集合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

楊梅

【摘要】集合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有無可比擬的特殊重要性.集合論的基礎(chǔ)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾在19世紀(jì)70年代奠定的，經(jīng)過一大批卓越的科學(xué)家半個(gè)世紀(jì)的努力，到20世紀(jì)20年代已確立了其在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論體系中的基礎(chǔ)地位，而進(jìn)入高中新課程，學(xué)習(xí)的第一個(gè)內(nèi)容就是集合，由此顯示出它的重要性，雖然在內(nèi)容上較少且簡(jiǎn)單，但它的數(shù)形結(jié)合思想、互補(bǔ)思想（正難反易思想）為解決某些數(shù)學(xué)問題提供了有力工具.因此，學(xué)習(xí)好集合知識(shí)能為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其他知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).在高中數(shù)學(xué)中通常把集合當(dāng)作一種語言來使用，用集合語言來表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象具有簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確的效果.它為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)等內(nèi)容的做了語言上的準(zhǔn)備.

【關(guān)鍵詞】集合；數(shù)學(xué)問題；集合語言

一、緒 論

1.研究背景

集合是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)點(diǎn)之一，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，使用集合語言可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的內(nèi)容；而運(yùn)用集合思想解決高中某些數(shù)學(xué)問題是越來越常用的方法.新課標(biāo)人教A版教材中注重知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和滲透，函數(shù)、排列組合、不等式、解析幾何以及立體幾何中都有涉及集合相關(guān)內(nèi)容.

2.研究目的

研究集合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，有助于教師更好地教學(xué)，本文結(jié)合人教A版教材，通過幾個(gè)典型例題的剖析簡(jiǎn)單談?wù)劶现R(shí)與高中數(shù)學(xué)中各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.

二、高中數(shù)學(xué)中的集合

1.集合的概念

集合就是把人們直視的或思維中的某些確定的、容易區(qū)分的對(duì)象放在一起.組成一集合的構(gòu)成要素稱為這一集合的元素.常用的集合的表示方法有列舉法、描述法.元素與集合是“屬于”與“不屬于”的關(guān)系.集合間的基本關(guān)系有子集、相等以及真子集.集合的基本運(yùn)算有交集、并集和補(bǔ)集.

2.集合在高中數(shù)學(xué)中的地位和作用

集合作為進(jìn)入高中課程學(xué)習(xí)的第一個(gè)概念，可見其重要性，同時(shí)集合是高中數(shù)學(xué)后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).集合是高中數(shù)學(xué)必修1函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對(duì)函數(shù)的兩要素——定義域、值域的表示等都用到了集合的知識(shí)；集合也是必修5中的不等式知識(shí)的基礎(chǔ)，學(xué)生要達(dá)到用集合的方法來表示不等式解集的目標(biāo)；集合知識(shí)也是必修2立體幾何的基礎(chǔ)，我們知道“點(diǎn)集構(gòu)成線，線集構(gòu)成面”，這為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何做了鋪墊；在選修2-1中圓錐的軌跡方程也是一些點(diǎn)構(gòu)成的集合，如：橢圓就是集合P=MMF1+MF2=2a，其中F1，F(xiàn)2為兩固定的點(diǎn).

三、集合與高中數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系

1.集合與函數(shù)

函數(shù)的本質(zhì)是建立在兩個(gè)數(shù)集間的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而描述函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性等都涉及集合語言.

例1 求函數(shù)f（x）=x+3+1x+2的定義域（人教A版，必修1P17例1）

解 如果對(duì)于一個(gè)函數(shù)沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合.使根式x+3有意義的實(shí)數(shù)x的集合是{x|x≥-3}，使分式1x+2有意義的實(shí)數(shù)x的集合是{x|x≠-2}，所以，這個(gè)函數(shù)的定義域就是

{x|x≥-3}∩{x|x≠-2}={x|x≥-3，且x≠-2}.

2.集合與排列組合及概率

高中數(shù)學(xué)中的概率問題一般條件就較為復(fù)雜，對(duì)于學(xué)生而言，難于理清題目思路，這時(shí)運(yùn)用集合思想，就能巧妙地將題目中的限制條件轉(zhuǎn)換成集合運(yùn)算，探求題目各條件間的關(guān)系，將題目化難為易，從而理清思路，找到解決問題的方法.

例2 某商場(chǎng)推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券，有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng).如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)分別中獎(jiǎng)的概率是0.05，求兩次抽獎(jiǎng)中以下事件的概率：

（1）都抽到某一指定號(hào)碼；

（2）恰有一次抽到某一指定號(hào)碼；

（3）至少有一次抽到某一指定號(hào)碼.（人教A版，選修2-3P54例3）

解 設(shè)“第一次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事件A.“第二次抽到某一指定號(hào)碼”為事件B，則“兩次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”就是事件AB.

（1）由于兩次抽獎(jiǎng)結(jié)果互不影響，因此事件A與事件B互相獨(dú)立.于是由獨(dú)立性可得，兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼的概率為

P（AB）=P（A）P（B）=0.05×0.05=0.0025.

（2）“兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用（AB）∪（AB）表示.由于事件AB與AB互斥，根據(jù)概率的加法公式和相互獨(dú)立事件的定義可得，所求事件的概率為

P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）

=0.05×（1-0.05）+（1-0.05）×0.05

=0.095.

（3）“兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼”可以用（AB）∪（AB）∪（AB）表示.由于事件AB，AB和AB兩兩互斥，根據(jù)概率的加法公式和相互獨(dú)立事件的定義可得，所求事件的概率為

P（AB）+P（AB）+P（AB）=0.0025+0.095=0.0975.

3.集合與不等式

集合與不等式有著密切的聯(lián)系，用集合表示不等式的解集簡(jiǎn)捷，對(duì)于不等式組的解可轉(zhuǎn)化為各不等式解集的交集.

例3 求不等式組3x2+x-2≥04x2-15x+9>0的解集.（人教A版，必修5P103B組第2（2）題）

解 設(shè)第一個(gè)不等式的解集為集合A，則A=xx≤-1或x≥23；第二個(gè)不等式的解集為集合B，則B=xx<34或x>3.原不等式的解集為A∩B，即為：xx≤-1或23≤x<34或x>3.

4.集合與解析幾何

集合溝通了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，使得由某個(gè)圖形給出的點(diǎn)集和滿足某性質(zhì)P的實(shí)數(shù)對(duì)組成的集合建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系進(jìn)而使數(shù)學(xué)中的幾何問題代數(shù)化，因此集合在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用.

例4 點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和它到直線l：x=254的距離的比是常數(shù)45，求點(diǎn)M的軌跡.（人教A版，選修2-1P47例6）

解 設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x=254的距離，根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡就是集合P=MMFd=45，由此可得x-42+y2254-x=45.最終化簡(jiǎn)可得x225+y29=1.所以，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10、6的橢圓.

5.集合與立體幾何

我們?cè)趯W(xué)習(xí)立體幾何中的點(diǎn)線面的關(guān)系時(shí)，用集合可以簡(jiǎn)單明了地表示出其包含關(guān)系，如：點(diǎn)∈線，線面.

例5 已知平面α，β，α⊥β，直線a滿足a⊥β，aα，試判斷直線a與平面α的位置關(guān)系.（人教A版，必修2P72例4）

解 直線與平面的位置關(guān)系有三種：（1）直線在平面內(nèi)；（2）直線與平面相交；（3）直線與平面平行.而在本題中已經(jīng)告訴直線不在平面內(nèi)，故所求的直線與平面的關(guān)系就只能為：直線與平面相交；直線與平面平行.

設(shè)P={（α，β，a）|α⊥β，a⊥β，aα}，

M={（α，β，a）|α⊥β，a⊥β，aα，且直線a與平面α相交}，

N={（α，β，a）|α⊥β，a⊥β，aα，且直線a與平面α平行}.

要判斷直線a與平面α的位置關(guān)系，可表述為集合問題PM∪N；最終可判斷出直線a與平面α平行.

【參考文獻(xiàn)】

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