有趣的集合問(wèn)題微探討

郭詩(shī)琪

【摘要】 討論集合中的兩個(gè)極端概念. 一個(gè)是空集Φ與集合{Φ}之間的關(guān)系，另一個(gè)是無(wú)限集合，探討兩個(gè)無(wú)限集合與元素之間是否能形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

我在學(xué)習(xí)高中《數(shù)學(xué)（必修1）》第一章集合時(shí)，感覺(jué)它的基本知識(shí)和基本概念既不難學(xué)，也不難懂，然而在不斷做題的過(guò)程中，卻又產(chǎn)生許多困惑，于是引發(fā)我的思考，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中的有趣現(xiàn)象，激發(fā)了我的學(xué)習(xí)興趣.

集合，即把一些元素組成的總體稱(chēng)為集合，它具有確定性、無(wú)序性和互逆性，表示集合的方法有列舉法、描述法. 集合理論的內(nèi)容十分豐富，它是各門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，集合概念已發(fā)展成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支——集合論. 要很好地掌握并運(yùn)用它并不是容易的事，下面將討論集合中的兩個(gè)極端概念. 1. 空集Φ與集合{Φ}

我們知道，Φ是一個(gè)不含任何元素的集合，稱(chēng)之為空集；{Φ}是含有元素Φ的集合，它不是空集. 它們是完全不同的集合，然而它們之間又是有聯(lián)系的.

（1）包含關(guān)系

教材中，集合之間的關(guān)系是這樣定義的：對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合A是集合B的子集. 因此可以這樣說(shuō)，由集合的包含關(guān)系可知，Φ是不含任何元素的集合，它的任何元素都是其他集合中的元素，因此Φ是任何集合的子集，從而有Φ包含于{Φ} . 同時(shí)，因?yàn)榭占挡缓魏卧兀詛Φ}中的元素Φ不屬于Φ集合，從而Φ是{Φ}的真子集.

（2）隸屬關(guān)系

因?yàn)閧Φ}中含有元素Φ，所以Φ屬于{Φ}，元素Φ與集合{Φ}間為隸屬關(guān)系，即Φ∈{Φ}.

根據(jù)上面的推理，讓我們的思維再延展一下：假設(shè)由不同元素a，b組成的集合U1={a，b}，在考慮由U1的所有子集組成的集合U時(shí)，往往容易忽略空集Φ是集合U的元素，在做類(lèi)似的題型時(shí)，建議同學(xué)們可以提起筆，列一下集合U的組成，思路便清晰了，即U={Φ，{a}，，{a，b}}={Φ，{a}，，U1}.

教材中指出了元素與集合的隸屬關(guān)系以及集合與集合的包含關(guān)系，卻沒(méi)有說(shuō)明同一集合中的元素之間是否存在隸屬和包含關(guān)系. 根據(jù)上面的假設(shè)，我又在想，當(dāng)Φ、{a}、、U1同為集合U的元素時(shí)，它們之間肯定不可能存在隸屬關(guān)系，也就不能認(rèn)為Φ、{a}、包含于U1，而事實(shí)上，Φ、{a}、又確實(shí)是U1的子集，即.

再假設(shè)集合U1 = {Φ}，則由集合U1的所有子集組成集合U = {Φ，{Φ}}，這時(shí)的Φ、{Φ}均是集合U的元素. 如果認(rèn)為元素之間沒(méi)有隸屬和包含關(guān)系，那么也就不可能認(rèn)為Φ∈{Φ} 和，到底Φ與{Φ}之間是否存在隸屬關(guān)系？

因此可以總結(jié)為：如果為同一個(gè)集合中元素，則元素之間無(wú)隸屬與包含關(guān)系；但在某種情況下，把它們看作集合，則存在隸屬與包含關(guān)系.

2. 無(wú)限集合以及幾類(lèi)無(wú)限集合間對(duì)應(yīng)關(guān)系

比較兩個(gè)有限集合中含元素個(gè)數(shù)的多少，可以采用在兩集合中的元素是否可形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法來(lái)進(jìn)行比較，我們可以將這種比較方法推廣到無(wú)限集合中去. 顧名思義，無(wú)限集合指由無(wú)限個(gè)元素組成的集合，它在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在，一般常見(jiàn)的有整數(shù)集合等. 我們知道，自然數(shù)集合N = {0，1，2，3，…}、正整數(shù)集合N+={1，2，3，…}以及正奇數(shù)集合M = {1，3，5，…}等這些集合都是無(wú)限集合，建立這些集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系也是比較容易的.

例如，集合N+與集合M之間元素可以形成n？圮2n - 1，這就意味著兩無(wú)限集合的元素間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

再如，有實(shí)數(shù)集合A、B、C，A={x|x > 1}，B1={x|0 < x < 1}，B2={x|0 ≤ x < 1}，A是能與B1形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系還是能與B2形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？下面做分析：

當(dāng)X∈A時(shí)，則∈B1，可以認(rèn)為集合A與集合B1的元素間能形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

當(dāng)X = 0時(shí)，為∞. 由于集合A中包含“∞”對(duì)應(yīng)于集合B2中的“0”，看上去似乎能形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，但集合A中元素“∞”僅是一個(gè)記號(hào)，是永遠(yuǎn)不能達(dá)到的一個(gè)記號(hào)，而集合B2中的元素“0”確是實(shí)實(shí)在在存在的數(shù). 因此集合A與集合B2間不能形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)是否相等，是視能否在它們的元素之間找到一一對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)判定的. 如偶數(shù)集合和整數(shù)集合間是有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的，根據(jù)定義，則說(shuō)明偶數(shù)和整數(shù)是一樣多的，雖然這有悖于一般認(rèn)識(shí)，加之由于知識(shí)面有限，有時(shí)很難判斷兩集合元素之間是否有應(yīng)對(duì)關(guān)系.

舉個(gè)例子：圓面集合A = {（x，y）|0 < x2 + y2 < 1}與集合B = {（x，y）|x2 + y2 > 1}，是否可以找到集合A與集合B的元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？

如果集合A、B之間的元素表示為：（ρcosΦ，ρsinΦ）∈A，（0 < ρ < 1， 00 ≤ Φ ≤ 3600），必能對(duì)應(yīng)于：∈B，（0 < ρ < 1，00 ≤ Φ ≤ 3600）. 這樣A與B中元素就形成了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們可以認(rèn)為集合A與集合B中含的元素個(gè)數(shù)一樣多.

如果兩集合之間暫時(shí)沒(méi)有找到元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也不必說(shuō)永遠(yuǎn)找不到一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以比較兩集合含元素個(gè)數(shù)的多少是一個(gè)很有趣的問(wèn)題. 即使知道某集合是有限集合，可誰(shuí)又知道這個(gè)“限”是多少呢，正如天上星星與地上砂粒從理論上說(shuō)都是有限集合，誰(shuí)又能比較出哪個(gè)更多呢？