“一線三等角”模型在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

吳敏

相似三角形在初中幾何的教學(xué)中發(fā)揮著不可小覷的作用，在中考考題中常有涉及和滲透，筆者在初三的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)掌握相似三角形的基本圖形，對培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力有一定的促進作用。本文以相似三角形中的“一線三等角”這一基本圖形為載體，研究這一基本圖形背景下的相關(guān)題型，并進行了收集與整理，希望對學(xué)生靈活應(yīng)用這一模型有所幫助。

一、弄清基本模型定義和解題原理

二、應(yīng)用舉例

1.在“動點問題”中的應(yīng)用

例1：如圖2，正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AM⊥MN，設(shè)BM的長為x cm，CN的長為y cm.求點M在BC上的運動過程中y的最大值。

分析：由圖可知∠B=∠C= ∠AMN=90°，Rt△ABM與Rt△MCN成“一線三等角”模型，所以Rt△ABM∽Rt△MCN，從而，所以，.所以y的最大值為。

【變式】如“例1”的條件，將問題改為“當(dāng)BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2.”

分析：四邊形ABCN的面積為，BC，AB的長都為1，是定值，只有CN在變化，要使四邊形ABCN的面積最大，則CN最大，即轉(zhuǎn)化為“例1”的問題.

2.與反比例函數(shù)聯(lián)手

例2：（2015·孝感）如圖3，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，點A在反比例函數(shù)y=的圖象上.若點B在反比例函數(shù)y=的圖象上，則k的值為（ ）

A.-4 B.4

C.-2 D.2

分析：看到反比例函數(shù)圖像上的點A，并且要求的點B也在反比例函數(shù)圖像上，從而聯(lián)想反比例函數(shù)解析式中“k”的幾何意義解決問題.過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D.根據(jù)“一線三等角”模型，很容易得到△ACO∽△ODB，從而==4，然后用反比例函數(shù)解析式中“k”的幾何意義即可.

3.在“直角三角形存在性問題”中的應(yīng)用

點的存在性問題始終是中考考查的熱點和難點，對學(xué)生的思維能力和模型思想等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著較高的要求，所以一直困擾著學(xué)生.數(shù)學(xué)解題研究中一直很關(guān)注一題多解的研究，多一種解決問題的方法，能讓學(xué)生步入考場有更多的選擇，直角三角形的存在性問題多數(shù)教師在講解的時候是引導(dǎo)學(xué)生利用解析式法“”和勾股定理解決.筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，利用“一線三等角”模型解決直角三角形的存在性問題也是一種通用方法，即便這個點在拋物線上也能使用（當(dāng)點在拋物線上時，利用勾股定理會出現(xiàn)四次情形，初中學(xué)生無法解決），能為學(xué)生解決這類問題提供了一種新的選擇。

分析：如圖5，以AB為直徑作圓，與x軸的交點就是所要找的點P.

連接AP，BP，過點B作BF⊥x軸.因為AB是直徑，所以∠APB=90°，故∠APB=∠AOP=∠BFP=90°.根據(jù)“一線三等角”模型，很容易得到△AOP∽△PFB，從而，設(shè)OP長為x，則，從而能求出x，解決問題。

通過解決上述問題，學(xué)生對點的存在性問題——直角三角形的存在性問題獲得了基本的解題經(jīng)驗，下面將“一線三等角”模型在存在性問題中的研究拓展到以拋物線為背景的題目中，通過構(gòu)造該模型，利用相似的判定和性質(zhì)解決問題困擾學(xué)生的二次函數(shù)壓軸題。

例4：如圖6，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點P，使得△BCP是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

分析：如圖 6，以BC為直徑作圓，與拋物線的對稱軸的交點就是所要找的點P.過點P作直線l∥x軸，交y軸于點M，過點B作BN⊥l，交l于點N. 根據(jù)“一線三等角”模型，很容易得到△CMP∽△PNB，從而，設(shè)點P的坐標(biāo)為（2，t），易求得點C的坐標(biāo)為（0，3），點B的坐標(biāo)為（6，0），則CM=3-t，，NP=4，BN=-t，從而，求出t的值就能求出點P的坐標(biāo)了。

從例3和例4可以看出，探尋或構(gòu)造基本圖形能幫助我們解決一類題。其實對于二次函數(shù)背景下直角三角形的存在性問題，當(dāng)需要探究的那個點在拋物線上時，能較好的體現(xiàn)“一線三等角”這一模型在計算中的優(yōu)越性，下面舉一例加以說明。

例5：如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足∠AMH=90°？若存在，請求出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

分析：容易求得該拋物線的解析式為：，從而求得點M的坐標(biāo)為。通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道運用勾股定理解直角三角形的存在性問題，因此第一次做這個題的時候很多同學(xué)都是嘗試?yán)脙牲c間的距離公式變式出三邊的長度，再由勾股定理列方程，通過嘗試發(fā)現(xiàn)運算量很大。從而引導(dǎo)學(xué)生“一線三等角”模型解決此問題，發(fā)現(xiàn)計算簡便，省了不少的功夫。

過點M作直線MH⊥AM，交拋物線于點M.過點M作直線l∥x軸，過點A作AE⊥l，交l于點E，過點H作HF⊥l，交l于點F。根據(jù)“一線三等角”模型，很容易得到△AEM∽△MFH，從而，設(shè)點H的坐標(biāo)為（），則AE=，EM=，MF=，HF=，從而，求出t的值就能求出點H的坐標(biāo)了。

三、一點思考

通過上述的研究，我們可以感受到“一線三等角”模型在各個知識背景下的廣泛應(yīng)用。為此，在平時的教學(xué)中，作為一線教師有必要嘗試這樣的專題研究，讓學(xué)生的大腦體系中形成比較完善的知識儲備，培養(yǎng)學(xué)生對基本圖形的敏銳觀察力，以便適時的將基本圖形當(dāng)做一把利劍，靈活運用到數(shù)學(xué)解題中。當(dāng)然，這樣的小專題研究只是對提高學(xué)生解題能力的一種嘗試，如果學(xué)生只是死記硬背、生搬硬套，這樣對學(xué)生的學(xué)習(xí)不會起到很好的促進作用。因此，在后續(xù)的教學(xué)中還需要研究如何將這樣的專題課進行有效的開展，以便更好的提高課堂教學(xué)效率，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。