數(shù)值計算思想在“線性代數(shù)”課程教學中應用

景何仿 徐曉芳 蔡銀娟

【摘要】在“線性代數(shù)”課程的傳統(tǒng)教材及傳統(tǒng)教學過程中，重理論而輕實踐，重筆算而輕機算，使學生無法將所學知識應用到解決實際問題中，從而產(chǎn)生厭學情緒。作者在多年教學實踐過程中，有意識地滲透數(shù)值計算思想，針對典型計算問題，構造了相應算法，并進行了數(shù)值實驗， 在計算機上利用Matlab軟件進行編程計算。通過實驗化教學過程，極大地提高了學生的學習興趣，增強了學生用線性代數(shù)知識分析解決實際問題的能力，同時也培養(yǎng)了學生的編程能力。

【關鍵詞】線性代數(shù) 數(shù)值計算方法 數(shù)值實驗 Matlab軟件

【基金項目】國家自然科學基金項目（11361002）；寧夏自然科學基金重點項目（NZ13086/NZ14110）；北方民族大學教改項目（JYYB201415 ）；北方民族大學研究生創(chuàng)新項目。

【中圖分類號】G642.0 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0128-02

1.引言

線性代數(shù)是研究有限維空間中線性關系的理論和方法的一門數(shù)學分支，許多科學與工程問題都可歸結為線性代數(shù)問題。“線性代數(shù)”課程已成為高等學校理工科類、經(jīng)濟管理類專業(yè)的一門重要的數(shù)學基礎課程。然而，“線性代數(shù)”課程具有高度的概括性、抽象性，學習起來難度較大。傳統(tǒng)的“線性代數(shù)”課程體系構建得不太合理，教學內(nèi)容抽象，計算方法落后，缺少與相關數(shù)學分支的橫向聯(lián)系，沒有及時反映現(xiàn)代科技尤其是數(shù)學軟件對該課程的影響。因此，必須轉變傳統(tǒng)教學觀念，樹立新的教學理念，對現(xiàn)有的“線性代數(shù)”課程的教學體系、教學內(nèi)容和教學方式進行深刻的改革。

近年來，關于“線性代數(shù)”課程教學改革的學術研究成果較多。關于有關知識點的應用方面，主要研究成果可參考文獻[1-2]； 關于教學內(nèi)容、教學方式、教學方法及考核手段上的一些改革建議的研究成果可以參考文獻[3-4]；在數(shù)學實驗方面的改革成果有[5-6]。

上述研究成果的取得，使得“線性代數(shù)”在課程體系、教學手段等諸多方面發(fā)生了較大變化，在一定程度上能夠調(diào)動學生的積極性。然而，查閱已有的參考文獻可知，已有的關于“線性代數(shù)”課程的實驗教學方案，只是簡單地調(diào)用數(shù)學軟件（如MATLAB）中的一些命令解決線性代數(shù)中的有關計算問題。而實際工程問題，規(guī)模一般都比較大，問題也千變?nèi)f化，許多情況下是無法直接調(diào)用現(xiàn)有的命令所能解決的。再者，如果在實驗教學中僅僅機械地調(diào)用現(xiàn)有命令，無法培養(yǎng)學生邏輯思維能力和動手能力，學生走到工作崗位后將無法靈活運用所學知識解決實際問題。

為此，作者所在項目組承擔了一個教改項目，擬在“線性代數(shù)”課程教學中加入數(shù)學實驗，但與以往數(shù)學實驗不同的是，除了調(diào)用現(xiàn)有命令，還有意識的將數(shù)值計算思想引入教學中，對一些典型問題，使學生不僅學會筆算，還要理解并掌握計算機解決有關問題地具體思路和算法，并能就簡單問題編程進行計算。

2.典型問題實驗化教學的設計

由于“線性代數(shù)”課程內(nèi)容較多，不可能一一列舉，這里僅就兩個典型問題設計實驗化教學方案，其中第一個為矩陣乘法運算，第二個為線性方程組的求解。

2.1 矩陣的乘法運算

由于矩陣的三角分解算法相對比較復雜，鑒于在學習《線性代數(shù)》時，大多數(shù)學生尚未學過程序設計語言。因此，這部分內(nèi)容不做要求，可通過調(diào)用Matlab命令直接實現(xiàn)。以下僅介紹求解下三角形和上三角形方程組的算法及其程序?qū)崿F(xiàn)。

算法2 （求解下三角形方程組，前代法）：

對于下三角形方程組（5），可用以下前代法來實現(xiàn)其求解過程：

第一步，分別定義n階矩陣L、n維列向量b和y；

第二步，輸入矩陣L和向量b的值；

第三步，求解方程組（5）中第一個方程，得到y(tǒng)1=b1/l11；

第四步，假設已經(jīng)由（5）中前i-1個方程以次求出y1，y2，…yi-1，將其代入（5）中第i個方程，則得

第五步，按公式（7）依次求解（5）中剩余的方程，即可得到方程組（5）的解向量y.

算法3 （求解上三角形方程組，回代法）：

對于下三角形方程組（6），可用以下回代法來實現(xiàn)其求解過程：

第一步，分別定義n階矩陣U、n維列向量x和y；

第二步，輸入矩陣U和向量y的值；

第三步，求解方程組（6）中倒數(shù)第一個方程，得到xn=yn/unn；

第四步，假設已經(jīng)由（6）中后面i個方程依次求出xn，xn-1，…，xn-i+1，將其代入（6）中倒數(shù)第i+1個方程，則得

第五步，按公式（8）依次求解（6）中剩余的方程，即可得到方程組（6）的解向量x。

3.數(shù)值算例

本節(jié)針對第二節(jié)中的典型算法，給出兩個典型算例，利用Matlab軟件編程進行計算。

算例1. 某家公司向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量如表1所示：

4.結語

作為數(shù)學教學教學的三大基礎之一的“線性代數(shù)”，對于培養(yǎng)學生邏輯思維能力和提高學生的綜合素質(zhì)都有非常重要的意義。在“線性代數(shù)”教學中引入數(shù)值計算方法思想，并將Matlab軟件融入教學中來，加深了學生對抽象的數(shù)學概念的理解，使一些復雜的計算和推導過程在計算機上得以實現(xiàn)，極大地提高了學生的學習積極性，激發(fā)了學生的學習興趣。同時，培養(yǎng)了學生的編程能力及應用所學知識解決實際問題的能力，開發(fā)了學生的創(chuàng)造性思維能力，為其后續(xù)課程的學習奠定了堅實的基礎。

參考文獻：

[1]Stuart J L. Linear Algebra and its Applications： A Geometric Approach Introduction to Linear Algebra[J]. American Mathematical Monthly， 2005， 112（3）： 281-288.

[2]郭文艷，趙鳳群.數(shù)學建模及Matlab軟件在矩陣運算教學中的應用[J]. 大學數(shù)學， 2013， 29（4）：87：90.

[3]孟麗娜，范廣慧，曲紹平.線性代數(shù)教學改革的實踐與探索[J]. 數(shù)學教學研究，2009， 28（8）： 57-59.

[4]李小平. 關于《線性代數(shù)》教學改革的一些思考[J].大學數(shù)學，2011，27（3）：22-25.

[5]楊雯靖.“線性代數(shù)”實驗化教學的構想.中國電力教育[J].2009，137： 136-137.

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[7]同濟大學數(shù)學系主編. 線性代數(shù)（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[8]由同順. 數(shù)值代數(shù)[J].天津：天津大學出版社，2006.

作者簡介：

景何仿（1970-），男，甘肅岷縣人，副教授， 博士，主要從事計算數(shù)學及河流動力學方面研究。