計(jì)及風(fēng)電隨機(jī)激勵(lì)的電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析

蔣長江 ，劉俊勇，劉友波 ，許立雄，劉 洋 ，朱國俊

（1.四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065；2.國網(wǎng)四川省電力公司電力經(jīng)濟(jì)研究院，四川 成都 610041）

0 引言

風(fēng)力發(fā)電作為可再生能源，近年來得到快速發(fā)展。但大規(guī)模風(fēng)電并網(wǎng)改變了傳統(tǒng)電力系統(tǒng)的本征結(jié)構(gòu)和物理特性，由于風(fēng)電具有隨機(jī)性和波動(dòng)性，其對(duì)電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行影響日益突顯［1-2］。相比于常規(guī)同步機(jī)組，風(fēng)電機(jī)組有不同的動(dòng)態(tài)特性，因此風(fēng)電接入給電力系統(tǒng)暫態(tài)安全穩(wěn)定性帶來一定影響。如何對(duì)含風(fēng)電電力系統(tǒng)進(jìn)行有效的建模，并考慮風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)性對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響，對(duì)系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行及規(guī)劃設(shè)計(jì)意義重大。

目前，已有研究從以下兩方面對(duì)含風(fēng)電的電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行分析：其一，基于確定性微分代數(shù)方程 DAE（Differential Algebraic Equations）的暫態(tài)穩(wěn)定性研究［3-6］，它是在傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上擴(kuò)充風(fēng)機(jī)模型，建立含風(fēng)力機(jī)組暫態(tài)仿真模型，通過確定性的時(shí)域仿真［3-4］、擴(kuò)展等面積法則［5-6］研究風(fēng)電對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響；其二，基于概率微分代數(shù)方程PDAE（Probabilistic Differential Algebraic Equations）的暫態(tài)穩(wěn)定性研究［7-8］，它是在上述確定性暫態(tài)穩(wěn)定模型基礎(chǔ)上，考慮風(fēng)電初始參數(shù)不確定性，建立包含風(fēng)電的暫態(tài)概率穩(wěn)定性模型，通過分析風(fēng)電場(chǎng)群接入系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定概率統(tǒng)計(jì)特性，揭示風(fēng)電出力的不確定性對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響。上述2種方法豐富了含風(fēng)電電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性研究，但確定性模型只研究風(fēng)機(jī)和常規(guī)發(fā)電機(jī)耦合電力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，未考慮風(fēng)功率的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)暫態(tài)穩(wěn)定的影響；概率性模型只計(jì)及初始時(shí)刻的系統(tǒng)不確定參數(shù)帶來的影響，其本質(zhì)依然是利用確定性的方法進(jìn)行仿真，給出系統(tǒng)穩(wěn)定的概率統(tǒng)計(jì)結(jié)果，無法從本質(zhì)上描述風(fēng)電的不確定性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的每一個(gè)時(shí)刻的影響。在暫態(tài)過程中，風(fēng)電功率的隨機(jī)波動(dòng)不能忽略，可能引起系統(tǒng)平衡點(diǎn)漂移，系統(tǒng)出現(xiàn)失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)，因此需要將風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)性引入確定性微分方程，建立更加精細(xì)全面的模型刻畫風(fēng)電隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的影響。

含風(fēng)電電力系統(tǒng)其實(shí)質(zhì)是隨機(jī)混合系統(tǒng)，隨機(jī)微分理論是描述隨機(jī)混合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的最好方法［9-11］。目前隨機(jī)微分理論已經(jīng)應(yīng)用于電力系統(tǒng)穩(wěn)定性研究，文獻(xiàn)［12-13］以可再生能源發(fā)電和電動(dòng)汽車接入電網(wǎng)后所引起的功率波動(dòng)作為隨機(jī)激勵(lì)，利用隨機(jī)微分方程描述隨機(jī)激勵(lì)下電力系統(tǒng)的響應(yīng)特性。文獻(xiàn)［14］對(duì)含風(fēng)電系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)微分方程建模，證明并分析風(fēng)電隨機(jī)激勵(lì)對(duì)小干擾穩(wěn)定的影響。文獻(xiàn)［15］定義了一種本質(zhì)上描述電力系統(tǒng)不確定性仿真的數(shù)學(xué)模型：隨機(jī)微分代數(shù)方程SDAE（Stochastic Differential Algebraic Equations）。相較于概率微分代數(shù)方程模型，該模型不僅可以描述系統(tǒng)的初值的不確定性，也可以描述不確定性對(duì)系統(tǒng)整個(gè)動(dòng)態(tài)過程的影響。文獻(xiàn)［16］將故障和負(fù)荷的不確定性通過不同類型隨機(jī)微分方程建模，給出了隨機(jī)暫態(tài)穩(wěn)定時(shí)域仿真模型。文獻(xiàn)［17］通過建立隨機(jī)能量函數(shù)描述負(fù)荷的不確定性對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響。風(fēng)電作為電力系統(tǒng)重要的隨機(jī)“源”，利用隨機(jī)微分理論研究含風(fēng)電電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性目前已成為國內(nèi)外研究熱點(diǎn)。

基于以上研究背景，本文將隨機(jī)微分理論引入對(duì)含風(fēng)電電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性的研究，初步探討風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)性對(duì)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響。首先將風(fēng)機(jī)機(jī)械功率作為隨機(jī)激勵(lì)源，建立含風(fēng)電電力系統(tǒng)的隨機(jī)微分代數(shù)方程模型，然后利用所提數(shù)值求解方法進(jìn)行時(shí)域仿真，得到系統(tǒng)各個(gè)變量的隨機(jī)仿真軌跡，并且進(jìn)行暫態(tài)穩(wěn)定判定，獲得系統(tǒng)在不同風(fēng)電波動(dòng)下的暫態(tài)穩(wěn)定概率，更加全面地刻畫風(fēng)電不確定性對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性影響。最后，通過改進(jìn)的含異步風(fēng)機(jī)的3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)驗(yàn)證本文所提模型和算法的正確性和有效性。

1 隨機(jī)微分理論

1.1 伊藤型隨機(jī)微分方程

隨機(jī)微分方程是隨機(jī)量驅(qū)動(dòng)的微分方程，是描述系統(tǒng)隨時(shí)間變化的不確定性動(dòng)態(tài)行為。其中伊藤型隨機(jī)微分方程是現(xiàn)有最常用的隨機(jī)微分方程，n維伊藤型隨機(jī)微分方程形式如下［18］：

其中，為漂移系數(shù)，RnW為擴(kuò)散系數(shù)，μ、β 都是 Borel可測(cè)函數(shù)；（t）為 n維矢量隨機(jī)變量，（t）=［ψ1（t），ψ2（t），…，ψn（t）］T；（t）為 n 維維納過程，（t）=［W1（t），W2（t），…，Wn（t）］T；（t0）為 n 維矢量隨機(jī)變量的初值，（t0）=［ψ1（t0），ψ2（t0），…，ψn（t0）］T；（t0）為 n 維維納過程的初值，其值為0。

1.2 維納過程

維納過程W（t）是應(yīng)用概率論中最常用的隨機(jī)過程之一，它廣泛用于描述系統(tǒng)的不確定性行為。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，由多隨機(jī)因素造成的隨機(jī)過程，一般可以近似地用維納過程描述［18］。維納過程的性質(zhì)如下［18］：

a.初值和均值都為 0，W（0）=E［W（t）］=0，方差呈線性增長；

b.具有平穩(wěn)獨(dú)立增量，增量在任意時(shí)刻W（t+h）-，其中，h＞0，N（0，1）是正態(tài)分布；c.維納過程連續(xù)不可微，但存在形式導(dǎo)數(shù)ξ（t）=dW（t）/dt，ξ（t）為高斯白噪聲過程。

上式中，當(dāng) t0≤t1≤…≤tj-1≤tj，則 h=（tj-t0） /j，W（t1）－W（t0）、…、W（tj）－W（tj-1）是相互獨(dú)立的隨機(jī)量。取j=1000，在區(qū)間［0，1］模擬滿足上述性質(zhì)的一條離散的維納路徑如圖1（a）所示，其形式導(dǎo)數(shù)是高斯白噪聲，如圖 1（b）所示。

1.3 數(shù)值計(jì)算方法

對(duì)于隨機(jī)微分方程，大多數(shù)方程不能求得解析表達(dá)式，其解是隨機(jī)過程。與常微分方程一樣，只能通過數(shù)值積分的方法獲得解過程的軌跡，近似得到解。常見的方法是歐拉數(shù)值積分法，其形式如下：

其中，μn+1= μ（ψn+1，tn+1）；μn= μ（ψn，tn）；βn=β（ψn，tn）；ΔWn=W（tn+1）-W（tn）～N（0，h）；積分步長 h=T/N。當(dāng)取不同值時(shí)，表示不同的數(shù)值積分方法，如表1所示。

圖1 維納過程以及高斯白噪聲Fig.1 Wiener process and Gaussian white noise

表1 不同類型的數(shù)值積分方法Table1 Different types of numerical integration method

與常微分方程相同，利用數(shù)值積分的方法求解隨機(jī)微分方程時(shí)，往往關(guān)注數(shù)值解的精度。對(duì)于數(shù)值精度有2種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：其一是數(shù)值解的軌跡是否充分接近真實(shí)解的軌跡，這種標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)值方法的強(qiáng)收斂性；其二是考慮解過程各階矩的近似程度，這種標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)值方法的弱收斂性。其強(qiáng)收斂性和弱收斂性定義詳見文獻(xiàn)［18］。

以上是隨機(jī)微分理論的預(yù)備知識(shí)，下面對(duì)含風(fēng)電系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)微分方程建模，并對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解，研究風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)對(duì)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響。

2 含風(fēng)電系統(tǒng)隨機(jī)微分代數(shù)方程建模

2.1 異步風(fēng)機(jī)隨機(jī)微分方程建模

本文忽略了風(fēng)機(jī)的風(fēng)輪模型和傳動(dòng)鏈模型以及控制系統(tǒng)模型，僅建立異步風(fēng)機(jī)隨機(jī)微分方程模型，包括風(fēng)機(jī)機(jī)械功率隨機(jī)微分模型，異步風(fēng)機(jī)機(jī)電暫態(tài)模型以及電磁暫態(tài)模型。

（1）風(fēng)機(jī)機(jī)械功率隨機(jī)微分方程模型。

風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速在短時(shí)間內(nèi)隨機(jī)波動(dòng)持續(xù)地影響風(fēng)機(jī)的機(jī)械功率變化，可以將風(fēng)機(jī)的機(jī)械功率分為確定部分和隨機(jī)波動(dòng)部分。對(duì)于確定性的部分，風(fēng)機(jī)在暫態(tài)過程中，風(fēng)機(jī)機(jī)械功率主要受控制系統(tǒng)影響［6］，由于風(fēng)機(jī)的類型較多，控制系統(tǒng)不同，很難統(tǒng)一給出機(jī)械功率初值Pm0的具體表達(dá)式。本文針對(duì)最簡(jiǎn)單的鼠籠式異步風(fēng)機(jī)進(jìn)行建模，因此忽略了風(fēng)機(jī)的控制系統(tǒng)，將暫態(tài)過程較短時(shí)間內(nèi)機(jī)械功率確定性部分視為恒定值，與初始穩(wěn)態(tài)電磁功率相等。對(duì)于隨機(jī)波動(dòng)部分，在短時(shí)間內(nèi)，其主要受風(fēng)速的隨機(jī)波動(dòng)影響［19］，與文獻(xiàn)［20］相同，可以近似將風(fēng)電機(jī)組的機(jī)械功率隨機(jī)波動(dòng)部分視為具有平穩(wěn)獨(dú)立增量的維納過程。綜上，本文將風(fēng)機(jī)的機(jī)械功率視為隨機(jī)激勵(lì)，本文用伊藤型隨機(jī)微分方程對(duì)風(fēng)電機(jī)組的機(jī)械功率進(jìn)行建模，具體如下：

其中，Pm為風(fēng)機(jī)機(jī)械功率；W（t）為維納過程；Pm0為機(jī)械功率的初值，即確定性部分；ΔPm（t）為隨機(jī)波動(dòng)部分；σ為擴(kuò)散系數(shù)，用百分?jǐn)?shù)表示風(fēng)機(jī)機(jī)械功率波動(dòng)強(qiáng)度。

（2）風(fēng)電機(jī)組的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程。

以異步風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ωr為狀態(tài)變量，標(biāo)幺值條件下異步風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，Tj為慣性時(shí)間常數(shù)；Pe為電磁功率。將式（3）代入式（4）得到異步風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)隨機(jī)微分方程為：

（3）異步發(fā)電機(jī)電磁暫態(tài)模型。

由于異步風(fēng)電機(jī)組是異步發(fā)電機(jī)，其定子繞組的暫態(tài)過程比轉(zhuǎn)子繞組的電磁暫態(tài)過程快得多，更比電力系統(tǒng)暫態(tài)過程快得多［21］。因此本文的異步風(fēng)機(jī)模型忽略了定子繞組的電暫態(tài)過程，僅考慮在以同步轉(zhuǎn)速ωs旋轉(zhuǎn)的d-q坐標(biāo)軸下轉(zhuǎn)子電磁暫態(tài)方程如下：

定子電壓方程：

電磁功率方程：

其中，，rs、xs、rr、xr、xm分別為定子電阻、定子電抗、轉(zhuǎn)子電阻、轉(zhuǎn)子電抗以及勵(lì)磁電抗標(biāo)幺值；ω 為同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速；E′d、E′q、T ′0、iq、id參數(shù)定義詳見文獻(xiàn)［22］；Uq、Ud分別為風(fēng)機(jī)的交軸、直軸定子電壓。

2.2 同步發(fā)電機(jī)和功率平衡方程建模

同步發(fā)電機(jī)計(jì)及勵(lì)磁系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，考慮其常用的三階模型，其模型如下：

其中，狀態(tài)變量δ、E′qg分別為同步發(fā)電機(jī)功角以及q軸暫態(tài)電勢(shì)；其他參數(shù)見文獻(xiàn)［22］。

各節(jié)點(diǎn)功率平衡方程表示如下：

其中，狀態(tài)變量 Un、Um、θnm分別為第 n節(jié)點(diǎn)、第 m 節(jié)點(diǎn)電壓幅值，及節(jié)點(diǎn)n和節(jié)點(diǎn)m之間電壓相角；nB為與節(jié)點(diǎn)n相聯(lián)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；ΔPGLn、ΔQGLn分別為各節(jié)點(diǎn)有功、無功注入量；Gnm、Bnm分別為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣元素的實(shí)部和虛部。

2.3 含風(fēng)電電力系統(tǒng)隨機(jī)微分代數(shù)方程綜合建模

為了研究風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性影響，聯(lián)立式（3）—（10）形成新的含風(fēng)電的隨機(jī)微分代數(shù)方程模型，其形式如下：

其中，f為微分方程，包括異步風(fēng)機(jī)和同步電機(jī)的微分方程；g為代數(shù)方程，包括異步電機(jī)和同步電機(jī)的定子約束、風(fēng)電系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)約束、發(fā)電機(jī)功率方程；ψ為風(fēng)機(jī)機(jī)械功率隨機(jī)微分方程；為狀態(tài)變量向量組，包括異步風(fēng)機(jī)和同步電機(jī)的各個(gè)狀態(tài)量，其表達(dá)式=［ωr，E′q，E′d，δ，ω，E′qg］T；為代數(shù)變量向量組，包括各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓幅值和相角，其表達(dá)式=［U，θ］T；u為離散變量，模擬故障、線路開斷等。通過對(duì)上述方程組進(jìn)行求解，分析風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性的影響。

3 含風(fēng)電電力系統(tǒng)隨機(jī)微分代數(shù)方程時(shí)域模型求解

3.1 系統(tǒng)模型數(shù)值求解算法

傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)模型是一組微分代數(shù)方程，其時(shí)域仿真常應(yīng)用隱式積分方法求解，比如梯形數(shù)值積分法、龍格-庫塔法等。但對(duì)于隨機(jī)微分方程，文獻(xiàn)［16］指出顯式積分法比隱式積分法的求解精度高，本文采用最常見的方法是EM（Euler-Maruyama）數(shù)值積分方法。本文對(duì)含風(fēng)電系統(tǒng)隨機(jī)微分方程的確定性函數(shù)f和μ部分用隱式梯形法求積，對(duì)擴(kuò)散系數(shù)β用顯式EM數(shù)值積分法求解。其具體數(shù)學(xué)模型如下：

其中，狀態(tài)變量集合；確定性微分方程集合=［fT，μT］T；隨機(jī)擴(kuò)散系數(shù)=［0，βT］T。根據(jù)梯形積分和EM積分公式，其每一個(gè)時(shí)步的表達(dá)式如下：

其中，分別為狀態(tài)變量和代數(shù)變量的初值；分別為已知的前一步變量值；分別為后一步待求變量值；Δt為仿真步長；維納增量ΔWn=W（tn+1）-W（tn），ΔWn～N（0，h），h 為維納增量步長，在仿真區(qū)間 t?［t0，tf］內(nèi)，t0＜t1＜…＜tn＜…＜tN=tf，h=tn+1-tn=（tf-t0）/N。在每次仿真時(shí)，由隨機(jī)模擬器產(chǎn)生滿足維納增量條件的隨機(jī)數(shù)，形成一條維納過程。上式中隨機(jī)微分方程和代數(shù)方程在每個(gè)仿真時(shí)步同時(shí)進(jìn)行迭代，構(gòu)成一組非線性方程組，本文采用牛頓-拉夫遜法對(duì)這組非線性方程組進(jìn)行求解。

3.2 含風(fēng)電電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

由于隨機(jī)微分代數(shù)方程的解是一個(gè)隨機(jī)過程，為模擬風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，采用基于蒙特卡洛原理的時(shí)域仿真法，獲取反映系統(tǒng)在風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)下暫態(tài)穩(wěn)定統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。根據(jù)蒙特卡洛法的原理，在 M 組隨機(jī)波動(dòng)｛ΔWm1，ΔWm2，…，ΔWmn，…，ΔWmN｝（m=1，2，…，M）中，ΔWmN表示在 tN時(shí)刻的維納增量，N=（tN-t0）/h 表示仿真時(shí)刻。采用式（13）所述的數(shù)值方法對(duì)含風(fēng)電隨機(jī)微分代數(shù)方程進(jìn)行求解，得到M組數(shù)值解：V其中m=1，2，…，M。設(shè)解集在 tn時(shí)刻對(duì)應(yīng)的解集合為：，那么的數(shù)值集構(gòu)成n的一個(gè)樣本空間由于風(fēng)機(jī)本身沒有功角穩(wěn)定，對(duì)系統(tǒng)功角穩(wěn)定的影響是通過對(duì)同步發(fā)電機(jī)功角穩(wěn)定的影響來表現(xiàn)的［6］。所以本文利用隨機(jī)仿真模型獲得的同步機(jī)組的功角軌跡判斷含風(fēng)電電力系統(tǒng)是否暫態(tài)穩(wěn)定［16］。計(jì)及風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)下電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定統(tǒng)計(jì)指標(biāo)計(jì)算公式為：

其中表示時(shí)域仿真過程中，系統(tǒng)滿足系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定判據(jù)PJ的次數(shù)；M為仿真總次數(shù)。

傳統(tǒng)基于微分代數(shù)方程的時(shí)域仿真的軌跡是單一確定性軌跡，而基于蒙特卡洛原理的隨機(jī)微分代數(shù)方程時(shí)域仿真軌跡則是隨機(jī)軌跡包絡(luò)帶，本文應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)指標(biāo)均值、極差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)反映系統(tǒng)在風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)下各個(gè)變量的變化情況。其表達(dá)式如下。

a.均值：

b.極差：

c.標(biāo)準(zhǔn)差：

d.變異系數(shù)：

上述統(tǒng)計(jì)指標(biāo)中均值表示隨機(jī)軌跡帶集中趨勢(shì)，極差表示隨機(jī)軌跡包絡(luò)帶的波動(dòng)范圍，標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)表示隨機(jī)軌跡的離散程度。上述統(tǒng)計(jì)指標(biāo)可以反映風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)對(duì)電力系統(tǒng)暫態(tài)過程的影響，為含風(fēng)電電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析與控制提供參考。

3.3 含風(fēng)電電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定時(shí)間裕度

在電力系統(tǒng)發(fā)生大干擾時(shí)，事故的臨界切除時(shí)間CCT（Critical Clearing Time）是衡量大干擾對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定影響的重要指標(biāo)。本文在傳統(tǒng)二分法的基礎(chǔ)上，利用含風(fēng)電電力系統(tǒng)的隨機(jī)微分代數(shù)方程的時(shí)域求解獲取系統(tǒng)在不同隨機(jī)波動(dòng)下的CCT，定義為隨機(jī)臨界切除時(shí)間SCCT（Stochastic Critical Clearing Time）。故障的切除時(shí)間越靠近系統(tǒng)的CCT，系統(tǒng)越不穩(wěn)定，含風(fēng)電電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定時(shí)間裕度TSI表達(dá)式如下：

其中，Tclear為故障的切除時(shí)間；min｛SCCT（σ）｝為在隨機(jī)干擾為σ條件下系統(tǒng)的最小CCT。TSI的值越小，表示含風(fēng)電電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定水平越低；TSI的值越大，表示含風(fēng)電電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定水平越高。

3.4 基于隨機(jī)微分代數(shù)方程模型的暫態(tài)穩(wěn)定計(jì)算流程

根據(jù)上述相關(guān)模型的建立，本文提出的基于隨機(jī)微分代數(shù)方程的含風(fēng)電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性計(jì)算流程如圖2所示，主要步驟如下。

a.計(jì)算系統(tǒng)的初始潮流和變量的初值，形成式（11）所示的含風(fēng)電系統(tǒng)的隨機(jī)微分代數(shù)方程，同時(shí)將仿真次數(shù)M和仿真時(shí)步tf置于初值。

b.當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，修改網(wǎng)絡(luò)參數(shù)并計(jì)算突變量，利用式（13）所示方法在每個(gè)時(shí)步對(duì)隨機(jī)微分代數(shù)方程進(jìn)行數(shù)值求解，對(duì)于每次蒙特卡洛仿真，得到一組數(shù)值解

c.對(duì)每一時(shí)刻求得的數(shù)值解中同步發(fā)電機(jī)功角軌跡進(jìn)行暫態(tài)穩(wěn)定判斷，滿足穩(wěn)定判據(jù)繼續(xù)仿真，不滿足穩(wěn)定判據(jù)則跳出當(dāng)次仿真。

d.當(dāng)M次仿真結(jié)束時(shí)，獲得系統(tǒng)隨機(jī)暫態(tài)穩(wěn)定概率以及各統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，畫出系統(tǒng)各個(gè)變量的隨機(jī)軌跡帶，用于分析風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響。

4 算例分析

4.1 基于隨機(jī)微分代數(shù)方程模型的時(shí)域仿真分析

本文對(duì)經(jīng)典的WSCC-9BUS系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，在12號(hào)節(jié)點(diǎn)將異步風(fēng)機(jī)并入輸電網(wǎng)，形成含異步風(fēng)機(jī)的WSCC-12BUS系統(tǒng)，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖3所示。WSCC-12BUS系統(tǒng)參數(shù)詳見文獻(xiàn)［23］，異步風(fēng)機(jī)參數(shù)如下：額定功率2 MW，額定電壓0.69 kV，額定頻率 50 Hz，xs=0.069 p.u.，rs=0.0076 p.u.，rr=0.0034 p.u.，xr=0.124 p.u.，xm=3.62 p.u.，Tj=6.2 s。對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行建模，形成25×25階隨機(jī)微分代數(shù)方程，利用式（13）所示的方法進(jìn)行數(shù)值求解，分析風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響。

圖2 基于SDAE模型暫態(tài)穩(wěn)定數(shù)值計(jì)算流程圖Fig.2 Flowchart of numerical transient stability calculation based on SDAE model

圖3 含風(fēng)電場(chǎng)的3機(jī)系統(tǒng)Fig.3 Three-generator system with wind farm

場(chǎng)景1：設(shè)置本文所提的計(jì)及風(fēng)功率隨機(jī)波動(dòng)的隨機(jī)微分代數(shù)方程模型暫態(tài)穩(wěn)定仿真場(chǎng)景。在t=2 s時(shí)，節(jié)點(diǎn)7發(fā)生三相短路故障，t=2.07 s切除故障線路7-5，風(fēng)電滲透功率為40 MW，本文取計(jì)算步長Δt=0.01 s。為了保證數(shù)值積分的精度和穩(wěn)定性［15］，本文取維納過程仿真步長和系統(tǒng)數(shù)值積分步長均為h=0.01s，異步風(fēng)電機(jī)組機(jī)械功率隨機(jī)激勵(lì)大小σ=1.5%，仿真次數(shù)M=1000，仿真時(shí)間8 s。

場(chǎng)景2：設(shè)置基于本文所提的隨機(jī)微分代數(shù)方程隨機(jī)仿真失穩(wěn)場(chǎng)景。將場(chǎng)景1的異步風(fēng)電機(jī)組機(jī)械功率隨機(jī)波動(dòng)大小變?yōu)棣?1%，故障切除時(shí)間增加為t=2.1 s，其他條件不變。

對(duì)于場(chǎng)景1，利用圖2流程對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)暫態(tài)時(shí)域仿真，獲得風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速r（標(biāo)幺值，后同）、風(fēng)機(jī)機(jī)端電壓W（標(biāo)幺值，后同）、同步發(fā)電機(jī) G2相對(duì)于平衡機(jī)G1的功角差21的隨機(jī)軌跡帶，如圖4—6所示。結(jié)果表明各個(gè)狀態(tài)變量的隨機(jī)仿真軌跡均值和確定性仿真軌跡幾乎重合，風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速r在±0.001 p.u.范圍波動(dòng)，風(fēng)機(jī)機(jī)端電壓W在±0.025 p.u.范圍波動(dòng)，發(fā)電機(jī)G2相對(duì)于G1的功角差在 ±10°范圍波動(dòng)（標(biāo)幺值在±0.055 p.u.范圍波動(dòng)），可以看出隨機(jī)仿真軌跡帶相較于確定性仿真結(jié)果波動(dòng)范圍較小，且收斂于確定性仿真軌跡。取其中一條隨機(jī)仿真軌跡和確定性的軌跡相比，隨機(jī)仿真軌跡與確定性仿真軌跡的趨勢(shì)大致相同，并且在很小的范圍波動(dòng)，但軌跡并不一致。綜上，相比于傳統(tǒng)確定性的仿真，隨機(jī)仿真可以得到更加精細(xì)的波動(dòng)軌跡和波動(dòng)范圍，更加符合實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程。從隨機(jī)仿真數(shù)據(jù)看出風(fēng)功率在秒級(jí)的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響確實(shí)非常小，但這種影響不能忽略，因?yàn)殡S機(jī)仿真結(jié)果可以為暫態(tài)穩(wěn)定分析和控制提供更加精確的參考。從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度來看，1000次仿真得到各變量均值軌跡趨于穩(wěn)定；另外，對(duì)故障切除時(shí)刻21隨機(jī)時(shí)域仿真的值進(jìn)行分析，獲得如圖7所示的統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)果表明在相同的時(shí)間斷面，功角隨機(jī)波動(dòng)值呈現(xiàn)正態(tài)分布，且收斂于確定性仿真的值21=66.3°。綜上，含風(fēng)電系統(tǒng)在故障切除時(shí)間較短的情況下，風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)不會(huì)引起混合系統(tǒng)的暫態(tài)失穩(wěn)。

圖4 異步風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速的隨機(jī)時(shí)域仿真軌跡Fig.4 Stochastic time-domain simulative trajectories of rotor speed of asynchronous wind turbine

為了與場(chǎng)景1對(duì)比，設(shè)置基于計(jì)及初始時(shí)刻風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)的概率微分代數(shù)方程仿真場(chǎng)景以及不考慮風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)的微分代數(shù)方程仿真場(chǎng)景。其中概率微分代數(shù)方程仿真場(chǎng)景中，設(shè)在短時(shí)間的暫態(tài)過程中風(fēng)機(jī)機(jī)械功率的初始值服從維納過程，機(jī)械功率隨機(jī)波動(dòng)大小σ=1.5%，其他條件和場(chǎng)景1相同，利用概率微分代數(shù)方程模型進(jìn)行1000次蒙特卡洛時(shí)域仿真；確定性仿真場(chǎng)景中，σ=0，其他條件和場(chǎng)景1相同。其仿真結(jié)果如圖8—10所示，由圖可見，基于隨機(jī)微分代數(shù)方程模型獲得的各變量隨機(jī)仿真軌跡帶包絡(luò)相較于基于概率微分代數(shù)方程模型仿真的軌跡帶波動(dòng)范圍更大，說明隨機(jī)微分代數(shù)方程模型可以仿真更大波動(dòng)范圍，隨機(jī)微分代數(shù)方程模型本身更加全面描述風(fēng)功率的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響。

圖5 異步風(fēng)機(jī)機(jī)端電壓隨機(jī)時(shí)域仿真軌跡Fig.5 Stochastic time-domain simulative trajectories of terminal voltage of asynchronous wind turbine

圖6 同步電機(jī)G2的功角隨機(jī)時(shí)域仿真軌跡Fig.6 Stochastic time-domain simulative trajectories of power angle of synchronous generator G2

圖7 故障切除時(shí)刻1000次隨機(jī)仿真功角統(tǒng)計(jì)圖Fig.7 Histogram of power angle for 1000 stochastic simulations at fault clearance instant

圖8 異步風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速的PDAE和DAE時(shí)域仿真軌跡Fig.8 Time-domain PDAE and DAE simulative trajectories of rotor speed of asynchronous wind turbine

圖9 異步風(fēng)機(jī)機(jī)端電壓PDAE和DAE時(shí)域仿真軌跡Fig.9 Time-domain PDAE and DAE simulative trajectories of terminal voltage of asynchronous wind turbine

對(duì)于場(chǎng)景2，當(dāng)故障切除時(shí)間增加，基于隨機(jī)微分代數(shù)方程模型系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)的情況。如圖11—13所示，抽取4條隨機(jī)仿真路徑，在故障發(fā)生前，系統(tǒng)在風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)下，各條軌跡輕微振蕩均未失穩(wěn)；當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，由于風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)使得系統(tǒng)的平衡點(diǎn)出現(xiàn)漂移，出現(xiàn)了隨機(jī)失穩(wěn)軌跡1和隨機(jī)失穩(wěn)軌跡2，證明風(fēng)速的隨機(jī)波動(dòng)性對(duì)含風(fēng)電系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定有影響。對(duì)比圖11—13發(fā)現(xiàn)，在風(fēng)功率的隨機(jī)波動(dòng)下，由于風(fēng)電機(jī)組是異步電機(jī)，機(jī)械性慣性小，相比于常規(guī)機(jī)組最先出現(xiàn)轉(zhuǎn)速失穩(wěn)，風(fēng)電的機(jī)端暫態(tài)電壓跌落到0.9 p.u.以下，風(fēng)機(jī)容易脫網(wǎng)。因此，相對(duì)于傳統(tǒng)的時(shí)域仿真模型，本文所提隨機(jī)微分代數(shù)方程模型可以描述風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)造成的暫態(tài)失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)，更加全面地分析風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

圖10 同步電機(jī)G2的PDAE和DAE時(shí)域仿真軌跡Fig.10 Time-domain PDAE and DAE simulative trajectories of synchronous generator G2

圖11 同步電機(jī)G2的功角隨機(jī)時(shí)域仿真軌跡Fig.11 Stochastic time-domain simulative trajectories of power angle of synchronous generator G2

圖12 異步風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速的隨機(jī)時(shí)域仿真軌跡Fig.12 Stochastic time-domain simulative trajectories of rotor speed of asynchronous wind turbine

圖13 異步風(fēng)機(jī)機(jī)端電壓隨機(jī)時(shí)域仿真軌跡Fig.13 Stochastic time-domain simulative trajectories of terminal voltage of asynchronous wind turbine

4.2 含風(fēng)電電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定分析

本文在傳統(tǒng)的二分法基礎(chǔ)上，通過隨機(jī)微分代數(shù)方程時(shí)域模型構(gòu)建隨機(jī)二分法，獲得系統(tǒng)不同故障的隨機(jī)臨界切除時(shí)間，反映風(fēng)電不同大小的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的影響。設(shè)置如場(chǎng)景1所述的故障，隨機(jī)量σ在0～2%變化。在微分代數(shù)方程仿真模型下故障線路7-5臨界切除時(shí)間為0.115 s，在隨機(jī)微分代數(shù)方程和概率微分代數(shù)方程仿真模型下各仿真200次，計(jì)算故障臨界切除時(shí)間與風(fēng)電隨機(jī)量的關(guān)系如圖14所示。圖14中，PCCT（Probabilistic Critical Clearing Time）是指在只計(jì)及初始狀態(tài)的概率微分代數(shù)仿真模型下，對(duì)每一次概率抽樣仿真利用二分法求得的臨界切除時(shí)間。從圖14可見，無論是隨機(jī)微分代數(shù)方程還是概率微分代數(shù)方程仿真模型，在隨機(jī)波動(dòng)較小時(shí)，故障CCT的分布都在0.115 s附近波動(dòng)，但隨著風(fēng)電擾動(dòng)量增加，CCT的波動(dòng)范圍逐漸增大，系統(tǒng)隨機(jī)時(shí)間裕度TSI越小，系統(tǒng)的暫態(tài)失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)增加。風(fēng)電功率波動(dòng)的σ在0～2%范圍內(nèi)時(shí)，對(duì)于概率微分代數(shù)方程模型，該故障下的CCT在［0.1，0.12］s區(qū)間變化；對(duì)于文中所提隨機(jī)微分代數(shù)方程模型，CCT在［0.09，0.13］s區(qū)間變化。這說明相較于概率微分代數(shù)方程模型，本文所提隨機(jī)微分代數(shù)方程模型獲得的CCT波動(dòng)范圍更大，隨機(jī)微分代數(shù)方程模型可以發(fā)現(xiàn)更多由風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)含風(fēng)電電力系統(tǒng)造成的暫態(tài)失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)，為含風(fēng)電電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的分析與控制提供參考。

圖14 在SDAE和PDAE模型下CCT的散點(diǎn)分布Fig.14 Scatter distribution of CCT for SDAE and PDAE models

上述場(chǎng)景2已經(jīng)證明風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)會(huì)增加系統(tǒng)失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)。由于含風(fēng)電電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定受很多因素影響［7］，本文重點(diǎn)研究風(fēng)功率隨機(jī)波動(dòng)對(duì)含風(fēng)電系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，因此未考慮其他因素，只是考慮風(fēng)電滲透率和風(fēng)功率隨機(jī)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定影響。針對(duì)場(chǎng)景2，改變風(fēng)電滲透功率和隨機(jī)波動(dòng)大小，通過本文提出的計(jì)及風(fēng)功率隨機(jī)波動(dòng)的隨機(jī)微分代數(shù)方程模型進(jìn)行時(shí)域仿真，獲取不同隨機(jī)波動(dòng)和不同風(fēng)電滲透下系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定概率，刻畫風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響。其中，風(fēng)電滲透功率PW分別取40 MW、60 MW、80MW，風(fēng)機(jī)機(jī)械功率隨機(jī)波動(dòng)大小σ在0～2%之間，對(duì)每一次工況進(jìn)行1000次暫態(tài)時(shí)域仿真，并且統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定次數(shù)，獲得系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定概率。由圖15可見，在相同的風(fēng)功率滲透下，風(fēng)功率隨機(jī)波動(dòng)增加，含異步風(fēng)機(jī)的電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性降低；在相同的隨機(jī)波動(dòng)下，風(fēng)功率滲透率越高，系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性越低。

圖15 系統(tǒng)穩(wěn)定概率Fig.15 System stability probability curves

5 結(jié)語

本文初步探討了風(fēng)電的隨機(jī)激勵(lì)對(duì)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的影響，將異步風(fēng)機(jī)的機(jī)械功率作為隨機(jī)激勵(lì)源，提出一種基于隨機(jī)微分理論對(duì)含風(fēng)電電力系統(tǒng)進(jìn)行建模和暫態(tài)穩(wěn)定分析的方法。算例結(jié)果表明，在暫態(tài)過程中，風(fēng)功率的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性影響不能忽略，在風(fēng)電隨機(jī)波動(dòng)較小時(shí)，風(fēng)電的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定影響較??；但隨著風(fēng)電滲透率和隨機(jī)激勵(lì)增加，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)的情況。對(duì)比于傳統(tǒng)的確定性模型和概率性模型，本文所提的隨機(jī)微分方程模型克服了上述2種模型的缺點(diǎn)，能夠精細(xì)地描述風(fēng)電隨機(jī)激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定影響，給出系統(tǒng)在不同隨機(jī)波動(dòng)下的穩(wěn)定特性和時(shí)域仿真軌跡，獲得更加精細(xì)的波動(dòng)軌跡和波動(dòng)范圍，為含風(fēng)電電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析與控制提供新的仿真方法。下一步工作重點(diǎn)是對(duì)不同類型的風(fēng)機(jī)進(jìn)行更加詳細(xì)的隨機(jī)微分建模。

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