從數(shù)學(xué)教育的角度比較分析《九章算術(shù)》與《幾何原本》

杜存芳

摘 要：眾所周知，《九章算術(shù)》和《幾何原本》是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的兩大源泉，雖然它們都是古代數(shù)學(xué)名著，但是在風(fēng)格上卻存在較大的差異性。《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，而《幾何原本》則是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部數(shù)學(xué)著作。本文基于數(shù)學(xué)教育視野，對這兩本書進(jìn)行了對比分析，通過各方面的了解和剖析，結(jié)合當(dāng)代我國數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，得到教育改革的啟示。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育 《九章算術(shù)》 《幾何原本》 比較

《九章算術(shù)》是“算經(jīng)十書”中最重要的一種，該書內(nèi)容非常豐富，且系統(tǒng)化總結(jié)并概括了戰(zhàn)國、秦朝，以及漢時期的數(shù)學(xué)成就。此外，該書在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也取得了杰出的成就，首次提出分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)及加減運算法則等。概括來說，《九章算術(shù)》是一本綜合性的數(shù)學(xué)歷史著作，該書的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的基本形成?！稁缀卧尽吩跀?shù)學(xué)界又被稱為《原本》，該書為歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了良好的基礎(chǔ)，且被廣泛認(rèn)為是歷史上最成功的教科書，書中主要總結(jié)并歸納了平面幾何的五大公設(shè)。除此之外，《幾何原本》在西方也占據(jù)著相當(dāng)重要的位置，僅次于《圣經(jīng)》。這兩本著名的數(shù)學(xué)著作對數(shù)學(xué)的發(fā)展都發(fā)揮著非常重要的作用，但是二者還存在諸多差異。本文對這兩本書從成書背景、體例、內(nèi)容等方面進(jìn)行研究后，得出二者的差異所在。在此基礎(chǔ)上，對其數(shù)學(xué)教育觀、數(shù)學(xué)教育目的、數(shù)學(xué)教材及數(shù)學(xué)文化也進(jìn)行了詳細(xì)論述，基于現(xiàn)代數(shù)學(xué)視野，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革提供啟示，以供參考。

一、成書背景的對比

《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，也是“算經(jīng)十書”中最重要的一種。眾所周知，我國春秋戰(zhàn)國時期，諸子百家爭鳴，眾多學(xué)派相繼出現(xiàn)，在形式邏輯研究方面，相比其他學(xué)派而言，墨家比較突出，但之后形式邏輯在我國并沒有太大的進(jìn)展，而《九章算術(shù)》恰巧問世。該書成書最遲是在東漢前期，但內(nèi)容的定型卻在西漢后期，這時候出現(xiàn)，就注定其呈現(xiàn)出非邏輯結(jié)構(gòu)的特點。中國古代數(shù)學(xué)專著都是在不斷總結(jié)生活現(xiàn)象的過程中逐漸衍生而來的，《九章算術(shù)》也不例外，該書主要強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，在不斷地總結(jié)、歸納、推理、論證的過程中，最終發(fā)展成演繹推理。

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創(chuàng)造于一體的不朽之作，整本書的內(nèi)容是把人們公認(rèn)的一些事實歸納成定義和公理，將形式邏輯的方法運用于教學(xué)研究。通過這些定義和公理對幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行探討，最終建立起一套數(shù)學(xué)理論體系，簡稱幾何學(xué)。該書的成書與《九章算術(shù)》有著不同的背景，當(dāng)時古希臘正處于形式邏輯的發(fā)展時期，形式邏輯的思想方法被運用到了數(shù)學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域中，逐漸形成了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)思潮，之后歐幾里得不斷研究和探索，將其用演繹法進(jìn)行歸類和整理，編寫成《幾何原本》一書。這本書也是歐式幾何的奠基之作。此書主要囊括了幾何學(xué)從公元前7世紀(jì)的古埃及，一直到公元前4世紀(jì)——歐幾里得生活時期——前后四百多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。從內(nèi)容上分析，該書保存了古希臘早期的幾何學(xué)理論，之后歐幾里得對其進(jìn)行了系統(tǒng)化的整理，使其成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的思想源泉?？傮w來說，《幾何原本》開創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系，成為用公理化方法建立起來的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范。

二、《九章算術(shù)》與《幾何原本》在體例方面的對比

研究這兩本書發(fā)現(xiàn)，其在體例方面存在一定的差異性，表現(xiàn)在：《九章算術(shù)》是按照問題的性質(zhì)和解法具體分類的，總共九類，且每一類為一章節(jié)，每一章節(jié)又分多個小類，每一小類都有解題步驟，包括數(shù)學(xué)公式、推理等。這種結(jié)構(gòu)體系，是以算法為中心，根據(jù)算法組建理論體系，表現(xiàn)出了中國特有的數(shù)學(xué)思想。《幾何原本》在結(jié)構(gòu)方面與《九章算術(shù)》存在較大的差異性，該書共十三篇，主要包含兩大部分。第一部分中，有4條作圖公法，36條定義，19條公設(shè)和公理，為全書的推理基礎(chǔ)。第二部分主要是題，其中每一道題都相當(dāng)于一條定理，后面附注證明過程和推論過程，還有少部分題后面有圖解。總之，《幾何原本》主要是將邏輯推理進(jìn)行系統(tǒng)化歸納，形成數(shù)學(xué)體系中的邏輯演繹系統(tǒng)。

三、《九章算術(shù)》和《幾何原本》的內(nèi)容對比

從內(nèi)容方面對比發(fā)現(xiàn)，《九章算術(shù)》和《幾何原本》也存在較大的差異性。其中《九章算術(shù)》的內(nèi)容呈現(xiàn)出豐富性和多樣性特征。它主要是對從春秋至秦漢時代社會生產(chǎn)過程中各方面累積的教學(xué)知識的匯總。整本書包含246題，涉及生活的各個領(lǐng)域，故被稱為“數(shù)學(xué)百科全書”。此外，該書中的代數(shù)水平和算術(shù)水平相當(dāng)高，但在幾何圖形方面，卻與《幾何原本》存在較大的差距?！稁缀卧尽肥谴鷶?shù)幾何化，且數(shù)論問題都是通過嚴(yán)格的邏輯證明來具體解決的，它為幾何學(xué)的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)?！稁缀卧尽返恼Q生，標(biāo)志著幾何學(xué)已經(jīng)成為一個有著比較嚴(yán)密的理論體系和科學(xué)方法的數(shù)學(xué)學(xué)科。除此之外，《幾何原本》還對勾股定理做了詳細(xì)證明。由此可見，這兩本數(shù)學(xué)名著各有優(yōu)勢。

四、《九章算術(shù)》和《幾何原本》對當(dāng)代數(shù)學(xué)教育改革的啟示

關(guān)于《九章算術(shù)》和《幾何原本》對當(dāng)代數(shù)學(xué)教學(xué)改革和發(fā)展的啟示，需從數(shù)學(xué)教育觀、數(shù)學(xué)教育目的、數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)文化幾大方面來了解。

1.數(shù)學(xué)教育觀

數(shù)學(xué)教育觀主要包含兩大類，一類是動態(tài)數(shù)學(xué)教育觀，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一項人類活動，也是一個動態(tài)學(xué)科，活動之間存在著一定的關(guān)聯(lián)性，內(nèi)部要素之間也呈現(xiàn)出動態(tài)發(fā)展趨勢；另一類是靜態(tài)數(shù)學(xué)教育觀，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一個永恒不變的學(xué)科，其內(nèi)容主要包含數(shù)學(xué)定理、公式?！毒耪滤阈g(shù)》表現(xiàn)出動態(tài)教育觀，主要是由于其豐富的內(nèi)容都是在不斷總結(jié)和積累后得到的。《幾何原本》表現(xiàn)出靜態(tài)教育觀，認(rèn)為教學(xué)活動是一種程序化過程，即數(shù)學(xué)概念-定理-公式-例題-練習(xí)，整個過程中，學(xué)生占被動地位，一味地接受教師的灌輸。相對來說，這種教育觀比較死板。由此可見，為了促進(jìn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，要主張學(xué)生理論與實踐相結(jié)合，從理論中解釋實踐，從實踐中總結(jié)理論，打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，實施并創(chuàng)新情境化教學(xué)模式。

2.數(shù)學(xué)教育目的

《九章算術(shù)》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與實際生活之間的聯(lián)系，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實用性特征，通過學(xué)習(xí)能夠促使學(xué)生將理論與實踐相結(jié)合。而《幾何原本》強(qiáng)調(diào)學(xué)生要關(guān)注內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象性和嚴(yán)密性特征，該書在一定程度上忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的培養(yǎng)。其實這兩本書都有自己的優(yōu)越性和局限性，我們在研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科時，應(yīng)將二者相結(jié)合，取長補(bǔ)短，從而達(dá)到提升數(shù)學(xué)教育的目的。

3.數(shù)學(xué)教材

從上文中了解到，《九章算術(shù)》是一部數(shù)學(xué)百科全書，自隋唐時數(shù)學(xué)教育制度建立以來，該書已經(jīng)成為國家統(tǒng)一審定的數(shù)學(xué)課程之一，且逐步形成了以該書為中心的古代數(shù)學(xué)課程體系。而《幾何原本》則過度強(qiáng)調(diào)形式化的數(shù)學(xué)教學(xué)，忽視了與實際相結(jié)合。這兩本書在教材上都有一定的優(yōu)越性和局限性，我們要認(rèn)真分析，相互借鑒，為推動現(xiàn)代化數(shù)學(xué)學(xué)科的改革和發(fā)展不斷努力。

4.數(shù)學(xué)文化

《九章算術(shù)》和《幾何原本》存在諸多方面的差異，其根本原因在于中西方文化之間存在一定的差異性，從而形成了不同的數(shù)學(xué)思想方法體系。所以，在進(jìn)行現(xiàn)代化數(shù)學(xué)學(xué)科改革時，要對這兩本書的數(shù)學(xué)文化多加重視，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生去了解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本身所蘊(yùn)含的文化內(nèi)容。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容，逐步滲透思想方法、意識精神等，讓學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)學(xué)科中蘊(yùn)含的各種魅力。

五、結(jié)語

綜上，數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間、變化及信息等概念的綜合學(xué)科，也屬于一種形式科學(xué)。為了促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科的改革和發(fā)展，通過上文對《九章算術(shù)》和《幾何原本》的比較得到的啟示是：要引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實際，通過實踐進(jìn)行總結(jié)、歸納，了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而達(dá)到提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。筆者希望更多有關(guān)人士參與到《九章算術(shù)》和《幾何原本》的比較研究中來，為推動現(xiàn)代化數(shù)學(xué)學(xué)科的改革做出更大的貢獻(xiàn)。

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