一個猜想的再推廣及其拓展的簡證

湖北省陽新縣高級中學(xué)　　鄒生書　　(郵編：435200)

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一個猜想的再推廣及其拓展的簡證

湖北省陽新縣高級中學(xué)鄒生書(郵編：435200)

文[1]給出了如下不等式猜想：

文[2]證明了該猜想并對字母系數(shù)作了如下推廣：

推廣若正實數(shù)a、b、c∈(0,1),且a+b+c=1,且0<λ≤2,

文[3]對系數(shù)作了更加寬泛的如下再推廣：

再推廣若正實數(shù)a、b、c∈(0,1),且a+b+c=1,且λ≥-2,

文[4]在上述再推廣命題的基礎(chǔ)上，從常數(shù)和項數(shù)作了如下更具一般性的推廣：

(*)

文[4]又對再推廣的命題從指數(shù)作了如下拓展：

拓展若正實數(shù)a、b、c∈(0,1),且a+b+c=1,-2≤λ≤2,

文[5]在上述拓展的基礎(chǔ)上又從常數(shù)和項數(shù)作了如下推廣：

筆者認為這個拓展再推廣不等式中的指數(shù)與項數(shù)相等有點特殊不具一般性，稍作修改可得具有普遍性的較完美的不等式如下：

(**)

下面筆者對上述推廣后的一般性不等式(*)和完美不等式(**)給出簡證如下：

證明(一般性推廣)因為A>0,λ≥-A,ai∈(0,1),所以λai≥-Aai,

A+λai≥A-Aai=A(1-ai)>0.

由“Cauchy求反技術(shù)”和柯西不等式的變式，得

證明(完美不等式)因為A>0,-A≤λ≤A,ai∈(0,1),所以-Aai≤λai≤Aai.于是A+λai≥A-Aai=A(1-ai)>0,A-λai≥A-Aai=A(1-ai)>0.

由冪均不等式和不等式(**)，得

不等式(**)是本文所有不等中最具一般性最為完美的一個不等式,在不等式(**)的條件下,其余不等式都是它的一個特例.比如：在不等式(**)中，當(dāng)m=n時，就是拓展再推廣中的不等式；當(dāng)m=A=2,n=3時，就是拓展中的不等式；當(dāng)m=1時，就是一般性推廣中的不等式.

參考文獻

1宋慶，周玉芽.關(guān)于證明不等式的一些思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012(2)

2李韶.兩個猜想不等式的另證及推廣[J].數(shù)學(xué)通訊，2013(4)

3辛智文.一個猜想推廣命題的再推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013(11)

4石盛松.一個再推廣問題的思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2014(8)5王亞輝.簡證一個猜想的再推廣及拓展命題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2015(7)

(收稿日期：2016-01-17)