讓學(xué)生不再“糊涂”的“弧度制”

董義宏

【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生在理解角的表示弧度制上有很大的困惑，如果得不到重視，將會(huì)極大地挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，直接影響后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).本文分析了角的基本特性，得出lr是角的基本量，用它可度量、刻畫、反映一個(gè)角的大小，從而很自然地引出了弧度制概念.使學(xué)生從根本上理解了概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)掃清了障礙，打牢了基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；概念弧度制教學(xué)；難點(diǎn)突破

在長(zhǎng)期高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)初學(xué)者對(duì)弧度制概念理解上頗感費(fèi)解.老師講得費(fèi)勁，學(xué)生聽得糊涂，一頭霧水，弧度制變成了“糊涂制”.學(xué)生學(xué)習(xí)喪失信心，影響了學(xué)習(xí)三角函數(shù)后續(xù)內(nèi)容的積極性.良好的開端是成功的一半，不能讓學(xué)生輸在起跑線上，從一開始就對(duì)本模塊的內(nèi)容失去信心.

一、提出問題，激發(fā)興趣

師：哪名同學(xué)回答扇形的弧長(zhǎng)和面積公式？

生：公式太長(zhǎng)，記得不太清楚了.

師：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)這兩個(gè)公式就變得簡(jiǎn)單多了，同學(xué)們想學(xué)嗎？

二、精心設(shè)計(jì)，啟發(fā)思考

1.用補(bǔ)圖辦法計(jì)算比值lr.

（當(dāng)α分別為180°， 90°，60° ， 45°， 30°）

（1）當(dāng)α=180°時(shí)，把半圓補(bǔ)圖，做輔助線，補(bǔ)成一個(gè)整圓，整圓的周長(zhǎng)為2πr，半圓周長(zhǎng)即為πr.lr=πrr=π，它是一個(gè)常數(shù)，不會(huì)因半徑r的變化而變化.

（2）當(dāng)α=90°時(shí)，把它補(bǔ)圖，做輔助線，補(bǔ)成一個(gè)整圓，整圓的周長(zhǎng)為2πr.90°占 360°的 14，因而此扇形的周長(zhǎng)為14個(gè)圓周長(zhǎng).lr=14×2πrr=π2，它是一個(gè)常數(shù)，不會(huì)因半徑r的變化而變化.

（3）當(dāng)α=60°時(shí)，把它補(bǔ)圖，做輔助線，補(bǔ)成一個(gè)整圓，整圓的周長(zhǎng)為2πr.60°占 360°的16，因而此扇形的周長(zhǎng)為 16 個(gè)圓周長(zhǎng).lr=1[]6×2πr[]r=π[]3，它是一個(gè)常數(shù)，不會(huì)因半徑r的變化而變化.

（4）當(dāng)α=45°與α=30°時(shí)，可類似得出.

由上面的5個(gè)特例可以看出，角變比值變，角不變則比值不

變，給定角，比值是唯一的.對(duì)某一給定的角，比值lr 是可以度量角、刻畫角的大小的.

2.比值lr對(duì)同一角是定值嗎？

3.比值 lr對(duì)不同角變嗎？角增大時(shí)比值 lr怎么變？角減小時(shí)比值 lr怎么變？

4.角的大小能由比值 lr刻畫、反映、度量嗎？

三、總結(jié)歸納，得出定義

定義：一個(gè)角的弧度數(shù)由比值 lr確定，即|α|=lr.

弧度單位，用rad表示.當(dāng)α為正角時(shí)，α=lr； 當(dāng)α為負(fù)角時(shí)，α=-lr；弧長(zhǎng)與半徑相等時(shí)易得角為1弧度.

四、繼續(xù)質(zhì)疑，引出重點(diǎn)

1.用定義計(jì)算簡(jiǎn)單嗎？能否推導(dǎo)出更為簡(jiǎn)單的換算公式呢？

2.用特例推公式，即

180°=π rad.

3.強(qiáng)化練習(xí)，熟悉互化.（略）

五、首尾照應(yīng)，回答開始提出的問題.即扇形的弧長(zhǎng)和面積公式是什么？

1.由定義|α|=lr直接得出l=|α|r.

2.推導(dǎo)面積公式：

（1）2π rad的圓心角對(duì)的扇形即整個(gè)圓面積是多少？

（3）α rad的圓心角對(duì)的扇形面積是多少？

S=α×12π×π×r2=12αr2=12lr.

3.公式的應(yīng)用：

在圓心角為120°，半徑為2的扇形中，弧長(zhǎng)是多少？面積是多少？

分析：先將角度化成弧度，再用上面兩個(gè)公式計(jì)算.

六、點(diǎn)撥強(qiáng)化，加深記憶

由上面的推導(dǎo)知道了扇形中兩個(gè)重要公式，它們的形式變得非常簡(jiǎn)單.弧長(zhǎng)公式僅僅是弧度公式的簡(jiǎn)單變形；面積公式與三角形面積公式很類似，可類比三角形面積公式記憶.

七、介紹數(shù)學(xué)史知識(shí)，提高學(xué)生科學(xué)意識(shí)

到此為止我們已經(jīng)知道當(dāng)弧長(zhǎng)和半徑相等時(shí)，角就是1 弧度的角，古代數(shù)學(xué)家和近代數(shù)學(xué)家度量角的大小時(shí)，正是采用了這種方法，即用半徑度量扇形弧長(zhǎng)，當(dāng)弧長(zhǎng)和半徑相等時(shí)，就是1 弧度的角，當(dāng)弧長(zhǎng)是半徑的2倍時(shí)就是2弧度的角，依次類推.在當(dāng)代弧度制更是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中表示角的常用方法.它的優(yōu)勢(shì)在上面兩個(gè)公式中已初步顯現(xiàn)，在后面的學(xué)習(xí)當(dāng)中也會(huì)逐步體會(huì)到.

八、當(dāng)堂檢測(cè)，反饋效果（略）