§1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（第3課時）教學案例

姜有軍

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2016）10-036-01

教學目標：

1. 使學生會根據(jù)觀測數(shù)據(jù)的特點來選擇不同的回歸模型。

2. 使學生通過探究體會到有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。

教學重點：通過探究使學生體會有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決實際問題的過程中尋找更好的模型的方法。

教學難點：了解函數(shù)的圖象特點，選擇不同的模型建模。

教學過程：

一、復習提問（多媒體課件展示，學生回顧所學內(nèi)容5分鐘之內(nèi)回答）

1.回歸分析，其步驟；2. 線性回歸模型；3. 衡量回歸方程的預報精度的方法；（1）殘差平方和法 （2）殘差圖法（3）利用相關(guān)指數(shù)R2刻畫回歸效果。

4. 建立回歸模型的基本步驟 。

設計目的：通過反復，主要讓學生熟練掌握回歸分析的基本思想和步驟，以及掌握衡量回歸方程的預報精度的方法。

二、引入新課

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，試建立與之間的回歸方程。

教師：先來分析這道題的解題思路？

學生：先作散點圖。后根據(jù)圖求對應的方程。

（教師讓學生描述求回歸方程的步驟，第一步：作散點圖，第二步：確定回歸方程的類型，第三步：求方程。教師演示用電腦做好的散點圖）

教師：觀察右圖中的散點圖，它們是線性相關(guān)嗎？

學生：發(fā)現(xiàn)樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，即兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系.

三、講授新課：（探究非線性回歸方程的確定）

教師： 如果散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以選線性回歸模型來建模；如果散點圖中的點分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，就需選擇非線性回歸模型來建模，本節(jié)課就來探討如何建立它的模型？

（學生合作交流， 根據(jù)散點圖找近似的函數(shù)模型）

學生：根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線的周圍（其中是待定的參數(shù)），故可用指數(shù)函數(shù)模型來擬合這兩個變量。

學生：也可以看成二次型函數(shù)y=c3x2+c4來做。

教師：很好，看來同學們預習的不錯！接下來先研究y=c1e ，如何待定方程中c1與c2？

學生： 在上式兩邊取對數(shù)，得lny=c2x+lnc1，再令z=lny，則z=c2x+lnc1，而z與x間的關(guān)系如下：

觀察與的散點圖，可以發(fā)現(xiàn)變換后樣本點分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合。

教師：既然找到了方法同學們自己完成。

（學生利用計算器在10分鐘內(nèi)算得a=-3.843，b=0.272，z與x間的線性回歸方程為z=0.272x-3.843，因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為y=e0.272x-3.843.）

教師：根據(jù)散點圖就一定能得到這是以e為底的指數(shù)型函數(shù)嗎？其它底數(shù)的指數(shù)型函數(shù)可以嗎？如果設行嗎？（通過不斷提問，發(fā)散學生的思維）（大多數(shù)學生半信半疑，等待教師引導，有個別學生茅塞頓開）

學生甲：可以，同樣可以待定c，a.

教師：如何待定c，a？

學生甲：將兩邊取以a為底的對數(shù)？

教師：非常棒！但以a為底的對數(shù)方便查表嗎？

學生乙：噢，但可以取常用對數(shù)呀。

（此時課堂氣氛已到了一個小高潮，同學們都在積極思考，感覺才像用數(shù)學解決問題。）

教師：很好！那我們來一起完成它。

因為，y=cax，所以，lgy=lg（cax），即，lgy=lgc+xlga，令z=lgy ， lgc=b，lga=d，則z=dx+b，它是線性的，再利用最小二乘法求出d，b，再進一步算出y關(guān)于x的方程?？磥磉@樣也是可以算出其對應的方程。

教師：我們再來研究同學們前面提到的二次型函數(shù) y=c3x2+c4.如何求解c3與c4 ？ （學生思考后陷入僵局）

教師：其關(guān)鍵在于如何通過適當?shù)淖儞Q，將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化成線性回歸問題。

學生丙：直接換元，將x2換成t，則就可將非線性換成線性加以解決。（此時他很激動，其他同學對他刮目相看）

教師：很牛！這位同學說的你們下來解。我現(xiàn)在有這樣一個問題：好像散點圖不一定是不含一次項的二次函數(shù)呀？若設y=ax2+bx+c可以嗎？

學生?。哼@不跟前面一樣嗎，直接換x2.

教師： 直接換x2為誰？是x嗎？

學生：不對。（異口同聲）

教師：那怎樣解a，b，c？

（此時教室有一片嘩然，同學們又開始討論了，有一個小組的同學舉手示意）

學生：老師，y=ax2+bx+c與y=c3x2+c4不同之處就是多了一次項，我可以將它先配方轉(zhuǎn)化成后面的形式加以解決。

教師：好，這位同學上黑板來解。

四、課堂小結(jié)

教師：本節(jié)課通過這道例題，我們發(fā)現(xiàn)了非線性問題也可以轉(zhuǎn)化成線性問題來解決，下面誰將所學技巧加以總結(jié)。

學生：指數(shù)型的函數(shù)要通過對數(shù)變換后在換元，二次函數(shù)要通過配方化成不含一次項的后換元。