受迫振動的拉普拉斯變換分析法探討

梁明智（赤峰學院　物理與電子信息工程學院，內蒙古　赤峰　024000）

?

受迫振動的拉普拉斯變換分析法探討

梁明智
（赤峰學院物理與電子信息工程學院，內蒙古赤峰024000）

摘要：本文通過拉普拉斯變換分析了受迫振動的幾種可能情況，并介紹了受迫振動時的主要特征.

關鍵詞：受迫振動；拉普拉斯變換；拉普拉斯反變換；位移振動

1　拉普拉斯變換和拉普拉斯反變換

一個定義在[0，∞)區(qū)間的函數(shù)f(t)，它的拉普拉斯變換式F(s)定義為

式中s=σ+jω為復數(shù)，F(xiàn)(s)稱為f(t)的象函數(shù)，f(t)稱為F(s)的原函數(shù).由原函數(shù)經(jīng)上式變換為象函數(shù)，稱為拉式正變換.拉式正變換的符號為

如果F(s)已知，要求出與它對應的原函數(shù)f(t)，由F(s)到f (t)的變換為拉普拉斯反變換，求出它的定義式為

式中c為正的有限常數(shù).拉式反變換的符號為

2　在復頻域上牛頓定律的拉普拉斯形式

牛頓定律在一維坐標系中的形式：

其中x(0)、v(0)表示t=0時物體所在位置坐標及速度.

3　受迫振動

振動系統(tǒng)因受阻力作用作振幅減小的運動稱為阻尼振動，一般來說，在振動速度較小時，所受阻力正比于物體運動的速度.在阻尼振動系統(tǒng)的基礎上加上一個周期性的外力所發(fā)生的振動稱為受迫振動.所加的周期性外力又稱策動力.設策動力按余弦規(guī)律變化且其初相位為零.即：

則彈簧振子運動的動力學方程為：

設初始時刻有：x(0)=A0x'(0)=V0則拉普變換后的形式為：

則有：

其中K1、K2、K3、K4為待定的系數(shù)，由恒等式知識有：

⑴設β＞ω0（即阻力很大時）

其中：

對X(S)進行反拉普拉斯變換則有：

上式表明，當阻力很大時，前兩項會單調地趨于0，達到穩(wěn)定時其振動方程為：

⑵設β=ω0

對X(S)進行反拉普拉斯變換則有：

從上式可以看出第一項在極短的時間內就會衰減為0，達到穩(wěn)定時其振動方程為：

⑶設β＜ω0

對X(S)進行反拉普拉斯變換則有：

上式表明，前兩項做振幅以指數(shù)規(guī)律減少的振動，達到穩(wěn)定振動時的振動方程為：

通過以上的分析可知受迫振動達到穩(wěn)定時，不論是何種情況，其振動方程都是：

下面對受迫振動的主要性質進行分析：

1、穩(wěn)定的受迫振動時的振動頻率并非是固有頻率ω0，而是策動力的頻率ω.且其振幅A與初相φ0只決定于振動系統(tǒng)本身的性質、阻尼的大小與策動力的特征，與初始條件無關.

2、而φ0可理解為穩(wěn)定的受迫振動時位置坐標與策動力的位相之差.

若ω＜ω0時，φ0＜0表明位移的相位落后于策動力的相位.當ω→0時，φ0=0二者的相位相同.

若ω=ω0時表明位移的相位落后于策動力的相位

若ω＞ω0時，φ0=-π表明位移的相位與策動力的相位相反.

3、穩(wěn)定受迫振動的振幅隨策動力頻率的改變而改變，當策動力頻率取某一數(shù)值時，振動系統(tǒng)受迫振動時其振幅達極大值的現(xiàn)象，稱為位移共振.由：可得最大振幅時策動力的頻率為：

4、穩(wěn)定的受迫振動時，其振動速度為：

很顯然，當策動力的頻率為某一數(shù)值時可使振動的振幅取最大值，即振動的速度的最大值，這種現(xiàn)象稱之為速度共振，其共振的條件為：

即策動力的頻率與振動系統(tǒng)固有頻率相同時才會發(fā)生速度共振.

從以上分析可知，發(fā)生位移共振與發(fā)生速度共振的條件是不同的.

通過以上的分析過程可知，利用拉普拉斯變換分析受迫時振動不必處理繁復的微分方程，可將復雜的高等數(shù)學運算中的微分方程轉化為初等數(shù)學運算，將計算難度大大降低.

參考文獻：

〔1〕賀洪江，等.電路基礎[M].北京：高等教育出版社,2004，7.

收稿日期：2015-12-20

中圖分類號：O193

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）04-0005-02