一節(jié)嵌入搜索引擎設(shè)計(jì)的教學(xué)課例：平面向量的數(shù)量積

林夢(mèng)蝶++張維忠

【摘要】將搜素引擎設(shè)計(jì)中的簡單數(shù)學(xué)原理融于課堂教學(xué)，通過兩則能夠引發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的時(shí)事新聞，創(chuàng)設(shè)觸及學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)情景，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探索意識(shí)，同時(shí)拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

【關(guān)鍵詞】教學(xué)課例；平面向量的數(shù)量積；搜索引擎設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過于注重理性傳授，而忽略人文關(guān)懷，未將貼近學(xué)生的事物很好地融合進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)之中.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)需要感性的情景設(shè)計(jì)、活動(dòng)體驗(yàn)等來彌合學(xué)生的情感需求，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生主動(dòng)思維的參與程度.適宜的數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)活動(dòng)的良好開端，教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)其本身也體現(xiàn)了教師自身的教學(xué)智慧.1課例：平面向量的數(shù)量積

1.1創(chuàng)設(shè)情景

新聞一：2016年2月19日本周播出的《了不起的挑戰(zhàn)》中，上演了一出“環(huán)境保衛(wèi)戰(zhàn)”，為了籌資出游，MC們瘋狂購物，然而在沙溢的眼皮底子下，同伴的“錢包”不翼而飛，引發(fā)關(guān)注.

節(jié)目中，以“環(huán)境保衛(wèi)戰(zhàn)”為主題，六位MC本周將赴“北極”和“馬爾代夫”，為了獲得最佳裝備，MC們來到“免稅店”進(jìn)行采購.需要對(duì)抗嚴(yán)寒或酷暑，眾人紛紛出手，買棉襖、買潛水裝備，什么都想買入，無奈手頭“錢”太緊張.

此前，沙溢曾順走撒貝寧的錢，遭小撒分析“案情”.但在本期節(jié)目，案情逆轉(zhuǎn)，有人在“白展堂”沙溢身邊下手，施展高超技法，化身新“盜圣”，這個(gè)人就是撒貝寧[1].

新聞二：2015年11月12日，美國海軍羅納德-里根號(hào)CVN-76航母戰(zhàn)斗群在中國南海東邊的菲律賓海進(jìn)行實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練.當(dāng)天，里根號(hào)頻繁起降超級(jí)大黃蜂艦載戰(zhàn)機(jī)升空進(jìn)行戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練.

中美2015年11月18日圍繞“中國在永興島部署導(dǎo)彈”展開激烈的隔空辯論.當(dāng)?shù)貢r(shí)間17日，美國國務(wù)院、參議院、眾議院眾口一詞職責(zé)中國此舉是“增強(qiáng)在南海的軍事化”.此外，中國在奧巴馬召集東南亞領(lǐng)導(dǎo)人舉行會(huì)議的同時(shí)做出這一部署，更令美國惱火不已.美國國務(wù)卿克里宣稱將要就此同中方進(jìn)行“嚴(yán)肅對(duì)話”.雖然中國國防部此前已經(jīng)表明“相關(guān)島礁的防衛(wèi)部署很多年前就已存在”，但美國一些政客仍固執(zhí)宣稱中國“傲然無視對(duì)美國曾做出的（南海非軍事化）的承諾”[2].

教師：這則新聞，不知道你們是否有關(guān)注呢？

學(xué)生1：看到啦，我每天都會(huì)看一下時(shí)事新聞的.

教師：我想，肯定還是有一部分同學(xué)沒有關(guān)注到，因?yàn)槊總€(gè)人的關(guān)注點(diǎn)是不同的.若是學(xué)生2她沒有看到新聞一，我又知道她特別喜歡看《了不起的挑戰(zhàn)》，我想學(xué)生2課后肯定會(huì)在手機(jī)或者電腦上搜索一下相關(guān)新聞的.

學(xué)生2：是的是的.

教師：在百度等中輸入“了不起的挑戰(zhàn)”作為關(guān)鍵詞，出來的條目都是與之相關(guān)程度極高的新聞.搜索引擎是怎樣將與《了不起的挑戰(zhàn)》相關(guān)的信息，而不是將新聞二的相關(guān)信息呈現(xiàn)給我們呢？這其間的奧秘與我們今天將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容有關(guān).在學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容之后，我們來揭示向量的數(shù)量積與搜索引擎設(shè)計(jì)之間的聯(lián)系吧.

1.2復(fù)習(xí)回顧

教師：首先我們回顧一下平面向量的加減法運(yùn)算.已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），

給出2a+3b，3a-4b的坐標(biāo).

學(xué)生：2a+3b=（2x1+3x2，2y1+3y2），3a-4b=（3x1-4x2，3y1-4y2）.

教師：不錯(cuò)！在學(xué)習(xí)過向量間的加法和減法運(yùn)算后，你們認(rèn)為接著會(huì)學(xué)習(xí)向量的什么運(yùn)算呢？

學(xué)生：乘除法運(yùn)算.

教師：很好，首先我們來解決向量間的乘法運(yùn)算.

1.3導(dǎo)入新知

教師：在學(xué)習(xí)前面幾節(jié)向量的知識(shí)的時(shí)候，我們知道向量在物理中有著重要的運(yùn)用.其實(shí)向量除了與物理有著緊密的結(jié)合，在我們的購物中一樣可以派上用場(chǎng).

假設(shè)某人購買了x支鋼筆，y支鉛筆.鋼筆每支價(jià)格為m元，鉛筆每支價(jià)格為n元.問：購買鋼筆、鉛筆的總價(jià)格P是多少？若視（x，y）為數(shù)量向量，（m，n）為價(jià)格向量，此時(shí)P的意義如何[3]？

學(xué)生3：很顯然，總價(jià)格為mx+ny.

教師：總價(jià)是很好計(jì)算的.但是，我們?nèi)羰菍⑵浞旁谙蛄恐锌紤]，你們可以得到什么樣的發(fā)現(xiàn)呢？

學(xué)生4：總價(jià)格P=（x，y）·（m，n）=mx+ny，可能是這樣得到的.

教師：可以看出來學(xué)生4的預(yù)習(xí)很到位.他用數(shù)量積的坐標(biāo)表示來解釋購買鋼筆、鉛筆的總價(jià)格，得到的答案與學(xué)生3是相同的，顯然是合情的，但是你們覺得合理嗎？第二個(gè)等號(hào)這里，左邊是兩個(gè)什么相乘？

學(xué)生：向量.

教師：那右邊的結(jié)果是？

學(xué)生：是標(biāo)量！

教師：兩個(gè)向量相乘的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，這樣的結(jié)論是否合理呢？我們同樣借助物理中的知識(shí)來探討吧.向量數(shù)量積的物理背景就是物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S.即力F所做的功為W=|F||S|cosθ.（多媒體展示外力做功的動(dòng)態(tài)圖示）這里的功W根據(jù)你們學(xué)過的物理知識(shí)，是有方向的向量還是無方向的標(biāo)量呢？

學(xué)生：標(biāo)量.

學(xué)生5：|F|，|S|以及cosθ都是沒有方向的標(biāo)量，所以乘積W肯定也是沒有方向的標(biāo)量.

教師：學(xué)生5講得很好.數(shù)學(xué)由來是一門抽象的學(xué)科，它將特殊性升華為一般性，使之更具有普遍價(jià)值.向量也是的.外力對(duì)物體做功的時(shí)候，向量力F與位移S共同作用的結(jié)果是標(biāo)量W，為了體現(xiàn)出是F與S共同作用結(jié)果，我們令W=F·S=|F||S|cosθ.第二個(gè)等號(hào)兩端有什么特點(diǎn)？

學(xué)生6：與剛才學(xué)生4說的其實(shí)是一樣的，左邊是兩個(gè)向量相乘，右邊是三個(gè)標(biāo)量相乘.

教師：學(xué)生6說到關(guān)鍵的地方了，從做功的這個(gè)式子我們可以看出兩個(gè)向量的乘積是？

學(xué)生：標(biāo)量.

教師：我們現(xiàn)在將其一般化.（給出兩個(gè)向量數(shù)量積的概念，及坐標(biāo)表示等基本性質(zhì).）

1.4思考與探究

引導(dǎo)學(xué)生解決課本103頁的思考以及104、106頁[4]的探究.同時(shí)完成例題.筆者注重將搜索引擎的設(shè)計(jì)引入此節(jié)的教學(xué)，故省略一般無二的一些教學(xué)過程.

1.5解決情境問題

教師：學(xué)習(xí)完平面向量的數(shù)量積，現(xiàn)在我們來解決在課堂開始的時(shí)候提出的問題.我們先從較為簡單的情況開始討論.考慮新聞一和二中的實(shí)詞A與B，我們計(jì)算一下它們的單文本詞匯率/逆文本頻率值TF/IDF（可以簡單地理解為出現(xiàn)的頻率），按照這些實(shí)詞在詞匯表的位置對(duì)他們的TF/IDF值排序：

單詞編號(hào)[]漢字詞[]TF/IDF值（新聞一）[]TF/IDF值（新聞二）[BHDWG6mm]1[]A[]x1[]y1

2[]B[]x2[]y2

那么這兩個(gè)數(shù)組組成2個(gè)向量，即設(shè)實(shí)詞A與B在新聞一與二中出現(xiàn)的次數(shù)分別組成向量a=（x1，x2），b=（y1，y2）.我們就用這個(gè)兩個(gè)向量分別來代表這兩篇新聞，從而成為新聞的特征向量（或者說代表向量）.從而可以計(jì)算它們夾角的余弦值

cosθ=x1y1+x2y2x21+x22·y21+y22，

cosθ越接近與1，則代表兩則新聞相關(guān)程度越高；越接近于0則代表兩則新聞相關(guān)程度越低，此時(shí)學(xué)生2搜索新聞一時(shí)，新聞二的內(nèi)容就不會(huì)出來了.所以，當(dāng)代表兩則新聞的兩個(gè)向量的夾角的余弦值等于1時(shí)，這兩則新聞完全重復(fù)（用這個(gè)方法可以刪除重復(fù)的網(wǎng)頁）；當(dāng)夾角的余弦值接近于1時(shí)，兩則新聞相似，從而可以歸為一類；夾角的余弦值越小，兩則新聞越不相關(guān).

再假設(shè)新聞中有3個(gè)實(shí)詞，那么在新聞一、二中出現(xiàn)的次數(shù)組成的向量可以分別寫成？

學(xué)生7：a=（x1，x2，x3），b=（y1，y2，y3）.

教師：那我們請(qǐng)學(xué)生7上來把這種情況下兩個(gè)向量夾角的余弦值寫出來吧.

學(xué)生7：（板書）

cosθ=〈a，b〉|a||b|=x1y1+x2y2+x3y3x21+x22+x23·y21+y22+y23

教師：你們是這樣的嗎？

學(xué)生：是的.

教師：一則新聞可能不止有兩三個(gè)實(shí)詞而已，假設(shè)有n個(gè)實(shí)詞，那么你們可以寫出這種情況下的，n個(gè)實(shí)詞分別在兩則新聞里出現(xiàn)的次數(shù)組成的向量a，b的夾角的余弦值嗎？在草稿紙上寫出來.

學(xué)生：（在草稿紙上寫出來）

cosθ=〈a，b〉|a||b|=x1y1+x2y2+…+xnynx21+x22+…+x2n·y21+y22+…+y2n.

1.6教師總結(jié)

向量是具有非凡的應(yīng)用價(jià)值的，在數(shù)學(xué)中可以解決平面、立體幾何中的繁雜問題.在物理中的運(yùn)用，你們已經(jīng)有所了解了.其次，在搜索引擎的設(shè)計(jì)中，向量也是功不可沒的.2課例簡析

數(shù)學(xué)知識(shí)在教材之中往往呈現(xiàn)出一種高冷美，它往往是基于數(shù)學(xué)家們正確地計(jì)算、證明后得到的邏輯無誤的知識(shí)體系，力求簡潔完美.但這總是給學(xué)生帶來疏遠(yuǎn)感，從而失去學(xué)習(xí)興趣或動(dòng)力.數(shù)學(xué)教師的作用便是起承轉(zhuǎn)合，將數(shù)學(xué)知識(shí)出現(xiàn)時(shí)、應(yīng)用時(shí)的生動(dòng)活潑、蜿蜒曲折在教學(xué)之中體現(xiàn)出來，將數(shù)學(xué)知識(shí)最本真的發(fā)展、運(yùn)用展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性和應(yīng)用性[5].

同時(shí)知識(shí)用于“為學(xué)”，而智慧用于“為道”，這也是《老子》中的思想.數(shù)學(xué)知識(shí)是對(duì)科學(xué)規(guī)律的抽象概括，數(shù)學(xué)智慧則是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的具體解決.因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要充分增強(qiáng)學(xué)生的內(nèi)生驅(qū)動(dòng)力，發(fā)揮其主觀能動(dòng)性，教師也要考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，挖掘有益于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的因素，使學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)智慧，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

參考文獻(xiàn)

[1]http：//www.chinanews.com/yl/2016/02-19/7764192.shtml

[2]http：//www.chinanews.com/mil/2016/02-19/7764252.shtml

[3]許利群.新課標(biāo)理念下“平面向量數(shù)量積”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2006（12）

[4]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版必修4[M].北京：人民教育出版社，2007：103-107

[5]張維忠.基于課程標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)教學(xué)研究[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2013：73-74