高等數(shù)學(xué)中的積分對稱美

汪小梅 朱華 楊志鵬

摘 要 本文由一元函數(shù)奇偶性的定義和對稱區(qū)間上“偶倍奇零”的結(jié)果，給出二元函數(shù)廣義奇偶性的定義，并以理論推導(dǎo)和幾何解釋相結(jié)合的方式得到積分區(qū)域關(guān)于軸對稱時的“偶倍奇零”，并進(jìn)一步推廣到關(guān)于軸對稱，直線=對稱，原點對稱的二重積分以及三重積分，曲線積分，曲面積分，通過研究發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的積分對稱有一定的規(guī)律性。

關(guān)鍵詞 奇偶性 對稱性 積分

中圖分類號：O13-4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.019

Abstract The results of single variable function definition and symmetric interval "I times odd"， are binary function generalized parity definition， and by theoretical derivation and geometric interpretation combination get integral region on the X axis symmetry "even times odd"， and further extended to symmetric about the y-axis， the straight line y = x symmetry. Symmetry about the origin of the double integral and triple integral， curve integral， surface integral， through research found that the integral symmetry in higher mathematics has certain regularity.

Key words even and odd； symmetry； integral

宇宙中的許多事物都具有某種對稱性，從古今中外的精美建筑，到巧奪天工的生活世界，無不顯示出和諧優(yōu)美的對稱。在高等數(shù)學(xué)的領(lǐng)域里，對稱也是一種美，這種美不僅體現(xiàn)在幾何的外觀形態(tài)上，還體現(xiàn)在其內(nèi)在的規(guī)律上。

例如，定積分計算中的一個結(jié)論，

設(shè) （）在[，]上連續(xù)，

①若 （）為偶函數(shù)，則 （） = 2 （）；

②若 （）為奇函數(shù)，則 （） = 0。

此結(jié)論成立必須要求兩點：（1）積分區(qū)域[，]對稱；（2）函數(shù) （）必須具有奇偶性，而且當(dāng) （）為偶函數(shù)時就為兩倍0到的積分，若為奇函數(shù)則結(jié)果為零，所以我們簡稱此結(jié)論為對稱區(qū)間上的“偶倍奇零”。試想：如果將對稱區(qū)間推廣到對稱區(qū)域，將一元函數(shù)推廣到二元函數(shù)，那么二元函數(shù)在某對稱區(qū)域上的二重積分是否也有類似的結(jié)論呢？如果有，二元函數(shù)的奇偶性又將如何定義呢？

1 二元函數(shù)廣義奇偶性的定義

由一元函數(shù)的奇偶性定義知道，實際上是指一維空間中，關(guān)于原點對稱的任意兩點處的函數(shù)值如果相等就說明 （）是偶函數(shù)，互為相反數(shù)就為奇函數(shù)。同理，在二維空間中，我們嘗試給出二元函數(shù)在對稱區(qū)域上廣義奇偶性的定義。為了敘述的方便，我們統(tǒng)一稱為奇函數(shù)或者偶函數(shù)。此定義是相對于對稱區(qū)域而言，要判斷二元函數(shù)在該對稱區(qū)域上的奇偶性，需要注意兩點：（1）根據(jù)區(qū)域的對稱性，尋找相互對稱的任意兩點和；（2）判斷這兩點處的函數(shù)值關(guān)系，相等則為該對稱區(qū)域上的偶函數(shù)，相反則為該對稱區(qū)域上的奇函數(shù)。例如：積分區(qū)域關(guān)于軸對稱時，首先找出關(guān)于軸對稱任意兩點的坐標(biāo)表達(dá)式，設(shè)任意（），其關(guān)于軸對稱的點為（）；第二步判斷他們的函數(shù)值關(guān)系，最后根據(jù)函數(shù)值關(guān)系判斷奇偶性。類似地，我們也可以判定其他情形對稱區(qū)域內(nèi)二元函數(shù)的奇偶性的定義，于是二元函數(shù)廣義奇偶性的定義為：

如果二元函數(shù) = （）的定義域是一個對稱區(qū)域（關(guān)于軸、軸、直線 = 、原點對稱），設(shè)HO，其對稱點為，若恒有 （） = （）（ （） = （））

則稱 = （）是該對稱區(qū)域上廣義的奇（偶）函數(shù)。

例1 判斷 （） = + 在關(guān)于原點對稱的區(qū)域上的奇偶性。

解：設(shè)任意一點 （），則其關(guān)于原點對稱的點為（），即 （） = （） = + ，而 （） = （） = + 。

很顯然 （） = （），所以 + 是關(guān)于原點對稱區(qū)域內(nèi)的奇函數(shù)。

2 各類對稱區(qū)域（區(qū)間）上積分的化簡

2.1 積分區(qū)域關(guān)于軸對稱時的二重積分

以型積分區(qū)域為例，首先把二重積分化為先對后對的積分的二次積分，而且積分限是從到、從到，觀察內(nèi)層積分，對積分時需要把看做常數(shù)，也就是說 （）實際上是以為自變量的一元函數(shù)，而且積分限對稱，根據(jù)定積分在對稱區(qū)間上的偶倍奇零得到啟示，若被積函數(shù)具有奇偶性，則可以進(jìn)一步化簡。

（1）當(dāng) （）關(guān)于為奇函數(shù)，即 （） ≡ （），實際上這個等式的成立，也就是 （）在內(nèi)為奇函數(shù)的定義，按照偶倍奇零的原則可得這個定積分結(jié)果為零，因此整個積分為零；

（2）當(dāng)被積函數(shù) （）關(guān)于為偶函數(shù)，即 （）≡ （），這也說明 （）在內(nèi)為偶函數(shù)。則內(nèi)層積分等于2倍 （）從0到的定積分，然后再對取從到的積分，把2提到前面去，所以，該二次積分實際上就是1上的二重積分，所以結(jié)果為2倍1上的二重積分。綜合以上兩種情況可得：

若積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，

其中1 = {（）∣≥0}是的上半部分。

此結(jié)論與我們前面學(xué)習(xí)過定積分在對稱區(qū)間上的偶倍奇零有相似之處，首先，結(jié)論成立仍然需要兩個條件：（1）積分區(qū)域關(guān)于軸對稱；（2）被積函數(shù)在內(nèi)具有奇偶性。在使用此結(jié)論過程中這兩個條件必須同時兼顧缺一不可。并且當(dāng)被積函數(shù)為該對稱區(qū)域上的奇函數(shù)時上二重積分為零，被積函數(shù)為偶函數(shù)時結(jié)果為兩倍1上的積分，所以我們把此結(jié)論簡稱為對稱區(qū)域上的“偶倍奇零”。

下面再通過直觀的幾何解釋進(jìn)一步說明這個結(jié)論：首先如果積分區(qū)域關(guān)于軸對稱也就是說內(nèi)任意一點 （），其關(guān)于軸對稱的點也一定在內(nèi)，如果 （）≡ （）也就是說關(guān)于軸對稱任意兩點處的函數(shù)值互為相反數(shù)，根據(jù)二重積分的幾何意義可得 （）在上的二重積分為零。同樣的道理，當(dāng) （）≡ （），也就是說關(guān)于軸對稱的任意兩點處的函數(shù)值相等，由圖形可得 （）在上的二重積分就等于 （）在1上二重積分的2倍。

通過以上的理論推導(dǎo)和幾何解釋相結(jié)合的方式可得積分區(qū)域關(guān)于軸對稱時偶倍奇零。

對于其余的三種情形，當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，=對稱以及原點對稱是否也具有偶倍奇零的結(jié)論？（啟發(fā)）事實證明，只要積分區(qū)域具有某種對稱性，被積函數(shù)在該對稱區(qū)域內(nèi)具有相應(yīng)的奇偶性，就一定可以得到偶倍奇零。

2.2 積分區(qū)域關(guān)于軸、直線=、原點對稱時的二重積分

若積分區(qū)域關(guān)于軸、直線 = 、原點對稱，設(shè)HO，其對稱點為

其中1表示位于對稱軸（點）一側(cè)的部分。

該結(jié)論的成立一定要求積分區(qū)域?qū)ΨQ，被積函數(shù)具有相應(yīng)的奇偶性，而且為奇函數(shù)時結(jié)果為零，偶函數(shù)時結(jié)果為2倍1上的二重積分，因此我們簡稱利用對稱性計算二重積分的原則為對稱區(qū)域上的偶倍奇零。

例2 計算（∣∣+∣∣+ + ）

解：首先畫出積分區(qū)域的圖形，這個圖形比較特殊是由四條線圍成的菱形區(qū)域，為了敘述方便這四個部分按象限分別記為1，2，3，4，經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)此積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，如果要利用結(jié)論，被積函數(shù)在上必須具備奇偶性，該被積函數(shù)在從整體上來看顯然沒有奇偶性，但是如果把被積函數(shù)分成四個部分來看，就會發(fā)現(xiàn)前三個函數(shù)都是上的偶函數(shù)，而是上的奇函數(shù)，所以首先利用二重積分的性質(zhì)，先將所求積分分解為兩個積分之和，而且第一個積分被積函數(shù)為上的偶函數(shù)，第二個積分被積函數(shù)為上的奇函數(shù)，根據(jù)對稱區(qū)域上的偶倍奇零，第一個積分就為1+2上二重積分的2倍，而第二個積分結(jié)果為零，剩下的問題就轉(zhuǎn)化為求∣∣+∣∣+ 在1+2上的二重積分，這時1+2是關(guān)于軸對稱，由前面計算的過程得到啟發(fā)，如果積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，由積分區(qū)域關(guān)于軸對稱的結(jié)論。因為1+2是關(guān)于軸對稱的，∣∣+∣∣滿足 （）≡ （），滿足 （）≡ （），所以∣∣+∣∣在1+2上二重積分就為2倍1上的二重積分，在1+2上二重積分為零。結(jié)果就為4（∣∣+∣∣）在1上的二重積分，其中1為積分區(qū)域的第一象限。為了計算∣∣+∣∣在1上的二重積分，按照通常的做法算出最后的結(jié)果為三分之四。

實際上，該積分區(qū)域關(guān)于原點對稱也可以按照原點對稱的偶倍奇零原則來計算該題。通過計算發(fā)現(xiàn)合理地利用對稱性的結(jié)論，可以大大簡化二重積分的計算，但使用時必須時刻關(guān)注積分區(qū)域?qū)ΨQ和被積函數(shù)相應(yīng)的奇偶性，只有在兩者同時滿足的情況下才可以利用偶倍奇零的原則。

這種偶倍奇零的思想不僅適用于我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的定積分和二重積分，而且對于我們后面將要學(xué)習(xí)到對稱區(qū)域上的三重積分、曲線積分以及曲面積分，也將采取同樣的思想。

2.3 對稱區(qū)域上的三重積分

如果三重積分 （）滿足如下兩個條件：區(qū)域由兩個對稱的部分與構(gòu)成，對稱點為， ； （）在對稱點的值 （）， （）相等或互為相反數(shù)，則有如下結(jié)論：

若積分區(qū)域由兩個對稱部分和構(gòu)成，設(shè)HO，其對稱點為

其中表示位于對稱軸（點）一側(cè)的部分。

2.4 對稱區(qū)域上的曲線積分

如果曲線積分 （）滿足如下兩個條件：積分曲線由兩個對稱的部分與構(gòu)成，對稱點為， ； （）在對稱點的值 （）， （）相等或互為相反數(shù)，則有如下結(jié)論：

若積分曲線由兩個對稱部分和構(gòu)成，設(shè)HO，其對稱點為

其中表示位于對稱軸（點）一側(cè)的部分。

2.5 對稱區(qū)域上的曲面積分

如果曲面積分 （）滿足如下兩個條件：曲面由兩個對稱的部分與構(gòu)成，對稱點為， ； （）在對稱點的值 （）， （）相等或互為相反數(shù)，則有如下結(jié)論：

若積分曲線由兩個對稱部分和構(gòu)成，設(shè)HO，其對稱點為

其中表示位于對稱軸（點）一側(cè)的部分。

以上都是高等數(shù)學(xué)中常見的幾類積分，通過研究發(fā)現(xiàn)只要具備相應(yīng)的條件，利用定積分“偶倍奇零”的結(jié)果，可以推導(dǎo)出相應(yīng)的結(jié)論，這些結(jié)論如果利用恰當(dāng)，可以大大簡化計算，以更加清晰的思路、高效率地為高等數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)提供方便。