一道調(diào)研題的解法研討

李濤

題目（武漢市2016屆高三四月調(diào)考理科數(shù)學(xué)第16題）記min{a，b}為a，b兩數(shù)的最小值，當(dāng)正數(shù)x，y變化時，令t=min2x+y，2yx2+2y2，則t的最大值為.

評析本題屬于給出新定義，運用不等式的相關(guān)性質(zhì)求解最值問題，學(xué)生測評的結(jié)果非常不理想，正確率極低，為便于講評，考后與學(xué)生交流了解到流行于學(xué)生中的思路大致有兩種.

思路1既然t的意義為表示兩者中的較小者，那就分類討論當(dāng)t分別取2x+y或2yx2+2y2時，即而再求兩類情形的最大值，最后大中取大即可，但具體到若t=2x+y再如何求t的最大值呢？學(xué)生們就戛然而止了，筆者經(jīng)過思考得出此思路的處理.

解法1（1）若2x+y≤2yx2+2y2，則t=2x+y≤2yx2+2y2=2yx2+y2+y2≤2y2xy+y2=22x+y，得（2x+y）2≤2t2≤2，t≤2，

從而可得此時t的最大值為2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取到此最大值）.

（2）若2x+y>2yx2+2y2，則t=2yx2+2y2.

①當(dāng)2x+y≤2時，得t=2yx2+2y2<2x+y≤2；

②當(dāng)2x+y>2時，可得t=2yx2+2y2≤22x+y<22=2.

綜上可知，t的最大值為2.

評析上述處理從學(xué)生熟知的想法入手，通過對算式的有效放縮與分類討論，雖最終獲解，但技巧性太強，學(xué)生不易操控，難以駕馭.

思路2由于學(xué)生之前在資料書上做過一道習(xí)題：設(shè)f（x）=min{2x，x+2，10-x}（x≥0），則f（x）的最大值為，此題的處理是分別畫出三個函數(shù)y1=2x、y2=x+2、y3=10-x在第一象限的圖象，取其三者的較矮部分即為f（x）的圖象，容易觀察出f（x）圖象的最高點的縱坐標(biāo)即為所求最大值，可聯(lián)立y2與y3的方程組求出其交點縱坐標(biāo)，易知f（x）最大值為6，正是由于有此題解題經(jīng)驗的鋪墊，數(shù)形結(jié)合的觀點能否在本題中得到運用呢？而又因為2x+y與2yx2+2y2均為二元參數(shù)表達(dá)式，并不符合函數(shù)的特征，圖象也無從畫起，于是這種考慮又一次受阻.

解法2可設(shè)x=my（m>0），得

2x+y=（2m+1）y，2yx2+2y2=2y（m2+2）y2=2（m2+2）y.

所以t=min（2m+1）y，2（m2+2）y，將y換作x，視x為自變量，記y=（2m+1）x，y=2（m2+2）x（x>0），容易知道它們分別為正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，畫出其在第一象限的圖象，易知兩圖象交點縱坐標(biāo)即為t，聯(lián)立y=（2m+1）x，

y=2（m2+2）x后，可求得交點的縱坐標(biāo)y滿足y2=2（2m+1）m2+2≤2（m2+1+1）m2+2=2y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)m=1即x=y時t取到最大值2.

評析上述的處理是基于學(xué)生現(xiàn)有的解題積累之上的一種迎合，雖談不上容易，但很好地運用了數(shù)學(xué)中的思想方法，隨著解題的步步深入，使其一步一步回到學(xué)生可控可為的解題意愿上來，.本題的源頭取自人教版選修45（不等式選講）第10頁第15題：已知a>0，b>0，且h=mina，ba2+b2求證：h≤22，由于此習(xí)題為《基本不等式》的課后練習(xí)，而且要證的形式是一種放大的需求，因此運用不等式的的基本性質(zhì)進(jìn)行合理的放縮成為解題的又一途徑.

解法3由題意得，t≤2x+y，

t≤2yx2+2y2t2≤4xy+2y2x2+2y2≤2（x2+y2）+2y2x2+2y2=2，得t≤2，當(dāng)且僅當(dāng)t=2x+y，

t=2yx2+2y2，

x=y，即x=y=23時，t取最大值2.

評析形式上不夠，放縮法來湊，把一個求最值的問題借助不等式的放縮來處理也是一種常用方式，但放縮的尺度如何把握是關(guān)鍵，有學(xué)生提出為什么是將不等式組相乘而不是相加來求其上界的最大值呢？筆者沒有急于在課堂上給予答復(fù)，而是借機(jī)給出一個變式供學(xué)生思考：

記t=max{a，b}為a，b兩數(shù)的最大值，當(dāng)正數(shù)a變化時，令t=maxa，1a，則t的最小值為.

課堂上學(xué)生立刻就給出了兩種思路：一是由t≥a，

t≥1at2≥1，進(jìn)而可得當(dāng)且僅當(dāng)a=1時t取最小值1；二是將上述不等式相加得2t≥a+1a≥2t≥1，進(jìn)而可得當(dāng)且僅當(dāng)a=1時t取最小值1.

此時學(xué)生已大致感悟出將所得的不等式組加或者乘都只是形式的選擇，重要的是選擇之后的結(jié)構(gòu)是否有利于不等式的性質(zhì)運用和推進(jìn)，從而最終生成的常數(shù)才可能是整個解題追求的目標(biāo)（須檢驗這個最值能否取到）.

數(shù)學(xué)是思維的體操，問題是數(shù)學(xué)的心臟，試題的講評不能只是各種方法的簡單羅列，而是依據(jù)學(xué)生應(yīng)有的思路與困惑為生長點，不斷調(diào)整教學(xué)預(yù)設(shè)，同時注重充實完善課本例題習(xí)題的二次挖掘與開發(fā)，用好用足課本，只有這樣我們的習(xí)題教學(xué)才能做到最少的投入最大的產(chǎn)出，學(xué)生的思維品質(zhì)才能不斷得到優(yōu)化.

是從1到n+k-1中取出的按由小到大次序排列k-1個數(shù)（yk=k+n已確定不用選）.由于（x1，x2，…，xk）與（y1，y2，…，yk）對應(yīng)關(guān)系是一對一的，因此不定方程x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+）的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)便是從n+k-1個數(shù)中取出的k-1個數(shù)的組合數(shù)，即Ck-1n+k-1=Cnn+k-1.