上面行走的速度值，可以在AC上選定一點D，小伙子從A走到D，然后從D折往B，可望最早到達B.用現(xiàn)代的科學語言表達就是：“己知在驛道和砂地上行走的速度分別為V1和V2，在AC上求一個定點D，使得A→D→B的行走時間最短.”

來源2 一道曾獲得省級學科命題獎勵的自創(chuàng)題

筆者于2014年參加福建省九科高考命題活動，以古老的胡不歸問題為設(shè)計模式，題目設(shè)計如下：

如圖2，已知甲在岸上4點處發(fā)現(xiàn)乙在B點處落水呼救，點B離岸上AC距離BC=30米，∠BAC=15°.甲在岸上跑步速度是水中游泳速度的√2倍，甲在水中游泳速度為3米/秒，設(shè)甲從A點到B點的時間為f秒，則f的最小值為____

.

解析 如圖2，作∠CAD= 45°，記甲在岸上P點處入水，過點P作PH上AD于點H，此時，AP=√2.PH.又由于甲在岸上跑步的速度是水中游泳速度的√2倍，于是甲在岸上A所花時間等價于PH在水中所花時間，即甲從A點到B點的時間為PH+PB在水中游所花時間.過點B作BE⊥AD于點E，由點到直線垂線段最短可知PH+ PB≥BE，當且僅當B，P，日三點共線且點E與點H重合時等號成立.

題目以實際生活產(chǎn)生的研究性問題為背景，關(guān)鍵解決方案設(shè)計中的最優(yōu)解.本題通過甲在岸上跑步速度與水中游泳速度之比，運用構(gòu)造法把岸上的路程轉(zhuǎn)化為水中的路程，再利用點到直線垂線段最短對線段之和的最小值求解，找到甲的入水點，從而提出最優(yōu)方案.本題思維靈活，若用其他方法也可求解，但運算量較大.題目設(shè)計接近生活，符合高考對數(shù)學應(yīng)用方面的考查要求.

來源3 教材習題

人民教育出版社普通高中課程標準實驗教科書A版必修2第110頁B組第8題：己知O

本題注重代數(shù)語言與幾何語言互譯，注重問題本質(zhì)探索.解題若從代數(shù)單方面出發(fā)，解題難度明顯較大.若從代數(shù)中蘊含的幾何本質(zhì)，則問題可迎刃而解.教材編者意圖，以題目引導(dǎo)學生注重幾何直觀的重要性，以題目引領(lǐng)數(shù)形結(jié)合思想教學.

3.2 命制設(shè)想

設(shè)想1針對“靈感來源1”尋求古老的胡不歸問題數(shù)學模型，揭示數(shù)學模型性質(zhì)，看是否能用適當?shù)暮瘮?shù)來表示出來;

設(shè)想2在“靈感來源2”中，胡不歸問題可創(chuàng)編具有生活意義的數(shù)學應(yīng)用命題，這類數(shù)學文化題更貼近生活實際.從不同的高考命題角度看，此類型題能否再次設(shè)計成更加簡潔易懂的數(shù)學問題;

設(shè)想3通過“靈感來源3”，可以初步認識在胡不歸問題中，搭起“數(shù)”與“形”的橋梁為兩點間的距離公式，命題設(shè)計可以從這一方面出發(fā).

3.3 改進與定稿

鑒于以上“形”用“數(shù)”來表示，筆者決定用初等型函數(shù)形式體現(xiàn)問題，經(jīng)過初步探討，筆者命制初稿. 初稿若

說明題目直接以兩點間距離的形式體現(xiàn)函數(shù)，對于學生而言，不難找出可用兩點距離公式來轉(zhuǎn)化成解析幾何的形式，初稿后筆者發(fā)現(xiàn)，其一，題目暗含的運用“形”轉(zhuǎn)化“數(shù)”太過明顯;其二，對于線段題建模是有誤差的.

第2稿若

說明經(jīng)過不斷思索，筆者降低題目難度并讓模型靠近胡不歸問題模型，使之達到命題有效性，解足問題，“2”改為“1”，使得點（m，m）與點（1，1）在直線y=x上，這時模型建立符合胡不歸問題了.雖然

的設(shè)定不是很滿意，于是決定在不改變問題背景和函數(shù)基本形態(tài)的情況下增加函數(shù)類型的復(fù)雜程度.

m∈R，則f（m）的最小值為____.

說明題目修改了函數(shù)的表示，部分以絕對值形式出現(xiàn)，這時題目函數(shù)的味道更濃，題目更加簡潔了，對學生而言解題難度也有所提升.

4 解題思路

4.1 試題條件及目標

題目閱讀量較少，條件有二，其一是：函數(shù)f（m）輔助說明條件一.從試題條件一分析，此函數(shù)類型包含絕對值函數(shù)和根式函數(shù)，不是高中常見初等函數(shù)類型.

試題目標為求f（m）的最小值.函數(shù)最值問題是高考命題、高中數(shù)學競賽命題、高校自主招生命題常見題型，解決此類問題經(jīng)常用到定義法、函數(shù)單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法、換元法、配方法、不等式法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法.

4.2 試題聯(lián)想

聯(lián)想1 |m-l|表示在數(shù)軸上點m到點1的距離;中點（m，m）到點（3，4）的距離.

由這兩個聯(lián)想結(jié)合函數(shù)類型，本題解題可以從“數(shù)”轉(zhuǎn)化“形”入手.

4.3 試題拱橋

從以上兩個聯(lián)想出發(fā)，還是無法得到兩個聯(lián)想之間有何聯(lián)系，這時需要適當轉(zhuǎn)化，搭出|m-l|與成在平面直角坐標系表示為

此時問題這可轉(zhuǎn)化為點（m，m）與（1，1）、（3，4）的關(guān)系.

當A，C，D三點共線且CD上直線y=l時，|AD|+|AC|取最小值，即f（m）取最小值為3，此時，點A的坐標為A（3，3）.

6 從學科素養(yǎng)角度評價試題命制

6.1 對直觀想象素養(yǎng)的考查

直觀想象為高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，從以胡不歸問題模型的命題設(shè)計中，我們認識到函數(shù)本身體現(xiàn)自然規(guī)律，數(shù)皆可化為形，解答若借助直觀想象，感知事物的形態(tài)，就可巧構(gòu)形與數(shù)的關(guān)系解決數(shù)學問題.可見直觀解決問題教學這種重要手段，是探索和形成論證思路的思維根本.通過直觀想象構(gòu)造論證求解，揭示函數(shù)本質(zhì)，體現(xiàn)思維自然規(guī)律.

6.2 對數(shù)學建模素養(yǎng)的考查

此命題設(shè)計可讓學生感受到數(shù)學文化問題初步模型的探索過程，對學生數(shù)學建模素養(yǎng)培養(yǎng)是有益的.數(shù)學建模滲入命題及教學過程中，讓學生能夠累積用數(shù)學建模解決疑難問題的寶貴經(jīng)驗，提升自身應(yīng)用能力，增強自身創(chuàng)新品質(zhì).胡不歸問題也是物理問題，跨學科設(shè)計題目，注重學科之間知識與技能關(guān)聯(lián)，有利于培養(yǎng)學生運用模型解決問題能力.

參考文獻

[1]裴光亞.數(shù)學是過程[J].中學數(shù)學，2002（8）：22-24

[2]陳敏，吳寶瑩，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)從教學過程的維度[J].課程改革，2015（4）：37-38