有阻尼體系受迫振動位移響應分析

袁玉寶 雷振 高正華 賀路

摘 要：為了掌握有阻尼體系受迫振動位移響應及其影響因素，本篇運用高等數(shù)學、大學物理、結(jié)構(gòu)動力學等知識，從理論上推導出位移響應的解析解，并對影響位移響應的因素進行分析，得出如下結(jié)論：（1）使用模態(tài)疊加法求解多自由度體系有阻尼受迫振動的微分方程可大大簡化計算。（2）當頻比系數(shù)趨于0時，動荷載可以看作靜荷載處理。此時慣性力和阻尼力很小，動荷載主要與彈性恢復力平衡，且動荷載與位移同步。（3）當頻比系數(shù)趨于∞時，阻尼力和彈性恢復力很小，動荷載主要與慣性力平衡，且動荷載與位移反向，減弱振動，即高頻振動引起的位移響應可以忽略。（4）當頻比系數(shù)趨于1時，發(fā)生在共振現(xiàn)象。此時阻尼比的微弱變化對動力系數(shù)影響很大，但結(jié)構(gòu)的最大動力系數(shù)并非共振時的動力系數(shù)。

關(guān)鍵詞：受迫振動;位移響應;模態(tài)疊加法;頻比系數(shù);阻尼比;動力系數(shù)

中圖分類號：O325? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? 文章編號：1006—7973（2020）01-0112-03

有阻尼受迫振動現(xiàn)象廣泛存在于現(xiàn)實生活中。人們在利用振動原理解決工程難題[1]的同時，也在避免振動帶來的的危害[2]。很多專家學者也對振動的響應做出了大量的研究[3～5]。如位移響應不僅與荷載頻率有關(guān)，還與自振頻率有關(guān)，當荷載頻率接近自振頻率時，結(jié)構(gòu)體系將發(fā)生共振從而可能引起破壞。但這些畢竟是一些定性的講法。怎樣定量表示位移響應的大小，并研究位移響應與其影響因素之間的關(guān)系成為工程的難點問題，這也是筆者研究的內(nèi)容。

1有阻尼受迫振動微分方程

1.1 單自由度體系受迫振動微分方程

如圖1所示，有阻尼的單自由度體系在動荷載作用下發(fā)生受迫振動。

由達朗貝爾原理知，體系共受到動荷載P（t）、慣性力、阻尼力和彈性恢復力-ky四個力共同作用。m、c、k分別為體系質(zhì)量、阻尼、剛度，、、分別為體系加速度、速度、位移。振動方程為;

1.2 多自由度體系受迫振動微分方程

如圖2所示，有阻尼的多自由度體系在動荷載向量作用下發(fā)生受迫振動。振動方程為

[C]、[K]分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，、、分別為加速度向量、速度向量、位移向量，{P（t）}為動荷載向量。質(zhì)量矩陣[M]為對角矩陣;剛度矩陣[K]為對稱矩陣，即kij=kji;阻尼矩陣[C]一般不為對稱矩陣，但可通過線性組合成為對稱矩陣。

2有阻尼受迫振動微分方程的位移響應[6～7]

2.1 單自由度體系受迫振動微分方程的位移響應

式中為荷載作用時刻，被積函數(shù)t為計算位移時刻，積分上限t為瞬時沖量作用的時間范圍。綜上，單自由度體系有阻尼受迫振動微分方程的位移響應為

2.2 多自由度體系受迫振動微分方程的位移響應

多自由度體系受迫振動微分方程的位移解法通常有直解法和模態(tài)疊加法兩種。下面筆者將分別予以介紹。

2.2.1 多自由度體系受迫振動微分方程的位移直解法

在式（2）中，假定阻尼矩陣[C]為對稱矩陣，當體系受到的動荷載向量為簡諧荷載向量作用時，可用直解法進行求解。平穩(wěn)階段位移響應的形式為

若多自由度體系受到的動荷載向量不為簡諧荷載向量，而是一般動荷載向量，可將一般動荷載向量轉(zhuǎn)換成為若干個簡諧荷載向量的疊加。但荷載疊加法在單自由度體系中已相當繁瑣，在多自由度體系中必將更為復雜，甚至不可能實現(xiàn)。

2.2.2 多自由度體系受迫振動微分方程的振模態(tài)疊加法

在實際的多自由度體系中，因阻尼力的機理比較復雜，阻尼矩陣很多情況下不是對稱矩陣，而使用模態(tài)疊加法又要求阻尼矩陣[C]為對稱矩陣，所以首先將阻尼矩陣作變換。設，...為多自由度體系的自振頻率，其可由頻率方程求出。，...分別對應的陣型向量為，...。設振型矩陣，則。設廣義坐標為，...，其為振型的組合系數(shù)。這樣，多自由度體系的位移向量便可用振型矩陣和廣義坐標向量來表示，即

若已知多自由度體系的兩個自振頻率 （i≠j）及通過式測出的兩個阻尼比（n為周期數(shù)，yk為k時刻的振幅，yk+n為k+n時刻的振幅），則可通過式、求出a、b。再把a、b帶入式（13）即可求出廣義阻尼矩陣。

通過以上的變換，使非對稱的阻尼矩陣成為對稱的廣義阻尼矩陣后，便可以使用模態(tài)疊加法計算多自由度體系的位移響應。

可見，我們把自由度為n的多自由度體系的動力計算問題轉(zhuǎn)換成n個單自由度體系的動力計算問題，從而使計算大大簡化。對式（14）運用杜哈梅積分，有

式中 ，為第i階振型有阻尼振動的自振頻率。運用式（15）可求出廣義坐標向量，把帶入式（9）可求出多自由度體系受迫振動的位移響應。

3阻尼比、頻比系數(shù)及動力系數(shù)對位移響應的影響[8]

因多自由體系的阻尼比、頻比系數(shù)及動力系數(shù)對位移響應的影響過于復雜，本篇只研究單自由度體系的相關(guān)問題，但二者受迫振動位移響應機理相同。

根據(jù)荷載疊加理論，一般動荷載P（t）可以由若干簡諧荷載疊加而成。故此，可做如下假設

顯然，式（22）的前兩項會逐漸衰減，最有只剩下第三項穩(wěn)態(tài)位移。若只考慮第k個簡諧荷載的影響，并對第三項作變形，得第k個簡諧荷載產(chǎn)生的位移響應為

接近自振頻率? ? ?時，結(jié)構(gòu)的動力系數(shù)由阻尼比決定。一般結(jié)構(gòu)的阻尼比? ? 在0.01～0.1之間，發(fā)生共振時動力系數(shù) β? 在5～50之間?？梢姡诠こ讨胁扇”苊夤舱竦拇胧┯葹橹匾?。此外結(jié)構(gòu)的最大動力系數(shù)并非共振時的動力系數(shù)。由高等數(shù)學知，當頻比系數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? 時，最大動力系數(shù)

4結(jié)論

（1）對多自由度體系有阻尼受迫振動的微分方程而言，使用位移直解法異常復雜，甚至不可行;但使用振型疊加法卻可大大簡化計算，因為振型疊加法的原理是把自由度為n的多自由度體系的動力的計算問題轉(zhuǎn)換成n個單自由度體系的動力計算問題。

（2）當頻比系數(shù)趨于0時，荷載頻率相對自振頻率很小，體系振動地很慢，動荷載可以看作靜荷載處理。此時慣性力和阻尼力很小，動荷載主要與彈性恢復力平衡，且動荷載與位移同步。

（3）當頻比系數(shù)趨于∞時，荷載頻率相對自振頻率很大，體系振動得很塊。此時阻尼力和彈性恢復力很小，動荷載主要與慣性力平衡，且動荷載與位移反向，減弱振動，即高頻振動引起的位移響應可以忽略。

（4）當頻比系數(shù)趨于1時，荷載頻率接近自振頻率，發(fā)生在共振現(xiàn)象。此時阻尼比的微弱變化對動力系數(shù)影響很大，但結(jié)構(gòu)的最大動力系數(shù)并非共振時的動力系數(shù)。

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基金項目：國家自然科學基金（名稱：城市地鐵隧道掘進精確爆破振動傳播機理及其控制? 編號：51664007）