基于經(jīng)驗(yàn)：讓數(shù)學(xué)建構(gòu)學(xué)習(xí)真正發(fā)生

段安陽(yáng)

（寧波濱海國(guó)際合作學(xué)校，浙江 寧波 315830）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：課程設(shè)計(jì)要在呈現(xiàn)知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、得到結(jié)果、解決問題的過程。[1]兒童的學(xué)習(xí)，是主體自主的建構(gòu)性學(xué)習(xí)，是以問題為導(dǎo)向的體驗(yàn)性學(xué)習(xí)，是基于經(jīng)驗(yàn)的研究性學(xué)習(xí)。學(xué)生最有效的學(xué)習(xí)是在原有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的再建構(gòu)。但有些教師，不能深入研究學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，用自己的理解替代學(xué)生的理解，用自己的經(jīng)驗(yàn)替代學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，嚴(yán)重違背了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)效果。

一、內(nèi)涵詮釋：何為基于經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

什么是經(jīng)驗(yàn)?《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》的解釋為：一是指由實(shí)踐得來的知識(shí)與技能；二是經(jīng)歷。杜威曾對(duì)經(jīng)驗(yàn)概念進(jìn)行過整合與創(chuàng)造，得出教育的哲學(xué)：“教育就是經(jīng)驗(yàn)的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經(jīng)驗(yàn)的意義，又能提高指導(dǎo)后來經(jīng)驗(yàn)進(jìn)程的能力。”[2]杜威的經(jīng)驗(yàn)概念包含兩重意義，一是經(jīng)驗(yàn)的事物，另一個(gè)是經(jīng)驗(yàn)的過程。由此可見，經(jīng)驗(yàn)是一種過程性知識(shí)，是在實(shí)踐活動(dòng)中所形成的一種“活動(dòng)圖式”。學(xué)生有哪些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

1.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法經(jīng)驗(yàn)。他們知道認(rèn)數(shù)是需要借助計(jì)數(shù)器、口算，有難度的可以借助豎式計(jì)算等，也就是說他們具備一定的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。而這些學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法在不斷的學(xué)習(xí)中已內(nèi)化為他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在合適的情境下可以激發(fā)出來。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，學(xué)習(xí)方法經(jīng)驗(yàn)主要有：畫圖法、舉例法、分析法等。

2.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生每學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，都是為以后的學(xué)習(xí)積累數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。這些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的獲得及掌握對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用?！皽毓识隆闭f的就是將新知與舊知溝通起來，基于舊經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)新知識(shí)。新課標(biāo)指出學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)還包括從屬于學(xué)生自己的“主觀性知識(shí)”，即那些在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的帶有鮮明個(gè)體認(rèn)知特征的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生通過寫回憶、數(shù)學(xué)作文、隱喻等方式呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，具體內(nèi)容主要表現(xiàn)為：學(xué)生對(duì)具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的回味；學(xué)生從活動(dòng)中獲得的具體數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法與策略；從數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的認(rèn)識(shí)；學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的情感經(jīng)驗(yàn)等。通過課堂觀察、訪談等手段，歸納出學(xué)生在某一堂數(shù)學(xué)課中獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的具體內(nèi)容主要表現(xiàn)為：學(xué)生經(jīng)歷的具體數(shù)學(xué)活動(dòng)；學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中的體驗(yàn)、感受和逐步形成的對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的觀點(diǎn)和看法以及對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的一些傾向性價(jià)值判斷；在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的事實(shí)性知識(shí)、程序性知識(shí)；如何進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)猜想以及如何驗(yàn)證、歸納、交流與討論的一些方法和技巧等。

二、理論架構(gòu)：基于經(jīng)驗(yàn)的心理學(xué)依據(jù)是什么

布魯納指出：“不論我們教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本知識(shí)結(jié)構(gòu)。”[3]教學(xué)的任務(wù)就是將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)不是學(xué)生被動(dòng)地接受過程，而是學(xué)生主動(dòng)地以他的已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)所進(jìn)行的積極的建構(gòu)過程。兒童已有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，不僅包括“結(jié)構(gòu)性”知識(shí)，還包括大量的“非結(jié)構(gòu)性”的已有經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)必須建立在兒童的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，因此，我們要對(duì)每一個(gè)兒童的知識(shí)起點(diǎn)、能力基礎(chǔ)、情感態(tài)度、年齡特征等做出準(zhǔn)確解讀，以便開展真正意義上的教與學(xué)！

我們要根據(jù)學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)展開數(shù)學(xué)教學(xué)，也就是要“以學(xué)定教”，“學(xué)”即學(xué)生的學(xué)情，包括其原有的基礎(chǔ)、潛在的能力、學(xué)習(xí)的意向等。所以教學(xué)前要認(rèn)真考慮哪些問題是學(xué)生能自主學(xué)習(xí)的，哪些為他們力所不能及的。這就需要教師在了解學(xué)生學(xué)習(xí)“過去”的同時(shí)，更能準(zhǔn)確把握他們的學(xué)習(xí)“過程”，采取靈活多變而又適切妥當(dāng)?shù)慕虒W(xué)應(yīng)對(duì)。維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論告訴我們，教學(xué)要讓學(xué)生“跳一跳，摘得到”。教學(xué)的設(shè)計(jì)要從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)開始，即尊重學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上開始知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，這是符合新課程理念的。

三、實(shí)踐探索：如何實(shí)施基于經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)

希爾伯特認(rèn)為：“在每個(gè)數(shù)學(xué)分支中那些最初、最老的問題肯定是起源于經(jīng)驗(yàn)，是由外部現(xiàn)象世界所提出的。”[4]教學(xué)過程要成為不斷激活學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的過程。只有在尊重學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的自主空間里，只有在平等的自由對(duì)話和刺激中，學(xué)生沉睡的經(jīng)驗(yàn)才有可能被喚醒而處于積極狀態(tài)，不斷地被同化、調(diào)整、豐富或重構(gòu)。

1.聯(lián)通新知與舊知，將已有經(jīng)驗(yàn)激活

數(shù)學(xué)教學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)不是孤立存在的，任何一個(gè)新知都是基于某一個(gè)或者某一些舊知而生發(fā)出的，如同一棵大樹上的枝干或枝條與枝葉的關(guān)系，教師要能如庖丁解牛般，對(duì)于新知教學(xué)進(jìn)行準(zhǔn)確定位，找到新知與舊知的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，讓學(xué)生在似曾相識(shí)的感覺中，對(duì)舊知進(jìn)行回顧，對(duì)新知進(jìn)行建構(gòu)，主動(dòng)實(shí)現(xiàn)舊知與新知的完美相遇。

案例：《有余數(shù)的除法》教學(xué)片斷

師：誰能舉出一個(gè)平均分的例子。

生1：8塊巧克力，平均分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得2塊。

生2:10個(gè)桃子，每只小猴吃2個(gè)，可以分給5只小猴。

師：同學(xué)們剛剛舉出的例子都有一個(gè)共同的特點(diǎn)——都能正好分完，一個(gè)不多也不少！

生1：9支鉛筆，平均分給4個(gè)小朋友，每人分得2支，還多1支。

師：這多出的1支為什么不繼續(xù)分呢？

生：有4個(gè)人，只有1支筆，不夠分了。

師：哦，不是不想分，而是不夠分，所以這1支就暫時(shí)放著。像這樣，還是平均分嗎？

一番爭(zhēng)論后，達(dá)成共識(shí)：每人都得到2支，一樣多，還是平均分。

師：同樣是平均分，有時(shí)能正好分完，沒有剩余；有時(shí)候不能正好分完，會(huì)有剩余，而分后有剩余的現(xiàn)象就是我們今天要研究的數(shù)學(xué)問題。

……

這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，以“平均分”為支點(diǎn)，在似曾相識(shí)中充分激活學(xué)生的已有生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，在平等對(duì)話中逐步逼近新知教學(xué)的本質(zhì)，學(xué)生借助“平均分后沒有剩余”的現(xiàn)象實(shí)現(xiàn)向“平均分后有剩余”邁進(jìn)；同時(shí)，對(duì)于余數(shù)的認(rèn)識(shí)，也是充分建立在平均分的基礎(chǔ)之上，通過讓學(xué)生嘗試用算式把分的過程表示出來，聚焦于剩余的支數(shù)上，通過回顧，有效地認(rèn)識(shí)了余數(shù)。這樣的教學(xué)，打通了新知與舊知的關(guān)節(jié)，便于讓學(xué)生從整體上建構(gòu)新知，從而使新知穩(wěn)穩(wěn)地扎根于舊知的土壤中，使新知的建構(gòu)水到渠成。

2.溝通新知與生活，讓已有經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)

布魯納說：“任何知識(shí)或技能都能夠以某種適宜的方式傳授給任何年齡的人，但是要考慮到學(xué)習(xí)者先前的知識(shí)或技能（即經(jīng)驗(yàn)）?！盵5]數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，這是廣大教師乃至小學(xué)生都明白的道理，可是審視當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，多數(shù)時(shí)候，教師僅僅為了知識(shí)而教，學(xué)生也就為了分?jǐn)?shù)而學(xué)，而為什么要學(xué)，學(xué)了有什么用，學(xué)了如何用，對(duì)這些本質(zhì)的問題未做過多的深入思考。

對(duì)于周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)學(xué)生不陌生，同時(shí)對(duì)于周長(zhǎng)的計(jì)算也有豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與基礎(chǔ)，而《圓的周長(zhǎng)》難點(diǎn)就在于圓是一個(gè)曲線圖形，其周長(zhǎng)的計(jì)算方法相比較直線圖形的周長(zhǎng)計(jì)算方法更具隱蔽性，無法一下子看出周長(zhǎng)與什么有關(guān)系，以及有怎樣的關(guān)系，而為什么要探究圓的周長(zhǎng)的計(jì)算方法，如何探究都是本節(jié)課要解決的問題，因此在這樣的規(guī)律探究課上，如果教師不充分讓學(xué)生去經(jīng)歷、去思辨，不斷地思維受阻，學(xué)生也就沒有深刻的體驗(yàn)，其已有的經(jīng)驗(yàn)就無法在經(jīng)歷和體驗(yàn)的過程中再生長(zhǎng)，這樣的課堂也就成了套用公式的練習(xí)課。

案例：《圓的周長(zhǎng)》教學(xué)片斷

屏幕出示一個(gè)正方形和一個(gè)圓形，分別標(biāo)號(hào)為①、②。

師：這是一個(gè)正方形，誰來指一指它的周長(zhǎng)。

（生到講臺(tái)前指周長(zhǎng)）

師：很好，圍成這個(gè)正方形4條邊長(zhǎng)度的和就是它的周長(zhǎng)。

師：圓的周長(zhǎng)，你能指一指嗎？

（學(xué)生很快指出圓的周長(zhǎng)）

師：圍成圓一周曲線的長(zhǎng)度就是圓的周長(zhǎng)。

師：兩個(gè)圖形，給你一把直尺，讓你來量一量它們的周長(zhǎng)，你選幾號(hào)？

生異口同聲：選①，因?yàn)閳A的周長(zhǎng)是彎曲的，而尺是直的，沒辦法直接測(cè)量。

師：正方形的周長(zhǎng)你打算怎么量？

生：量出邊長(zhǎng)，再乘4。

師：圓的周長(zhǎng)沒有辦法用尺直接測(cè)量，那就沒有辦法得到它的周長(zhǎng)了嗎？想想生活中你見過或者玩過的圓形物體，有辦法知道它的周長(zhǎng)嗎？

生1：我滾過鐵環(huán)，可以在鐵環(huán)上做個(gè)記號(hào)，讓它在地上滾動(dòng)一圈，然后量出起點(diǎn)到終點(diǎn)的距離，就是這個(gè)鐵環(huán)的周長(zhǎng)。

……

數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們一方面要尊重學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，把數(shù)學(xué)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)；另一方面，讓學(xué)生從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)的同時(shí)，又要思考如何引導(dǎo)學(xué)生將經(jīng)驗(yàn)得到提升，這便是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)所在，只有這樣，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)才能不斷地螺旋上升，得以優(yōu)化和增長(zhǎng)。

3.貫通已知與未知，讓經(jīng)驗(yàn)留白

蘇霍姆林斯基說：“在講課的時(shí)候，有經(jīng)驗(yàn)的老師往往只是微微打開一扇通向一望無際的知識(shí)原野的窗子?！边@讓我們想到中國(guó)畫中的一種構(gòu)圖方法——“留白”。留下空白，讓人浮想，叫人回味。數(shù)學(xué)教學(xué)不是繪畫，但數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一門藝術(shù)，中國(guó)傳統(tǒng)繪畫講究的“藝術(shù)空白”，同樣適用于數(shù)學(xué)課堂。如《涂色問題》教學(xué)片斷：把一個(gè)6面都涂上顏色的正方體木塊，切成64塊大小相同的小正方體，問：（1）3面涂色的小正方體有幾塊？（2）2面涂色的小正方體有幾塊？（3）1面涂色的小正方體有幾塊？

這類問題，不能就題論題，必須從簡(jiǎn)單情況入手，化抽象為具體，讓學(xué)生以小見大，徹底弄明白其中的奧秘，才能掌握一定的方法來解決一類題。于是，筆者將此題改編成生活中的數(shù)學(xué)問題，借助學(xué)生生活中常見的巧克力蛋糕展開了教學(xué)。

師：一個(gè)正方體形狀的蛋糕，在其6個(gè)面都涂上美味的果醬，如果讓你咬一口，你最想從哪里咬下去？

生：從有頂點(diǎn)的部分咬下去，因?yàn)槟抢锏墓u最多。

師：怎么理解？

生1：因?yàn)轫旤c(diǎn)處的蛋糕3面都有果醬。

（這樣的回答立即得到了同伴們的認(rèn)同）

生2：因?yàn)閺囊粋€(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有3個(gè)相鄰的面，所以頂點(diǎn)處的小正方體3面都涂果醬。

師：如果把這個(gè)正方體蛋糕切成27塊大小相同的小正方體，3面都涂果醬的有幾塊？

生：8塊，因?yàn)橐粋€(gè)正方體有8個(gè)頂點(diǎn)。

（至此，第一層面的問題順利解決，如圖1所示）

圖1

圖2

師：剩下的小正方體呢？（觀察圖2）

生：剩下的正方體有的是2面涂果醬，有的只有1面涂了果醬。

師：從圖中你能找出2面涂果醬和1面涂果醬的小正方體分別有多少塊嗎？同桌互相商量商量！

……

學(xué)生們的潛能是無限的，只要教師引導(dǎo)到位，為其探究提供有效的情境，于每一個(gè)思維拐角處架設(shè)好通向未知的橋梁或階梯，讓學(xué)生們自己去體驗(yàn)、去琢磨，學(xué)生們便能拾級(jí)而上，邁向未知的彼岸。而教學(xué)的起點(diǎn)和終點(diǎn)都是學(xué)生，既要基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，也要著眼于學(xué)生的未來經(jīng)驗(yàn)。

四、教學(xué)建議：如何高效利用學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)

心理學(xué)家奧蘇貝爾說：“如果我不得不將教育心理學(xué)還原為一條原理的話，我將會(huì)說，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。根據(jù)學(xué)生的原有知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué)?！盵6]那么如何高效利用學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自主建構(gòu)性學(xué)習(xí)真正發(fā)生呢？

1.承上啟下，自我建構(gòu)

新的學(xué)習(xí)科學(xué)認(rèn)為人們是基于已有的知識(shí)去建構(gòu)和理解新知識(shí)的。[7]每一新經(jīng)驗(yàn)都有取之于過往經(jīng)驗(yàn)的成分，同時(shí)會(huì)影響和改變后續(xù)經(jīng)驗(yàn)。因此，在任何情況下，經(jīng)驗(yàn)總有一定的連續(xù)性。同樣，活動(dòng)前我們也要試著考慮學(xué)生此次活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的起點(diǎn)在哪，如何讓學(xué)生與之無縫銜接，也要思考此次活動(dòng)能為學(xué)生留下些什么有價(jià)值的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為下個(gè)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)打下良好的開端。以《用計(jì)算器探索規(guī)律》中積的變化規(guī)律一課為例，學(xué)生已經(jīng)積累了豐富的探究經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)過程中，學(xué)生通過觀察幾個(gè)算式，說出了自己的發(fā)現(xiàn)，教師相機(jī)提問：這可以直接作為結(jié)論嗎？這只不過是我們的什么？我們還要干嘛？學(xué)生都能聯(lián)想到這只是猜想，還要進(jìn)行驗(yàn)證，才能得出結(jié)論，這些就是學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。驗(yàn)證過程中很多學(xué)生只關(guān)注形式，沒有通過具體的計(jì)算來驗(yàn)證。每次學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，通過像這樣承上啟下的銜接，就能幫助學(xué)生形成完整的經(jīng)驗(yàn)鏈。

2.善用錯(cuò)誤，學(xué)會(huì)反思

杜威指出：“每一種經(jīng)驗(yàn)就是一種推動(dòng)力?！盵8]每種已有經(jīng)驗(yàn)在一定程度上都會(huì)影響日后經(jīng)驗(yàn)的獲取與積累。因此，經(jīng)驗(yàn)有可能朝錯(cuò)誤方向延續(xù)，我們要及時(shí)關(guān)注學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的動(dòng)態(tài)生成情況。以《認(rèn)識(shí)三角形》為例，課前教師給每小組4根分別長(zhǎng)4厘米、5厘米、6厘米和10厘米的小棒，探索怎樣的3根小棒能圍成1個(gè)三角形，以此活動(dòng)來探究三角形邊之間的關(guān)系。操作活動(dòng)中，學(xué)生通過小棒能否連起來這一直接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)判斷是否能圍成三角形，其中一部分學(xué)生因此沒深入考慮兩邊之和正好等于第三邊的情況，覺得能正好靠到的，以為也可以圍成三角形。這時(shí)，一方面要借助課件直觀演示，加深理解；另一方面可以從錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)出發(fā)進(jìn)行反思，形成正確的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通過錯(cuò)誤感悟，培養(yǎng)學(xué)生踏實(shí)的態(tài)度，不輕易下結(jié)論。

弗賴登塔爾說：“經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)即為自由發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)，比那些為教師或教科書作者強(qiáng)加的、局限于公理范圍的數(shù)學(xué)更為重要?！盵9]課堂上，需要以學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，為學(xué)生提供足夠的時(shí)間和廣闊的空間去觀察、操作、思考、內(nèi)化、反思……重視發(fā)現(xiàn)和提出問題，及時(shí)總結(jié)提升數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并在運(yùn)用中不斷豐富數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

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