無中生有 妙趣橫生

楊小芳

[摘要]從不同角度、不同方向去思考問題，往往會得到多種精妙的解法，在解一些經(jīng)典幾何題時，可以采取基本幾何圖形的疊加法，使幾何題顯得更直觀，取得“無中生有，妙趣橫生”的效果.

[關鍵詞]幾何題 直觀 疊加法

[中圖分類號] G633.6

[文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2016）02-0050

幾何學不完全是邏輯推理、計算，幾何的直觀性能使解題充滿美感.我們在追求常規(guī)解題手段的同時，應追求解題的美感、簡潔性和直觀性，以下是筆者在競賽輔導中積累的一些解題思路，有別于一般的添加輔助線的方法，而用了基本幾何圖形的疊加法，暫時叫它為“無中生有”，用這種方法解題也是“妙趣橫生”.

一、大道無痕，返璞歸真

圖3的格點圖不僅體現(xiàn)了圖形的直觀性，還體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的直觀性.圖中各條線段的長都源自格點圖.“大道無痕，返璞歸真”，無字證明必是絕妙證明，直觀性可達極致.

格點圖求線段長是一種常規(guī)題，難不倒學生，但用如此直觀的方法解題是學生很難想到的.數(shù)與形的完美結(jié)合能解決很多數(shù)學難題.教師不妨在平時有意識地讓學生記憶一些典型數(shù)據(jù)的幾何特征，如百等，培養(yǎng)學生對圖形和數(shù)據(jù)的敏感度.

二、勾股弦圖，經(jīng)典之美

【例2】如圖4，以Rt△BCA的斜邊BC為一邊，在△BCA的同側(cè)作正方形BCEF，設正方形的中心為（），連接AO，如果AB=3，AO=5/2，那么AC的長為_____.

圖5是著名的弦圖，線段之間的關系一日了然.圖4已有了圖5的影子，可將圖4與圖5疊加.參加競賽輔導的學生應該不難想到點O是圖中一大一小兩個正方形的共同點.得到AA'的長度為10/2，馬上得到AM的長，便能求出答案.

本題用到了“弦圖”這一基本圖形，逐步展示數(shù)據(jù)，得到結(jié)果，水到渠成，體現(xiàn)了“經(jīng)典之美”.許多數(shù)學題是在經(jīng)典試題和經(jīng)典圖形的基礎上改編而成的.數(shù)學競賽中的幾何題從不“劍走偏鋒”.幾十年來，偏題、怪題屈指可數(shù)，即使是偏題、怪題，我們破解之后，也會發(fā)現(xiàn)它的每一步都很合理.

三、變換視角，豁然開朗

前面兩題用最基本的格點圖和常見的弦圖作為背景疊加圖，用最直觀的方法來做幾何題.這種解題方法說難也難，說易也易.其實用常見的幾何圖形作為背景，用疊加的形式可以很直觀地解題，如添加輔助線等.細心觀察，諸如此類的題還有很多.

【例3】如圖7，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10。點E是CD的中點，則AE的長是

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“AD=5，BC= lO，點E是CD的中點”是典型的應用中位線解題的條件.而“AB_LBC于B.AB⊥AD于A”是典型的平行線條件.由圖7聯(lián)想到平行四邊形不難，把圖8作為背景圖疊加，答案一日了然.

上面三題用幾何最基本的格點圖、弦圖、平行四邊形作為疊加的背景，快速、準確地解題，妙不可言.

當然，不是所有的難題都可以用上述方法，但縱觀諸如此類的幾何題，只要抓住題日中的典型條件和典型特征.再結(jié)合平時做題的記憶，也不難解決.數(shù)學題都是“無巧不成書”：常規(guī)題就是給出完整的圖形、醒日的條件；而把圖隱去一部分，題日有隱含條件就是所謂的難題.所以，疊加一些基本幾何圖形作為背景，其實是在完美地補全題日殘缺的地方，呈現(xiàn)原有的常規(guī)形狀.這樣解題就變得直觀.