錯(cuò)例資源的有效性轉(zhuǎn)變探究

徐海燕

【摘要】 作為初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，一元二次方程與一元一次方程一樣，都是整式方程，也是學(xué)生進(jìn)行更深層次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 本文將對(duì)學(xué)生較易犯錯(cuò)的題型進(jìn)行具體的實(shí)例類型分析，以提高教師的教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】 錯(cuò)例資源；轉(zhuǎn)變；一元二次方程

在數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)中，我們常常會(huì)發(fā)現(xiàn)，無論是在課堂上還是課外作業(yè)練習(xí)中，學(xué)生所犯的錯(cuò)誤基本上都是類同的，甚至有些同學(xué)對(duì)于同一類型的題目經(jīng)常一犯再犯，需要改正多次才能做出題目的最終答案. 但長久以來，我們對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)上所犯的錯(cuò)誤始終沒有確定一種有效的理念和策略，不僅影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還使教師的教學(xué)質(zhì)量無法得到提高. 古人有云：失敗乃成功之母. 因此，我們要將學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所犯的錯(cuò)誤當(dāng)成一種寶貴的資源，要正確對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤，懂得“變廢為寶”的辦法，抓住學(xué)生錯(cuò)誤思維中的合理因素，將錯(cuò)例資源轉(zhuǎn)變?yōu)閷氋F的教學(xué)資源. 在這里，我將以初中數(shù)學(xué)中的“一元二次方程”教學(xué)為例，對(duì)學(xué)生常犯的錯(cuò)誤之處進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)錯(cuò)例資源的有效性轉(zhuǎn)變.

一、忽視未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍

例 關(guān)于x的方程ax2 + 2x + 1 = 0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

學(xué)生錯(cuò)解 由題意知方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以Δ = 4 - 4a > 0，解得a < 1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a < 1.

分析 題中講方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，可以證明它是一個(gè)一元二次方程，所以，其二次項(xiàng)系數(shù)a ≠ 0，所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍實(shí)際上是a < 1且a ≠ 0.

評(píng)析 對(duì)于此種類型的題目，一定要注意一元二次方程的隱含條件：① 二次項(xiàng)系數(shù)不為0；② 未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

二、忽視方程根的判別式

例 已知方程x2 - （m + 3）x + 2m + 3 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求m的值.

錯(cuò)解 因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以可設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1和x2.

則有：x12 + x22 = 11，x1 + x2 = m + 3，x1·x2 = 2m + 3.

得（m + 3）2 - 2（2m + 3） = 11，

解得：m = 2或m = -4，

所以m的值為2或-4.

分析 在該題中，雖然已經(jīng)知道方程的二次項(xiàng)系數(shù)1 ≠ 0，但是因?yàn)轭}目中已明確說明方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以必須先對(duì)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷，即Δ ≥ 0. 當(dāng)m = 2時(shí)，Δ = （m + 3）2 - 4（2m + 3） = -3，因?yàn)棣?≤ 0，所以當(dāng)m = 2時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)m = -4時(shí)，Δ = 21，因?yàn)棣?≥ 0，所以當(dāng)m = -4時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 所以，m的值只能為-4.

三、對(duì)法則使用錯(cuò)誤

例 已知方程（x - 1）（x + 2） = 2（x + 2），求方程的根.

學(xué)生錯(cuò)解 將方程兩邊同時(shí)除以（x + 2），可得x - 1 = 2，解得x = 3，所以x = 3即為方程的根.

分析 由等式的性質(zhì)可知，在等式兩邊同時(shí)乘（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)或者整式，等式仍然成立. 在該題中，等式兩邊同時(shí)除以（x + 2），但x + 2可以為0，所以，學(xué)生在解題時(shí)失去了x = -2這個(gè)根. 正確的解法應(yīng)該使用移項(xiàng)法，即（x - 1）（x + 2） - 2（x + 2） = 0，整理得（x + 2）（x - 3） = 0，解得x1 = -2，x2 = 3.

評(píng)價(jià) 對(duì)于該類一元二次方程，一般不主張?jiān)诜匠痰膬蛇呁瑫r(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式，否則解題時(shí)容易失根.

四、忽視實(shí)際問題對(duì)自變量范圍的要求

例 已知等腰△ABC，其三條邊分別為a，b，c，其中a = 10，如果方程x2 + （b + 2）x + 6 - b = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長.

學(xué)生錯(cuò)解 由題意可得Δ = （b + 2）2 - 4（6 - b） = b2 + 8b - 20 = 0，解得b1 = 2，b2 = -10，因?yàn)閎為△ABC的邊，所以將b2 = -10舍去，所以b = 2.

又因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，所以當(dāng)c = b = 2時(shí)，△ABC的周長為14；當(dāng)c = a = 10時(shí)，△ABC的周長為22.

所以△ABC的周長為14或22.

分析 因?yàn)楫?dāng)c = b = 2時(shí)，b + c = 4 < 10，此時(shí)構(gòu)不成△ABC，所以只能是c = a = 10，所以△ABC的周長只能為22.評(píng)價(jià) 對(duì)于實(shí)際問題，在采用一元二次方程進(jìn)行解題時(shí)，要對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)，不僅要檢驗(yàn)方程的根是否符合方程本身，還要考慮方程的根是否符合實(shí)際常識(shí)等.

五、結(jié) 語

多次教學(xué)實(shí)踐證明，以上所述一元二次方程的題型為學(xué)生最容易犯錯(cuò)的方面. 因此，為了使學(xué)生能夠更好地掌握和運(yùn)用該部分的知識(shí)，教師要積極的對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)上所犯的錯(cuò)誤進(jìn)行分類總結(jié)，并陳列出較易犯錯(cuò)的題目類型，真正地將錯(cuò)例資源轉(zhuǎn)變?yōu)橛行У慕虒W(xué)資源，以提高學(xué)生的解題能力和水平.

【參考文獻(xiàn)】

[1]嵇康松. 變錯(cuò)例為有效教學(xué)資源的探究——以初中數(shù)學(xué)“一元二次方程”為例[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（24）：91.

[2]張啟淼. 談?wù)勫e(cuò)例資源在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J]. 教育教學(xué)論壇，2014（21）： 84-85.