基于擬可積Hamilton系統(tǒng)的鐵路橋梁動(dòng)力可靠度計(jì)算研究

赫中營， 王根會(huì)， 葉愛君， 夏修身

（1.河南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，河南 開封 475004；2.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；3.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）

鐵路橋梁在服役期間，將不可避免的受到諸如地震、風(fēng)和車輛等動(dòng)力荷載的作用，動(dòng)力破壞是其最主要的失效模式之一［1］。由于鐵路橋梁在鐵路運(yùn)輸網(wǎng)中具有特殊地位，其動(dòng)力破壞將造成交通運(yùn)輸中斷，甚至車毀人亡。自1997年以來，我國鐵路運(yùn)輸大幅度提速增載，使一些既有鐵路橋梁出現(xiàn)振幅和頻率超限問題，橋梁的動(dòng)力工作性能面臨著巨大的挑戰(zhàn)，迫切需要對(duì)鐵路橋梁動(dòng)力可靠性的分析計(jì)算［2］。因此，研究鐵路橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性將具有十分重要的理論價(jià)值和經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益。

結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性理論是用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和概率論相結(jié)合的方法研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)力隨機(jī)荷載作用下的可靠性及相應(yīng)的設(shè)計(jì)方法。經(jīng)過七十余年的發(fā)展，國內(nèi)外結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性理論取得了重要成果，并逐步得到完善，其分析方法主要分為以下三類［3］：（1）基于隨機(jī)振動(dòng)理論解析解的動(dòng)力可靠度計(jì)算方法；（2）基于Montecarlo法的動(dòng)力可靠度計(jì)算方法；（3）將動(dòng)力可靠度問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)可靠度問題的計(jì)算方法。另外，近年來同濟(jì)大學(xué)李杰和陳建兵［4－5］基于概率密度演化理論，建立了結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析和動(dòng)力可靠度分析的廣義概率密度演化方程，可求解線性、非線性及隨機(jī)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)結(jié)構(gòu)反應(yīng)及動(dòng)力可靠度，在結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度分析中也得到了一定應(yīng)用。

由于動(dòng)力可靠性分析計(jì)算的復(fù)雜性，對(duì)于第一類方法，即使對(duì)簡(jiǎn)單的首超失效問題，只有Rice S O［6－7］于1945年提出精確解，那也是針對(duì)一定前提下的簡(jiǎn)單情況。我國工程院院士朱位秋先生等［8－11］提出的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)與控制的哈密頓理論體系（Hamiltonian system），為研究多自由度體系哈密頓系統(tǒng)的首超問題、估計(jì)首超概率及平均首超時(shí)間提供了新的思路和解決方法。本文基于哈密頓理論體系中的擬可積Hamilton系統(tǒng)［12－15］，推導(dǎo)出了鐵路橋梁的等價(jià)擬可積 Hamilton方程，確定了其在列車荷載作用下的條件可靠度函數(shù)及其初始條件和邊界條件，并將理論推導(dǎo)公式應(yīng)用于一座實(shí)際橋梁，對(duì)其動(dòng)力可靠度進(jìn)行分析，驗(yàn)證了該方法的合理性和適用性。

1 既有鐵路橋梁的等價(jià)擬可積Hamilton系統(tǒng)

所謂等價(jià)擬可積Hamilton系統(tǒng)，是指狀態(tài)參數(shù)（廣義動(dòng)量、廣義速度等）與相應(yīng) Hamilton函數(shù)（可積）之間滿足一定關(guān)系的物理力學(xué)體系。鐵路橋梁的廣義動(dòng)量、廣義速度與其相應(yīng)可積Hamilton函數(shù)之間滿足的這種物理力學(xué)關(guān)系（方程）即可稱為其等價(jià)擬可積Hamilton系統(tǒng)。

在外荷載激勵(lì)下，鐵路橋梁結(jié)構(gòu)體系的振動(dòng)方程可寫為［16］

式中：M、C、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；s、s和¨s分別為各自由度的位移、速度和加速度列向量，是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)；f（t）為外部激勵(lì)荷載。

為便于能量分析，將結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力學(xué)力向量分為保守的和非保守的分量，則式（1）可改寫為

式（2）等式左邊為結(jié)構(gòu)慣性力和結(jié)構(gòu)抗力組成的保守力向量，等式右端為外作用力和阻尼力組成的非保守力向量。

對(duì)于空間結(jié)構(gòu)，基于有限元法的能量表達(dá)式中未知參數(shù)個(gè)數(shù)為結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的6倍，這給計(jì)算帶來很大的困難［17］。因此，可考慮利用振型疊加方法表示鐵路混凝土橋梁的振動(dòng)位移，則其能量表達(dá)式將得到極大簡(jiǎn)化。

對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程的解s，可通過結(jié)構(gòu)的振型表示為

式中：φi（i＝1，…，n）為結(jié)構(gòu)振型，可通過特征方程求得；qi（i＝1，…，n）為振型空間中的坐標(biāo)值，稱為廣義坐標(biāo)或結(jié)構(gòu)的正則坐標(biāo)，表示第i振型（φi）的貢獻(xiàn)。

如果假定阻尼矩陣也適用正交條件，將式（3）代入到式（2），并前乘第i個(gè)振型向量的轉(zhuǎn)置φTi，可得

式中：i＝1，…，n；Mi＝分別為結(jié)構(gòu)的廣義質(zhì)量、廣義阻尼和廣義剛度。

對(duì)于線性n自由度離散結(jié)構(gòu)體系，φi為n維列向量，其動(dòng)能和勢(shì)能可分別表示為

如果體系的各振型對(duì)應(yīng)的頻率都不相等，則任意兩個(gè)不同的振型，質(zhì)量和剛度適用正交條件，式（5）簡(jiǎn)化為

對(duì)于連續(xù)結(jié)構(gòu)體系，i可表示為結(jié)構(gòu)軸向坐標(biāo)的函數(shù)，質(zhì)量和剛度也都是結(jié)構(gòu)軸向坐標(biāo)的函數(shù)，線性體系的動(dòng)能和勢(shì)能可表示為

如果體系的各振型對(duì)應(yīng)的頻率都不相等，式（7）簡(jiǎn)化為

該橋梁結(jié)構(gòu)體系對(duì)應(yīng)的Lagrange函數(shù)為

式中：U＝為非保守力所做的功；cij為阻尼系數(shù)。qi與qi分別為廣義位移（坐標(biāo)）與廣義速度，廣義動(dòng)量可定義為

式（10）稱為由Lagrange函數(shù)L生成的Legendre變換，式（10）為非奇異變換、可逆，則其逆變換也是Legendre變換。據(jù)Legendre變換的逆變換定理［18］，式（10）之逆變換的生成函數(shù)為

則結(jié)構(gòu)以qi，pi為基本變量的Hamilton方程為

以記隨機(jī)激勵(lì)的耗散的Hamilton系統(tǒng)的耗散力。以＝fik（q，p）ζk（t）記耗散的Hamilton系統(tǒng)的激勵(lì)力，可根據(jù)Hamilton原理和Legendre變換導(dǎo)出Gauss白噪聲激勵(lì)下n自由度耗散Hamilton系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程形為

式中：i，j＝1，2，…，n；k＝1，2，…，m，珨H＝珨H（q，p）為未擾Hamilton系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)；ζk（t）為激勵(lì)荷載強(qiáng)度的Gauss白噪聲。

顯然，對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)等耗散的Hamilton系統(tǒng)，fik不依賴于p，Wong－Zakai修正項(xiàng)為0，從而珨H＝H，則式（14）等價(jià)的Ito隨機(jī)微分方程為

式中：Bk（t）為第k維標(biāo)準(zhǔn) Wiener過程。

設(shè)阻尼力與隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度同為ε階小量，即

式中：ε 為一正小參數(shù)；c′ij、σ′ik為有限量。

式（15）可改寫成

式（17）稱為擬 Hamilton系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)于H（q，p）為可積函數(shù)的系統(tǒng)稱為擬可積Hamilton系統(tǒng)。

在物理上，只要振動(dòng)一周，隨機(jī)激勵(lì)輸入系統(tǒng)的能量與阻尼消耗的能量之差同系統(tǒng)本身能量相比為小，即可視為擬Hamilton系統(tǒng)。

根據(jù)以上的等價(jià)擬可積Hamilton系統(tǒng)理論，鐵路混凝土橋梁系統(tǒng)的廣義動(dòng)量、廣義速度、Hamilton函數(shù)及擬Hamilton方程為

式（18）～式（21）的位移、質(zhì)量、剛度和阻尼分別為廣義振型坐標(biāo)、廣義質(zhì)量、廣義剛度和廣義阻尼。

進(jìn)一步，將式（4）兩邊同除以第i振型廣義質(zhì)量Mi，則可得

式中：fi（t）＝為第i振型阻尼比；ωi為第i振型相應(yīng)的頻率。

式（22）所示的振動(dòng)結(jié)構(gòu)體系，宏觀上可視為各自由度互不耦合的n維單位質(zhì)量振動(dòng)體系，該體系對(duì)應(yīng)的廣義質(zhì)量、廣義阻尼和廣義剛度可分別視為

則其對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量、廣義速度、Hamilton函數(shù)及擬Hamilton方程為

式中：i＝j(luò)＝1，2，…，n；k＝1，2，…，m；κi＝fik（q，p）／mi（i＝1，2，…，m）定義為激勵(lì)荷載的第i維廣義質(zhì)量。

由式（26）可看出，該系統(tǒng)相應(yīng)的Hamilton函數(shù)為可積函數(shù)，則該系統(tǒng)為擬可積Hamilton系統(tǒng)。

2 既有鐵路混凝土橋梁動(dòng)力可靠性分析

一般的橋梁結(jié)構(gòu)體系均為連續(xù)結(jié)構(gòu)體系，其各階振型可用連續(xù)函數(shù)表示，取少數(shù)幾個(gè)起控制作用的振型能準(zhǔn)確的反應(yīng)其振動(dòng)特性，這就極大的減少了計(jì)算Hamilton系統(tǒng)時(shí)的位移和動(dòng)量參數(shù)。

此處僅考慮鐵路混凝土橋梁的橫向位移和扭轉(zhuǎn)位移，并以隨機(jī)量（Q，P）代替（q，p），則根據(jù)式（27），其運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中：下標(biāo)1表示橫向位移各參數(shù)；下標(biāo)2表示扭轉(zhuǎn)位移各參數(shù)；ζ1、ζ2分別表示橫向和扭轉(zhuǎn)激勵(lì)源，是強(qiáng)度為 2Di的 獨(dú) 立 高 斯 白 噪 聲；κi＝相應(yīng)的Hamilton函數(shù)為H＝H1＋H2，設(shè)ωi不滿足共振關(guān)系，按文獻(xiàn)［19］中的隨機(jī)平均法，可得式（28）的平均Ito方程為［12］

式中（H1，H2）＝－2ξrωrHr＋κrDr；當(dāng)r＝s時(shí)，（H1，H2）＝2κrDrHr，當(dāng)r≠s時(shí)（H1，H2）＝0。根據(jù)Ito微分法則，其條件可靠性函數(shù)R（t滿足下列后向Kolmogorov方程［12］

初始條件為

設(shè)安全域邊界由Γc和Γ0組成，見圖1，即

圖1 安全域及其邊界

相應(yīng)定量邊界條件為

對(duì)于上述偏微分方程，可用有限差分法進(jìn)行數(shù)值求解［20］。只考慮在離散能量點(diǎn) H1i＝iΔH1（i＝0，1，…，N1）、H2j＝j(luò)ΔH2（i＝0，1，…，N2）和離散事件點(diǎn)的tn＝nΔt（n＝0，1，…）的R的值，H1i、H2j和tn將空間（H1，H2，t）化分成矩形網(wǎng)格，將R 的一階和二階導(dǎo)數(shù)用相鄰點(diǎn)的R值表示，代入后向Kolmogorov方程和邊界條件，就能由已知的初值求出任意點(diǎn)在任意時(shí)刻的R值。

3 工程算例

西安鐵路局管內(nèi)陽（平關(guān)）—安（康）線于60年代末“三線”建設(shè)時(shí)期修建，為單線Ⅰ級(jí)干線，電力牽引區(qū)段，全長351.566km，牽引定數(shù)4 000t，通行能力為37.5對(duì)／天。線路允許速度100km／h，全線共有橋梁351座／27 221延米；其中圬工橋347座／1 016孔（23.8m跨度預(yù)應(yīng)力圬工梁369孔，31.7m 跨度預(yù)應(yīng)力圬工梁255孔），這兩種跨度的預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土梁圖號(hào)分別為“大（65）138”、“叁標(biāo)外橋006A”、“豐70－1”、“豐70－2”、“叁標(biāo)橋2019”等?？缍?3.8m 的預(yù)應(yīng)力梁ANSYS模型及單片T梁的截面特性分別如圖2（a）和圖2（b）所示（31.7m 的預(yù)應(yīng)力梁模型及截面特性與23.8m梁相似）。

圖2 23.8m梁有限元模型及界面特性

3.1 計(jì)算參數(shù)的取值

從第2節(jié)的分析可看出，在計(jì)算橋梁的條件可靠性函數(shù)時(shí)，需要知道橋梁結(jié)構(gòu)的自振頻率、阻尼比、激勵(lì)強(qiáng)度等。對(duì)于陽安線混凝土橋梁，阻尼比取最大阻尼比ξ＝0.05［1］；激振源取文獻(xiàn)［1］中隨機(jī)模擬的82 km／h的貨車構(gòu)架加速度蛇形波，強(qiáng)度為D＝σp＝100 cm／s2，文獻(xiàn)［19］中已證明該隨機(jī)蛇行波為平穩(wěn)Gauss過程，此處進(jìn)一步假設(shè)其為Gauss白噪聲過程；一節(jié)貨車質(zhì)量取為80 000kg，每個(gè)構(gòu)架對(duì)應(yīng)的質(zhì)量取為m車＝40 000kg［21］；參考文獻(xiàn)［1］的研究成果，橋梁橫向和扭轉(zhuǎn)的一階振型函數(shù)取為i（x）＝sinπx／L，m1＝ρAx，m2＝h3m1／3，ρ＝2.6×103kg／m3為混凝土密度，A＝1.618m2為 T 梁截面，h＝2.46m 為 T 梁高度。用有限元計(jì)算軟件ANSYS計(jì)算出23.8m梁的一階橫向和扭轉(zhuǎn)頻率分別為4.543Hz和12.277Hz，31.7m梁的一階橫向和扭轉(zhuǎn)頻率分別為3.036Hz和8.905Hz［17］。用中心有限差分法（邊界處用向前差分法）計(jì)算可靠性函數(shù)和可靠性概論密度函數(shù)時(shí)，參照文獻(xiàn)［20］中的精度要求并經(jīng)必要試算，取N1＝N2＝N＝51（即將H1、H2等分為51份），dt＝0.004（即計(jì)算時(shí)間間隔為0.004s）。對(duì)于橋梁的臨界破壞能量Hc，可根據(jù)規(guī)范規(guī)定的振幅界限、列車脫軌能量界限或橋梁結(jié)構(gòu)破壞能量等不同的依據(jù)和計(jì)算需要確定。因目前對(duì)鐵路橋梁的各種臨界能量并無明確的取值和計(jì)算規(guī)定，此處所取的臨界能量僅為分析比較之用。

3.2 計(jì)算結(jié)果分析

用MATLAB編寫程序計(jì)算M 文件JS1.m按式（30）求解條件可靠性函數(shù)R（t）和轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)p（t）［22］。23.8m梁的計(jì)算結(jié)果如圖3（a）～3（h）所示。31.7m 梁可靠性函數(shù)R（t）、概率密度p（t）與23.8m梁相似，部分圖形如圖4（a）、4（b）所示。

從圖3、圖4中可以看出：

（1）橋梁初始能量越大，則橋梁的可靠性越低；

（2）橋梁的臨界能量Hc1、Hc2越大，則橋梁的可靠性越高，可靠性由Hc1、Hc2共同控制；

（3）橋梁的初始能量越大，則其概率密度的峰值越大，概率密度函數(shù)的分布越集中；

（4）橋梁的臨界能量Hc1、Hc2越大，則其概率密度函數(shù)的峰值越小，概率密度函數(shù)的分布越均勻。

實(shí)際情況中，在其他參數(shù)（剛度等）相同的情況下，橋梁的初始能量較大，則意味著列車過橋前，橋梁的變形或振動(dòng)較大，則列車過橋時(shí)，橋梁的破壞概率就較大，橋梁的可靠性較低；同樣，橋梁的臨界能量越大，意味著橋梁變形能力越強(qiáng)，橋梁的可靠性越高。

在相同條件下，H10＝H20＝0時(shí)23.8m 梁和31.7m梁的可靠性對(duì)比見圖5，兩者的可靠性差值見圖6。從圖5和圖6中可看出，在初始能量為零，臨界能量相等的情況下，31.7m梁比23.8m梁的可靠性大，這說明，在其他參數(shù)相同的條件下，31.7m梁比23.8m梁的變形能力強(qiáng)，這與結(jié)構(gòu)越柔變形能力越大的力學(xué)理論相符。

圖3 23.8m梁R(t)和p(t)計(jì)算圖

圖4 31.7m梁R(t)和p(t)計(jì)算圖

從以上分析可知，基于擬可積Hamilton系統(tǒng)的陽安線混凝土橋梁的動(dòng)力可靠性函數(shù)符合實(shí)際情況，說明這種計(jì)算方法是合理的。

圖5 相同條件下23.8m和31.7m梁R(t|Hc1=5,Hc2=10)對(duì)比圖(H10=0,H20=0)

圖6 相同條件下，23.8m和31.7m梁R(t|Hc1=5,Hc2=10)差值圖(H10=0,H20=0)

4 結(jié)論

本文通過對(duì)擬Hamilton系統(tǒng)理論的研究，基于振型疊加法建立了既有鐵路混凝土橋梁的等價(jià)擬可積Hamilton系統(tǒng)方程。通過對(duì)此系統(tǒng)方程的分析，得出了鐵路混凝土橋梁在Gauss白噪聲激勵(lì)下的條件概論可靠性函數(shù)和其定量邊界條件、初值條件，借助MATLAB軟件使得方程求解非常容易。工程算例分析結(jié)果表明，該方法對(duì)鐵路橋梁的動(dòng)力可靠性分析是合理的，分析結(jié)果和實(shí)際情況相符。

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