一組三角恒等式的猜想、證明與推廣

張漢字

[摘要]教師給出一組三角恒等式的猜想，并進(jìn)行證明與推廣，得出一些性質(zhì)或定量.

[關(guān)鍵詞]三角恒等式 猜想 證明 推廣

[中圖分類號(hào)] G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2016）02-0048

在參考文獻(xiàn)中，姜坤崇老師證明了以下三個(gè)三角恒等式，設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，則有

（1） sin?B+ sin?C-sin?A=2sinBsinCcosA：

（2） sin?C+sin?A-sin?B=2sinCsinAcosB：

（3） sin?A+sin?B-sin?C=2sinAsinBcosC.

筆者在解題中偶然發(fā)現(xiàn)，在三角形中，存在COS?45°+COS?60°-sin?75°=2cos45°cos60°cos75°，于是就有下面的猜想.

性質(zhì)1 設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，則有

（4） COS?B+COS?C-sin?A=-2cosBcosCcosA：

（5） COS?C+COS?A-sin?B=-2cosCcosAcosB：

（6） COS?A+COS?B-sin?C=-2cosAcosBcosC.

下面僅對(duì)（4）進(jìn)行證明，（5）（6）的證明過程與（4）類似.

證明：在△ABC中，由A+B+C=π知，cOs（B+C）=-cosA，根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系，推導(dǎo)如下.

對(duì)于（4），等式左端=1/2（1+cos2B+1+cos2C）-sin?A=1/2（cos2B+cos2C）+l-sin?A=cOs（B+C）cos（B-C）+CoS?A=COS（B+C）cos（B-C）+COS?（B+C）=cos（B+C）[cos（B-C）+cos（B+C）]=2cosBcosCcos（B+C）=-2cosBcosCcosA=等式右端.

下面拋開上述的六個(gè)恒等式的條件，把它們推廣到更一般的結(jié)論，于是有下面的定理和推論.

定理1對(duì)于任意角a.p，均有恒等式：

（l）sin?a+sin?β-sin?（a+β）=-2sinasinβcos（a+β）；