小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素分析與界定反思

陳六一，劉曉萍

（1.蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)小學(xué)校，江蘇 蘇州 215151；2.蘇州市教育科學(xué)研究院，江蘇 蘇州 215151）

一、引言

教育部印發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中六次提到“核心素養(yǎng)”一詞。這既體現(xiàn)著國際教育發(fā)展與變革的趨勢，也承載著國家以教育增強(qiáng)核心競爭力的迫切性。然而，盡管《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中四處出現(xiàn)了“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”這一術(shù)語，可是其中以及《解讀》都沒有對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵與外延進(jìn)行界定，導(dǎo)致小學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)無法具體落實(shí)。為此，我們借課題研究之機(jī)，以文獻(xiàn)分析、問卷分析和系統(tǒng)分析的方法，對小學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的相關(guān)研究進(jìn)行梳理，試圖探討：國內(nèi)外專家對數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著怎樣的基本認(rèn)識？基于文獻(xiàn)和蘇州地域小學(xué)數(shù)學(xué)教師的問卷，小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由哪些要素構(gòu)成？小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定依據(jù)是什么？

二、國內(nèi)外研究者對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本認(rèn)識

關(guān)于對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本認(rèn)識，這里梳理國內(nèi)外文獻(xiàn)資料的關(guān)注點(diǎn)在于：提出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的起始階段，學(xué)者們意向何在？隨著時(shí)代的發(fā)展，專家們又有著怎樣的解讀？從起始到當(dāng)代，國內(nèi)外的研究大致分成了哪幾種觀點(diǎn)？

1.數(shù)學(xué)素養(yǎng)=先天素質(zhì)+后天學(xué)習(xí)

我國曾在20世紀(jì)90年代提出“素質(zhì)教育”理念，就數(shù)學(xué)方面落實(shí)在學(xué)生身上的要求便是數(shù)學(xué)素養(yǎng)。所以，有課題組對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的解釋是：以人的先天生理特點(diǎn)為基礎(chǔ)，在后天的環(huán)境和數(shù)學(xué)教育影響下形成并發(fā)展的心理方面的穩(wěn)定屬性。[1]王子興也有近似的詮釋：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在人的先天生理基礎(chǔ)上，通過后天嚴(yán)格的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)獲得的、融于身心中的一種比較穩(wěn)定的狀態(tài)。[2]

2.數(shù)學(xué)素養(yǎng)=數(shù)學(xué)知識+基本能力

西澳大利亞州教育署則認(rèn)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括使用整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、錢數(shù)和測量時(shí)掌握基本數(shù)表的能力、運(yùn)算的技能和對空間做出合理估算的習(xí)慣。在格羅瑟（Crowther）的報(bào)告中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有兩層含義：（1）對觀察、假設(shè)、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證等科學(xué)研究方法的理解；（2）現(xiàn)代社會(huì)定量思考和認(rèn)識問題程度的需要。

以上兩種觀點(diǎn)，和我國提出的“雙基”教學(xué)，即基礎(chǔ)知識、基本能力的說法十分相近。在其內(nèi)涵中數(shù)學(xué)的陳述性知識和程序性知識是學(xué)生在課堂中必須習(xí)得的內(nèi)容。其實(shí)，西方數(shù)學(xué)教育歷經(jīng)“新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)”與“回到基礎(chǔ)”的“鐘擺”，就是對“雙基”的重新認(rèn)識。

3.數(shù)學(xué)素養(yǎng)=數(shù)學(xué)方法+關(guān)鍵能力

羅西澳提出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵為：進(jìn)行推理、提出假設(shè)和下結(jié)論的能力。[3]也就是說，一定的數(shù)學(xué)方法和幾項(xiàng)關(guān)鍵的能力，決定著學(xué)生對數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟程度，決定著他們今后在生活中對數(shù)學(xué)的運(yùn)用效度。正如著名的科克羅夫特報(bào)告——基于對英國研究了二十多年的數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵進(jìn)行拓展認(rèn)為，數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)該是運(yùn)用數(shù)字和數(shù)學(xué)技能，懂得和理解諸如圖表、曲線、百分比等數(shù)學(xué)語言所含信息的能力。這一論述成為20世紀(jì)80年代以后英國數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育改革的出發(fā)點(diǎn)。美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)也曾將“懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值、對自己的數(shù)學(xué)技能有信心、有解決數(shù)學(xué)問題的能力、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)交流、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法”[4]作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵，并以此設(shè)定為美國數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的中心。為中國教育界所熟知的PISA，在2012年的測試中對數(shù)學(xué)素養(yǎng)直接給出了“方法+能力”的表述：個(gè)體能在各種情況下形成、使用和解釋數(shù)學(xué)的能力，包括數(shù)學(xué)推理等，來描述、解釋以及預(yù)測現(xiàn)象。[5]

回到國內(nèi)，蔡上鶴先生作為《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用)》的重要起草成員，自1992年10月開始，連續(xù)發(fā)文，提出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)知識技能素養(yǎng)、邏輯思維素養(yǎng)、運(yùn)用數(shù)學(xué)素養(yǎng)和唯物辯證素養(yǎng)”。

可見，中外研究者都將“素養(yǎng)”與“素質(zhì)”聚焦到了數(shù)學(xué)方法和推理等邏輯思維能力上，這樣在課堂實(shí)踐中，一線教師也就有了教學(xué)的抓手。

4.數(shù)學(xué)素養(yǎng)=數(shù)學(xué)價(jià)值+數(shù)學(xué)行為

“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)者通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，加深對數(shù)學(xué)知識的理解，內(nèi)化數(shù)學(xué)文化的成果，最終在學(xué)習(xí)者身上體現(xiàn)的一種時(shí)代價(jià)值，同時(shí)能夠主動(dòng)將數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于生產(chǎn)生活實(shí)踐?！盵6]這是鄭強(qiáng)教授對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的解讀。何小亞分析數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成要素為：數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀。[7]康世剛教授、宋乃慶教授聯(lián)合發(fā)文指出：數(shù)學(xué)素養(yǎng)指學(xué)生在已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)活動(dòng)對數(shù)學(xué)的體驗(yàn)、感悟和反思，并在真實(shí)情景中表現(xiàn)出來的一種綜合性特征。廣義上講是一種綜合性特征，狹義上講，是指在真實(shí)情境中有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識與技能理性地處理問題的行為特征。[8]最近幾年，我國一些從事大學(xué)數(shù)學(xué)師范教育的課程論、方法論的教授，開始自覺按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，將數(shù)學(xué)素養(yǎng)建構(gòu)在情感態(tài)度與價(jià)值觀的維度之上。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素構(gòu)成

從上述國內(nèi)外的研究成果分析可見，盡管對于“什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)”還沒有一個(gè)統(tǒng)一的界定，但各國都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性，也潛在地具有一些共識：數(shù)學(xué)素養(yǎng)唯有通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能習(xí)得，是不同于其他學(xué)科學(xué)習(xí)的收獲，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獨(dú)特的結(jié)晶。而據(jù)數(shù)學(xué)家波利亞研究：僅有1%的學(xué)生今后可能會(huì)成為專門的數(shù)學(xué)研究者，29%的學(xué)生將來會(huì)繼續(xù)使用數(shù)學(xué)，70%的學(xué)生離開學(xué)校后不會(huì)再使用小學(xué)以上的數(shù)學(xué)知識。[9]這也要求，通過小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，必須習(xí)得一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，方能立足于未來。當(dāng)然，這樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng)由于要伴隨人的一生，一定得是基礎(chǔ)的；而且是人人必需的，所以具有普遍性；還要通過數(shù)學(xué)，通向生命成長，所以這樣的素養(yǎng)也務(wù)必具有高度關(guān)聯(lián)性。據(jù)此說來，小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指的是：通過小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，為了滿足自身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展，所必備的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化。

對于這樣的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化，為了厘清其中可教、可學(xué)、可測評、可分學(xué)段闡述的特質(zhì)，我們又對蘇州1386名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，就小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的相關(guān)知識進(jìn)行了問卷分析。最終推斷出小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成要素為：數(shù)學(xué)人文、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想。

這樣推斷的依據(jù)是什么呢？《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總目標(biāo)是：第一，學(xué)生能獲得社會(huì)生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；第二，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考……增強(qiáng)解決問題的能力；第三，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。并將總目標(biāo)分解成“知識技能”“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”和“情感態(tài)度”四個(gè)方面。對照《課程標(biāo)準(zhǔn)》的總目標(biāo)，將其第一條分解出“數(shù)學(xué)思想”，剩下的“三基”加上第二條和“知識技能”“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”三個(gè)方面歸結(jié)為“數(shù)學(xué)意識”，其第三條和“情感態(tài)度”方面概括為“數(shù)學(xué)人文”。

愛因斯坦曾有一句著名的教育論斷：“所謂教育，就是一個(gè)人把在學(xué)校所學(xué)全部忘光后剩下的東西?！蹦敲赐ㄟ^小學(xué)數(shù)學(xué)，給學(xué)生積淀終身受用并滲透進(jìn)日常生活的即是：用數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思想解釋世界，而解釋世界的數(shù)學(xué)思維離不開數(shù)學(xué)人文的激活與提升。因此，數(shù)學(xué)人文、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想構(gòu)成了小學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心所在。

我們此次的問卷，蘇州下轄區(qū)縣的小學(xué)數(shù)學(xué)教師都有參與，可謂覆蓋面廣泛。其中城鎮(zhèn)學(xué)校76.19%，農(nóng)村學(xué)校23.81%；男教師24.89%，女教師75.11%。同時(shí)，為了聽見不同的聲音，問卷的層面也比較寬泛：特級教師占0.14%，市級骨干教師占3.61%，區(qū)縣級骨干占20.20%，校級骨干占12.99%，一線教師占69.46%，校長、教導(dǎo)主任占4.55%。當(dāng)然，有不少教師的身份是交叉的。這些不同的身份群體，對小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)卻有著大致相當(dāng)?shù)恼J(rèn)識：數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)的動(dòng)力是數(shù)學(xué)人文，數(shù)學(xué)的基點(diǎn)是數(shù)學(xué)意識。

數(shù)學(xué)人文：意指對數(shù)學(xué)的持久興趣與好奇，對數(shù)學(xué)美有追求，會(huì)用數(shù)學(xué)交流。其關(guān)注點(diǎn)是動(dòng)機(jī)、審美、表達(dá)。具體地說就是學(xué)生愿學(xué)數(shù)學(xué)；腦海中經(jīng)常性構(gòu)建數(shù)學(xué)問題；知道數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程會(huì)遇見困難，但不逃避數(shù)學(xué)困難；懂得欣賞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的真與美；懂得數(shù)學(xué)簡潔、縝密，乃至答案唯一、規(guī)則統(tǒng)一的價(jià)值；喜歡數(shù)學(xué)閱讀，會(huì)用數(shù)學(xué)語言交流與寫作。

數(shù)學(xué)意識：包含數(shù)學(xué)運(yùn)算，空間觀念，符號意識，解決問題的策略。其關(guān)注點(diǎn)是學(xué)會(huì)、基礎(chǔ)、方法。具體地說就是學(xué)生會(huì)從數(shù)學(xué)的角度解釋生活，也會(huì)從數(shù)學(xué)本身解構(gòu)數(shù)學(xué)；有屬于自己的良好的解釋與解構(gòu)的方式；能運(yùn)用數(shù)學(xué)的本質(zhì)拓展智力邊界。

數(shù)學(xué)思想：涵蓋抽象、推理、建模三種數(shù)學(xué)思想。其關(guān)注點(diǎn)是會(huì)學(xué)、理性、智慧。具體地說就是學(xué)生在愿學(xué)的基礎(chǔ)上，在數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)下，提升思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能，成為會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生。即能把較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，通過合情推理，轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)學(xué)知識；能把較為復(fù)雜的生活情境，抽象為數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用數(shù)學(xué)的模型予以解決。

這些小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)還可以再做分解，二級指標(biāo)如表1。

經(jīng)常聽到教師們說課堂只有激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生才有可能深入地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這種說法只對了一半，其實(shí)學(xué)生求學(xué)伊始，大多都對數(shù)學(xué)充滿著興趣，因?yàn)槿丝傆袑ξ粗闷娴男睦?。只是，隨著枯燥的訓(xùn)練、乏味的講解，隨著年級的升高，越來越多的學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)了，于是教師不得不想盡招數(shù)刺激學(xué)生愛數(shù)學(xué)。[10]所以興趣既是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的手段，也是目的。再者，回顧數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)起源于生活生產(chǎn)、宗教儀式、數(shù)學(xué)欣賞。[11]這啟示我們除了生活應(yīng)用，數(shù)學(xué)的形式美是學(xué)生繼續(xù)求知的不竭動(dòng)機(jī)。同時(shí)，語言不僅是思維的外殼，也是小學(xué)生展示數(shù)學(xué)理解數(shù)學(xué)成功的心理需求?；诖?，提出了數(shù)學(xué)人文的二級指標(biāo)含有：對數(shù)學(xué)的持久興趣與好奇、對數(shù)學(xué)美有追求、會(huì)用數(shù)學(xué)交流。

及至數(shù)學(xué)意識，基于上文所述，日常生活生產(chǎn)的需要誕生了數(shù)學(xué)，而且數(shù)學(xué)的發(fā)展得益于生活應(yīng)用，自然小學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的顯著標(biāo)志無疑是能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活問題。要想成功解決生活問題，小學(xué)生需要不斷提高數(shù)學(xué)運(yùn)算、幾何空間與符號圖式的水平，《課程標(biāo)準(zhǔn)》亦是把“符號意識”“空間觀念”“運(yùn)算能力”作為核心詞并行列出；同時(shí)，也只有在解決問題的過程中，調(diào)整、反思、積累屬于學(xué)生自己的如佛賴登塔爾所云的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”“數(shù)學(xué)化”方臻于形成。

“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！盵12]米山國藏的這段關(guān)于“數(shù)學(xué)思想”的闡釋，頗深入人心更流傳甚廣。史寧中先生也認(rèn)為，“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的核心，因?yàn)閿?shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)的形態(tài)表現(xiàn)，可以包括：數(shù)學(xué)形式、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)思想。其中思想是本質(zhì)的，沒有思想就沒有文化。數(shù)學(xué)思想可以歸納為三種：抽象、推理和模型”[13]。的確，通過抽象，把外部世界與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西概括到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)研究的對象；通過推理，得到數(shù)學(xué)的命題和計(jì)算方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展；通過建模，創(chuàng)造出具有表現(xiàn)力的數(shù)學(xué)語言，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。參照兩位數(shù)學(xué)教育大家的思考，便在“數(shù)學(xué)思想”要素中以“抽象”“推理”“建?！弊鳛槎壷笜?biāo)，這樣可指導(dǎo)課堂教學(xué)評價(jià)，也可考查學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，達(dá)標(biāo)程度如何。

表1 小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)二級指標(biāo)表

四、小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定反思

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不能用“素養(yǎng)+數(shù)學(xué)例子”來定義，也不是“數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、關(guān)鍵能力、情感態(tài)度”中某幾項(xiàng)的簡單相加。小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有基礎(chǔ)性、普遍性和高度關(guān)聯(lián)性，因此它不是要求圍繞一個(gè)或者兩個(gè)方面的能力進(jìn)行培養(yǎng)，而是要協(xié)調(diào)、綜合、均衡發(fā)展，從而幫助“小學(xué)生”這個(gè)特定年齡段的兒童，能夠滿足未來生活與學(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)和新的超越。所以對小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定，既要注重核心素養(yǎng)的生成過程，又要注重核心素養(yǎng)的外顯，強(qiáng)調(diào)在真實(shí)情景中的表現(xiàn)，體現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中課程目標(biāo)的要求。前文的要素構(gòu)成分析大致做到了這一點(diǎn)，如圖1所示。

當(dāng)然，為了更全面地理解小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，須尤其注意核心素養(yǎng)測試題的編制與教學(xué)策略的不斷探索。

第一，編制符合基于地域的小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測試題。盡管PISA的數(shù)學(xué)評價(jià)測試題給了我們很高的參考價(jià)值，但大多題目并不符合我們的教學(xué)實(shí)際。也盡管在各級各類的考試中，出現(xiàn)了開放題、探究性問題，但是這些題型對測試小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的哪些方面，缺乏系統(tǒng)的實(shí)證研究。

圖1 小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)動(dòng)態(tài)示意圖

第二，探索小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的教學(xué)策略。當(dāng)前，國內(nèi)外對數(shù)學(xué)素養(yǎng)研究的聚焦層面都不盡相同，而且對于影響小學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)因素沒有深入分析，因此，探索小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的教學(xué)策略，有助于促進(jìn)教學(xué)方式的改進(jìn)。

鄭毓信教授曾提醒：“如果缺乏足夠自覺的話，數(shù)學(xué)固有的特性可能在各個(gè)方面導(dǎo)致消極的后果，包括研究思想、學(xué)術(shù)態(tài)度乃至人生哲學(xué)等?！盵14]所以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的積淀，不是“對”和“錯(cuò)”的取舍，而是可能會(huì)出現(xiàn)“好”與“壞”的利弊。那么在教學(xué)實(shí)踐中，既應(yīng)當(dāng)明晰小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對小學(xué)生成長的助力，也應(yīng)當(dāng)清醒地看到，如果只強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)，可能會(huì)忽視人的全面發(fā)展過程中需要的非核心素養(yǎng)，但這個(gè)非核心素養(yǎng)對于某個(gè)具體的學(xué)生，又有可能是必需的，或者說是適切的。▲

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