高考對高中數學新教材“拓展性課程資源”的考查

云南省大理第一中學　　王永生　　(郵編：233000)

?

聚焦新課程

高考對高中數學新教材“拓展性課程資源”的考查

云南省大理第一中學王永生(郵編：233000)

摘要高中數學新教材增加了許多“拓展性課程資源”.在實際使用教材的過程中，這些內容卻陷入了高評價低使用率的尷尬境地.結合具體例子就高考對這些“拓展性課程資源”的考查進行了說明，以期引起大家對這些內容的重視.

關鍵詞數學高考；課程標準；課程資源

《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下簡稱《高中課標》)的一大特點是在課程的基本理念中指出：“高中數學課程設立‘數學探究’、‘數學建?！葘W習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣.”

基于此，在人教A版教材中，以“探究與發(fā)現”、“閱讀與思考”、“信息技術應用”和“實習作業(yè)”欄目形式給出了“拓展性課程資源”.下表為人教A版必修教材中幾個欄目的數量統(tǒng)計.

教材版欄目數量人教A版探究與發(fā)現6閱讀與思考24信息技術應用9實習作業(yè)5

在實際使用教材的過程中，這些內容陷入了高評價低使用率的尷尬境地.由于這些資源“在師生心目中地位的缺失，至今仍然沒有引起師生的重視，當然也基本不能發(fā)揮其應有的功能與價值了”.

還好，近幾年來的高考題中多少出現了一些“拓展性課程資源”的影子.雖然飽受爭議，可這恰恰說明了命題者對新課程改革的支持，同時也為高中數學教學指明了方向，那就是不能太過于功利，對教材中的這些“拓展性課程資源”視而不見，而應適當用好這些資源，從而努力提升學生的綜合數學素養(yǎng).下面結合具體例子談談高考是如何對這些“拓展性課程資源”進行考查的.

1對“探究與發(fā)現”欄目的考查

在學完指數函數和對數函數的相關內容后，人教A版《數學1》(必修)(以下簡稱《數學1》，其它類同)安排了“互為反函數的兩個函數圖象之間的關系”這一“探究與發(fā)現”欄目，以五個問題的形式，試圖引導學生得到“指數函數y=ax(a>0,且a≠1)和它的反函數y=logax(a>0,且a≠1)的圖象關于直線y=x對稱的結論”.而下面的考題也正源于此.

解析反函數與原函數的對應關系是解決問題的關鍵，一般有兩個處理方法，一是從原函數出發(fā)求其反函數，再求函數最大值，本題求反函數較困難；二是利用反函數定義域對應原函數值域，反函數值域對應原函數定義域，反函數與原函數對偶區(qū)間上單調性一致，求出函數最大值.

祖暅原理是中國數學歷史文化的瑰寶.《高中課標》認為：“數學課程應適當反映數學發(fā)展的歷史、應用和趨勢.”并提出“應幫助學生了解數學在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數學觀.”《數學2》在第一章《空間幾何體》的最后安排了“祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積”這一“探究與發(fā)現”.在詳細介紹了祖暅原理的內容后探討了它在柱體、錐體、球體的體積公式推導中的應用.高考課標全國卷還沒直接考過祖暅原理，但省市卷還是對其難以割舍.

圖1

解析根據提示，一個半徑為1，高為2π的圓柱平放，一個高為2，底面面積8π的長方體，這兩個幾何體與Ω放在一起，根據祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即Ω的體積值為π·12·2π+2·8π=2π2+16π．

2對“閱讀與思考”欄目的考查

“閱讀與思考”欄目在新教材中所占的份量最重.在必修教材中一般可分為四類：(1)知識拓展類：對教材已有數學知識的進一步擴展深化，如“斐波那契數列”、“錯在哪兒”和“相關關系的強與弱”等.(2)數學史類：如“海倫和秦九韶”、“對數的發(fā)明”等.(3)學科介紹類：介紹現代數學的新進展，數學在其它學科中的滲透和應用，如“坐標法與機器證明”等.(4)實際應用類：運用已有的知識解決一些具有實際意義和趣味性的問題，如“廣告中數據的可靠性”等.高考對此欄目的考查主要側重于前兩類.

點評本題主要考查回歸直線，相關系數的知識.此部分知識源于《數學3》在第二章《統(tǒng)計》中的“相關關系的強與弱”.與此相關的考題還有：

(2011年高考江西卷理科第6題)變量X與Y相對應的一組數據為(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5);變量U與V相對應的一組數據為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，r1表示變量Y與X之間的線性相關系數，r2表示變量U與V之間的線性相關系數，則

A.r2

C．r2<0

解析由數據可以看出變量Y與X之間是正相關, 變量U與V之間是負相關,所以r2<0

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,

p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,

p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,

p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1.

其中的真命題是()

A．p2,p3B．p1,p2C．p1,p3D．p1,p4

解析此題求解的通法是畫出可行域后求得x+2y≥0,于是真命題是p1,p2,選B.

例5(2009年高考全國福建卷文科第16題)五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數為1.第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；②若報出的是為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次，當第30個數被報出時，五位同學拍手的總次數為______.

解析這樣得到的數列稱為斐波那契數列.由此可知，每四個出現一次3的倍數，30個數中有且僅有7個數是3的倍數，則五位同學拍手的總次數為7次.

點評此題以游戲形式構造了一個“斐波那契數列”的場景.利用其性質可容易得到求解.《數學5》在第二章《數列》中的“斐波那契數列”討論了該數列.類似考題還有：

(2012年高考江西卷理科第6題)觀察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,則a10+b10=()

A．28B．76C．123D．199

解析觀察各等式的右邊，它們分別是1，3，4，7，11，…，從第三項開始，每一項是前兩頂的和，則a10+b10=123.此即為斐波那契數列的特征.

此外，“海倫公式”的應用也極其廣泛.由此可見，“閱讀與思考”欄目的知識一般不直接考查，但這些知識對開闊學生視野和提升學生能力是極有幫助的.

3對“信息技術應用”欄目的考查

“信息技術應用”欄目是最難進行考查的.也正因為如此，此部分資源在平時教學中是最不受重視的.《數學1》在三章書中的“信息技術應用”欄目依次就用計算機繪制函數圖象；借助信息技術探究指數函數的性質和借助信息技術求方程的近似解問題進行了討論.下面的問題與此相關.

圖2

A．4B．5

C．6D．7

解析畫出y=2x,y=x+2,y=10-x的圖象，如圖2，f(x)的最大值在x=4時取得6，故選C.

點評此題需在同一坐標系中作出三個函數的圖象后數形結合求解.類似考題還有：

(2011年高考全國新課標卷文科第10題)在下列區(qū)間中，函數f(x)=ex+4x-3的零點所在的區(qū)間為()

解析可作出函數y=ex和函數y=3-4x的圖象后近似求解，故答案為C.

4對“實習作業(yè)”欄目的考查

“實習作業(yè)”是高中數學新教材較有特點的一個欄目.《數學5》在第一章《解三角形》的最后安排了一個“實習作業(yè)”.要求“根據實際需要，利用本章所學的知識做一個有關測量的實習作業(yè)，并寫出實習報告.”與之相關的考題較多，主要突出利用解三角形的相關知識解決實際中與距離和高度有關的測量問題.

圖3

例7(2009年高考新課標全國卷理科第17題)為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(如示意圖3)，飛機能夠測量的數據有俯角和A、B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M、N間的距離的步驟.

圖4

解析方案一：①需要測量的數據有：A點到M，N點的俯角α1、β1；B點到M、N的俯角α2、β2；A、B的距離 d (如圖4所示).

方案二：①需要測量的數據有：A點到M、N點的俯角α1、β1；B點到M、N點的府角α2、β2；A、B的距離 d (如圖4所示).

圖5

點評學生如果真有這方面的實際體驗，解決這樣的問題并不困難.

其它幾個“實習作業(yè)”不好直接考查，但它們所涉及的一些方法仍可結合其它知識進行考查.如《數學3》中的“實習作業(yè)”對“在校學生中每周使用計算機時間的調查”和“中學生物理成績與數學成績之間的相關關系”的研究等.

客觀地講，這些高考題與教材中的“拓展性課程資源”的關聯也不是那么緊密.更何況《考試大綱》也仍然未明確地將其列為考試內容.筆者做此歸納與整理，只是想提醒大家要關注這些內容，它們畢竟是新教材的組成部分，在進行教學時能否將其融入到相關內容中，結合《高中課標》的基本理念，充分發(fā)揮其應有的價值.

參考文獻

1中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003

2楊慧娟，劉云，孟夢.高中數學新教科書中“拓展性課程資源使用情況調查研究”[J].數學教育學報，2013,22(5)

(收稿日期：2016-01-31)