配額-交易機(jī)制下動(dòng)態(tài)批量生產(chǎn)和減排投資策略研究

黃 帝, 陳 劍, 周 泓

(1. 北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100044；2. 清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100084；3. 北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100191)

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配額-交易機(jī)制下動(dòng)態(tài)批量生產(chǎn)和減排投資策略研究

黃 帝1, 2, 陳 劍2, 周 泓3

(1. 北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100044；2. 清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100084；3. 北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100191)

隨著我國(guó)碳排放交易市場(chǎng)的建立和發(fā)展，在碳排放約束下逐步降低單位產(chǎn)出的碳排放水平成為企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)管理中的中長(zhǎng)期約束性目標(biāo)。本文在一個(gè)多周期決策模型中研究了配額-交易機(jī)制下企業(yè)的最優(yōu)動(dòng)態(tài)批量生產(chǎn)、碳排放權(quán)交易和減排投資聯(lián)合決策問(wèn)題。生產(chǎn)商在整個(gè)決策周期期初決定是否進(jìn)行減排投資以及投資規(guī)模，根據(jù)每個(gè)周期的生產(chǎn)計(jì)劃決定減排設(shè)備的運(yùn)行計(jì)劃。根據(jù)節(jié)能減排技術(shù)的特點(diǎn)，本文假設(shè)生產(chǎn)商運(yùn)行減排設(shè)備時(shí)不僅降低了產(chǎn)品的單位生產(chǎn)碳排放量，而且降低了產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本。本文基于廣義Benders分解法對(duì)模型進(jìn)行了最優(yōu)性分析，得到了最優(yōu)生產(chǎn)決策和最優(yōu)減排投資決策的一些基本性質(zhì)，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析了碳排放配額和碳排放權(quán)價(jià)格對(duì)生產(chǎn)商總成本、總排放以及減排投資決策的影響。本文的數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)：(1)當(dāng)碳交易市場(chǎng)上的碳排放權(quán)充足時(shí)，減少碳排放配額或改變碳排放配額的分配方式并不能影響生產(chǎn)商的碳排放水平；(2)碳排放權(quán)價(jià)格是影響生產(chǎn)商的碳排放水平和減排投資規(guī)模的關(guān)鍵因素；(3)隨著碳排放權(quán)價(jià)格的上升，即使擁有足夠的碳排放配額，生產(chǎn)商仍會(huì)不斷提高減排投資規(guī)模以獲得減排收益。研究結(jié)果對(duì)碳排放交易體系下生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行減排技術(shù)投資具有較強(qiáng)的管理啟示。

動(dòng)態(tài)批量；減排投資；配額-交易；廣義Benders分解

1 引言

近年來(lái)，環(huán)境保護(hù)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展之間的矛盾愈加突出。一方面，全球氣候變暖使人們認(rèn)識(shí)到經(jīng)濟(jì)、社會(huì)和環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展的重要性，以低能耗、低污染為理念的低碳經(jīng)濟(jì)成為人類(lèi)社會(huì)可持續(xù)發(fā)展的必然選擇。另一方面，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，全球能源需求仍在繼續(xù)增加。國(guó)際能源署(IEA)預(yù)測(cè)，全球能源需求量到2035年將至少增長(zhǎng)三分之一。工業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)的重要組成部分，是推動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的主要?jiǎng)恿?，也是能源消費(fèi)及二氧化碳等溫室氣體排放的主要領(lǐng)域。為實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)持續(xù)健康發(fā)展，降低工業(yè)生產(chǎn)中的二氧化碳排放量成為國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的長(zhǎng)期約束性指標(biāo)，也成為當(dāng)前學(xué)術(shù)研究的熱點(diǎn)。

碳排放規(guī)則是指國(guó)際社會(huì)為應(yīng)對(duì)全球氣候變暖給人類(lèi)生存和發(fā)展帶來(lái)的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)而采取的一系列控制二氧化碳等溫室氣體排放的政策措施。配額—交易機(jī)制作為一種二氧化碳排放總量控制手段，被中國(guó)、美國(guó)、澳大利亞和歐盟等國(guó)家和地區(qū)廣泛使用。它通過(guò)總量控制和市場(chǎng)調(diào)節(jié)相結(jié)合的手段，引導(dǎo)和鼓勵(lì)企業(yè)在節(jié)能減排技術(shù)和可再生能源領(lǐng)域進(jìn)行投資，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的總體減排。在碳排放權(quán)交易市場(chǎng)中，碳排放權(quán)被賦予特定的產(chǎn)權(quán)，可以在市場(chǎng)上進(jìn)行轉(zhuǎn)讓、交換等交易活動(dòng)，通過(guò)碳排放權(quán)價(jià)格的調(diào)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)環(huán)境資源的合理配置。1997年12月制定的國(guó)際公約《京都議定書(shū)》提出了旨在減排的三個(gè)靈活合作機(jī)制：聯(lián)合履約、清潔發(fā)展和碳排放權(quán)交易機(jī)制。此后，美國(guó)、澳大利亞、歐盟和中國(guó)等國(guó)家和地區(qū)都相繼建立起了碳排放權(quán)交易市場(chǎng)。以配額—交易機(jī)制為核心的歐洲碳排放權(quán)交易體系(EU-ETS)自2005年至今已運(yùn)行三個(gè)階段，在減少二氧化碳等溫室氣體排放方面取得了初步成效。我國(guó)自2012年以來(lái)在北京、天津、上海、重慶、深圳、廣東和湖北等七個(gè)省市逐步開(kāi)展碳排放交易試點(diǎn)工作。截止2014年6月19日，七個(gè)碳排放權(quán)交易試點(diǎn)省市已全部開(kāi)始實(shí)際交易。目前，廣東碳交易市場(chǎng)已發(fā)展成為僅次于歐盟、韓國(guó)的全球第三大碳交易市場(chǎng)。

碳排放規(guī)則的實(shí)施給企業(yè)帶來(lái)了諸多管理挑戰(zhàn)，逐步降低碳排放水平成為企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)管理中的中長(zhǎng)期約束性指標(biāo)。本文在一個(gè)多周期決策模型中研究配額—交易機(jī)制下企業(yè)的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃和減排計(jì)劃，分析減排投資成本、碳排放價(jià)格、產(chǎn)品需求等參數(shù)對(duì)企業(yè)生產(chǎn)和減排決策的影響，著力解決以下幾個(gè)企業(yè)運(yùn)營(yíng)管理中的關(guān)鍵問(wèn)題：(1) 企業(yè)何時(shí)投資減排設(shè)備？(2) 企業(yè)何時(shí)運(yùn)行減排設(shè)備？(3) 企業(yè)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃？這些都是在企業(yè)管理實(shí)踐中迫切需要解決，但目前又尚未進(jìn)行深入研究的管理問(wèn)題。對(duì)于這些問(wèn)題的研究無(wú)論是從理論層面還是從企業(yè)運(yùn)作層面都具有非常重要的意義

目前對(duì)于低碳背景下企業(yè)生產(chǎn)和減排投資問(wèn)題的研究主要集中在兩個(gè)方向。第一個(gè)研究方向是碳排放約束下的批量生產(chǎn)問(wèn)題研究。Hua Guowei等[1]研究了配額—交易機(jī)制下碳排放權(quán)交易價(jià)格和碳排放權(quán)配額對(duì)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)訂貨批量、總排放和總成本的影響。Benjaafar等[2]在動(dòng)態(tài)批量生產(chǎn)模型中研究了碳稅、配額—交易、配額—抵消等不同的碳政策下單個(gè)企業(yè)及供應(yīng)鏈的多周期生產(chǎn)庫(kù)存決策問(wèn)題。他們還通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析了碳排放權(quán)配額、碳政策、節(jié)能減排技術(shù)和供應(yīng)鏈聯(lián)合減排等因素對(duì)企業(yè)總排放和總成本的影響。Absi等[3]研究了動(dòng)態(tài)批量模型在周期性單位生產(chǎn)碳排放約束、累積周期單位生產(chǎn)碳排放約束、滾動(dòng)周期單位生產(chǎn)碳排放約束和全周期單位生產(chǎn)碳排放約束等約束條件下的算法時(shí)間復(fù)雜度。他們證明只有周期性單位生產(chǎn)碳排放約束下的動(dòng)態(tài)批量模型存在多項(xiàng)式時(shí)間算法。胡海菊和李勇建[4]利用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真工具對(duì)考慮再制造和產(chǎn)品需求可替代的動(dòng)態(tài)批量生產(chǎn)問(wèn)題進(jìn)行了建模分析。戴道明[5]研究了產(chǎn)品動(dòng)態(tài)定價(jià)與批量生產(chǎn)的聯(lián)合決策問(wèn)題，分析了不同碳政策情形下碳排放配額、碳排放交易價(jià)格和碳稅對(duì)企業(yè)利潤(rùn)和碳排放水平的影響。

第二個(gè)研究方向是企業(yè)碳減排投資決策問(wèn)題研究。王明喜等[6]指出，企業(yè)在生產(chǎn)環(huán)節(jié)可以通過(guò)減排設(shè)備投資、減排研發(fā)投資和能源投入結(jié)構(gòu)調(diào)整三個(gè)方面來(lái)降低其單位產(chǎn)值的二氧化碳排放量。趙道致和張學(xué)強(qiáng)[7]研究了考慮總成本和總排放量?jī)蓚€(gè)優(yōu)化目標(biāo)的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)和優(yōu)化問(wèn)題。他們假設(shè)生產(chǎn)商有多種可供選擇的技術(shù)手段，分別對(duì)應(yīng)不同的單位產(chǎn)品碳減排量和減排投資額。謝鑫鵬和趙道致[8-9]研究了單周期兩級(jí)供應(yīng)鏈的定價(jià)和減排決策，但他們?cè)谘芯恐屑僭O(shè)減排投資對(duì)產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本沒(méi)有影響。杜少甫等[10]認(rèn)為企業(yè)的碳減排來(lái)自于對(duì)排放物的凈化處理，他們分別研究了確定的凈化水平和可變的凈化水平下企業(yè)的生產(chǎn)決策和碳排放權(quán)交易決策。此后，杜少甫等[10]的工作被何大義和馬洪云[11]和侯玉梅等[12]分別擴(kuò)展到不確定性需求情形下和雙寡頭企業(yè)情形下。陳伯成和李英杰[13]對(duì)杜少甫等[10]的工作進(jìn)行了補(bǔ)充研究，豐富了對(duì)企業(yè)最優(yōu)決策結(jié)果的分析和參數(shù)敏感性分析。Islegen等[14]對(duì)碳捕捉與存儲(chǔ)技術(shù)的投資決策進(jìn)行了經(jīng)濟(jì)性分析。Jiang Yan等[15]對(duì)比分析了不同碳政策下企業(yè)的總利潤(rùn)、總排放量、減排投資額及投資時(shí)機(jī)等決策。駱瑞玲等[16]在一個(gè)兩級(jí)供應(yīng)鏈中研究了配額—交易機(jī)制下供應(yīng)鏈減排技術(shù)投資決策問(wèn)題，分析了不同決策情形下消費(fèi)者碳足跡敏感系數(shù)、碳排放配額和碳減排成本系數(shù)對(duì)供應(yīng)鏈碳排放總量、供應(yīng)鏈利潤(rùn)、碳減排投資水平等的影響。王明喜等[17]給出了碳排放約束下我國(guó)企業(yè)在生產(chǎn)技術(shù)、清潔能源和節(jié)能管理三條減排路徑上的最優(yōu)減排投資決策，分析了“強(qiáng)制減排”和“自愿減排”兩種措施下不同的碳排放配額分配方式和企業(yè)間碳交易模式對(duì)企業(yè)實(shí)施最優(yōu)減排投資的影響。陳伯成等[18]假設(shè)政府對(duì)企業(yè)排放凈化量進(jìn)行補(bǔ)貼、對(duì)企業(yè)排放量進(jìn)行懲罰，給出了不同碳政策情形下的最優(yōu)凈化水平和最優(yōu)產(chǎn)量。周艷菊等[19]在一個(gè)兩級(jí)供應(yīng)鏈中研究了減排成本分擔(dān)契約對(duì)產(chǎn)品訂貨量和銷(xiāo)售價(jià)格的影響，以及消費(fèi)者低碳認(rèn)知和低碳情感變化對(duì)最優(yōu)決策的影響。

本文與前述文獻(xiàn)的主要區(qū)別在于：1)研究碳排放約束下企業(yè)的多周期生產(chǎn)、碳排放交易和減排聯(lián)合決策問(wèn)題。而已有文獻(xiàn)或者只考慮碳排放約束下企業(yè)的多周期生產(chǎn)決策問(wèn)題[2-3,5]，或者只考慮單周期的生產(chǎn)和減排聯(lián)合決策問(wèn)題[10-13,16,18-19]，少有兩者兼顧。2)結(jié)合國(guó)內(nèi)實(shí)踐，主要研究企業(yè)的減排投資通過(guò)降低單位產(chǎn)出的耗能量來(lái)實(shí)現(xiàn)降低單位產(chǎn)出的碳排放量，即技術(shù)減排路徑[17]。而已有文獻(xiàn)認(rèn)為企業(yè)的減排投資僅僅降低單位碳排放量，不影響產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本(包含能耗成本)[8-13,16,18-19]。3)考慮企業(yè)在某一周期的減排投資會(huì)在后續(xù)周期發(fā)揮減排效果[17,20]。而大多數(shù)文獻(xiàn)在研究中假設(shè)企業(yè)的減排投資僅在當(dāng)前決策周期產(chǎn)生減排效果[10-13,16,18-19]。

鑒于此，本文在確定需求環(huán)境下研究多周期情形下的動(dòng)態(tài)批量生產(chǎn)、碳排放權(quán)交易和減排投資聯(lián)合決策問(wèn)題。生產(chǎn)商在整個(gè)決策周期期初決定是否進(jìn)行減排投資和投資規(guī)模，根據(jù)每個(gè)周期的生產(chǎn)計(jì)劃決定減排設(shè)備的運(yùn)行計(jì)劃。根據(jù)節(jié)能減排技術(shù)的特點(diǎn)，本文假設(shè)生產(chǎn)商運(yùn)行減排設(shè)備時(shí)不僅降低了產(chǎn)品的單位生產(chǎn)碳排放量，而且降低了產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本。本文與Benjaafar等[2]的研究不同之處在于，本文在模型中額外考慮了生產(chǎn)商的減排投資決策，而且基于廣義Benders分解得到了生產(chǎn)和減排投資決策的最優(yōu)性質(zhì)。分析發(fā)現(xiàn)，配額—交易機(jī)制下同時(shí)考慮碳排放權(quán)交易和減排投資時(shí)的最優(yōu)生產(chǎn)決策與經(jīng)典批量生產(chǎn)問(wèn)題的最優(yōu)決策相似，即若生產(chǎn)商在某個(gè)周期生產(chǎn)產(chǎn)品，則其生產(chǎn)量必定滿(mǎn)足前后若干個(gè)周期的總需求。此外，本文的數(shù)值實(shí)驗(yàn)還得到一些與Benjaafar等[2]的數(shù)值實(shí)驗(yàn)不同的觀察結(jié)果：(1)當(dāng)碳排放配額固定時(shí)，隨著碳價(jià)格的升高生產(chǎn)商的碳排放水平不斷下降，而總成本先增加后減少。(2)當(dāng)碳排放權(quán)價(jià)格固定時(shí)，生產(chǎn)商的減排投資規(guī)模不受碳排放配額的影響；當(dāng)碳排放配額固定時(shí)，生產(chǎn)商的減排投資規(guī)模隨碳排放權(quán)價(jià)格的增加不斷上升。(3)當(dāng)碳排放權(quán)價(jià)格與碳排放配額呈負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，隨著碳排放權(quán)價(jià)格的上升，生產(chǎn)商的碳排放水平不斷下降，而總成本先減少后增加。(4)碳排放配額按周期平均分配與一次性分配的結(jié)果相同，即碳排放權(quán)的初始分配方式并不影響生產(chǎn)商的決策。

2 問(wèn)題描述和建模

2.1 問(wèn)題描述和符號(hào)定義

在一個(gè)含有T個(gè)周期的決策問(wèn)題中，生產(chǎn)商在第t(t=1,…,T)個(gè)周期的市場(chǎng)需求為dt，固定生產(chǎn)成本為St。第t個(gè)周期的生產(chǎn)量為Qt，產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本為ct，yt為一個(gè)二進(jìn)制變量，第t個(gè)周期生產(chǎn)時(shí)為1，不生產(chǎn)時(shí)為0。第t個(gè)周期期末的庫(kù)存水平為It，單位庫(kù)存成本為ht。第t個(gè)周期期末的延期交貨量為Bt，延期交貨的單位成本為bt。

2.2 模型的數(shù)學(xué)表示

生產(chǎn)商的批量生產(chǎn)、碳排放權(quán)交易和減排投資聯(lián)合決策模型如下：

(1)

s.t.It-1+Qt+Bt-Bt-1-It=dt,t=1,…,T

(2)

(3)

(4)

yt∈{0,1},t=1,…,T

(5)

0≤xt≤min(Qt,a),t=1,…,T

(6)

(7)

Qt,It,Bt≥0，t=1,…,T

(8)

目標(biāo)函數(shù)(1)中第一項(xiàng)是生產(chǎn)啟動(dòng)成本；第二項(xiàng)是生產(chǎn)成本；第三項(xiàng)是延期交貨成本；第四項(xiàng)是庫(kù)存成本；第五項(xiàng)是碳排放權(quán)交易成本(負(fù)值表示收益)；第六項(xiàng)是減排設(shè)備運(yùn)行成本；第七項(xiàng)是運(yùn)行減排設(shè)備節(jié)約的生產(chǎn)成本；最后一項(xiàng)是減排設(shè)備投資成本。約束條件(2)是庫(kù)存平衡方程；約束條件(3)是整個(gè)決策周期內(nèi)的碳排放平衡約束；約束條件(4)表示產(chǎn)量Qt和yt之間的邏輯關(guān)系；約束條件(5) 表示yt是0-1變量；約束條件(6)表示每周期的減排處理量不得超過(guò)其投資規(guī)模和該周期的生產(chǎn)量；約束條件(7)和(8)是變量的非負(fù)性約束。

3 模型的廣義Benders分解

碳排放約束下的動(dòng)態(tài)批量模型及其擴(kuò)展模型一般都是NP難問(wèn)題[3]，一般的處理方法是將原問(wèn)題進(jìn)行分解，以降低求解規(guī)模和求解難度。魯奎等[21-22]提出了一種約束松弛的模型分解方法：對(duì)耦合約束條件進(jìn)行拉格朗日松弛，然后將原問(wèn)題直接拆分為兩個(gè)獨(dú)立的子問(wèn)題。但其缺點(diǎn)是被松弛的約束條件對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子被拆分到不同的子問(wèn)題中，影響了解的質(zhì)量。有鑒于此，本文使用廣義Benders分解法對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行模型分解，以分析最優(yōu)解的性質(zhì)。

由于碳排放權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格在整個(gè)決策周期內(nèi)是固定不變的，不存在投機(jī)套利的機(jī)會(huì)，因此生產(chǎn)商的最優(yōu)碳排放權(quán)交易數(shù)量應(yīng)等于其短缺或剩余的碳排放權(quán)數(shù)量。故約束條件(3)等價(jià)于：

(9)

將約束條件(9)代入到(1)中，可得

(10)

s.t. (2), (4), (5), (6), (8)

廣義Benders分解法[23]的基本思想是，對(duì)于給定的復(fù)雜變量的每一組值，容易找出剩下的優(yōu)化問(wèn)題(子問(wèn)題)的最優(yōu)解，在這些最優(yōu)解中使主問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值最大的那一組最優(yōu)解及其對(duì)應(yīng)的復(fù)雜變量值即為原問(wèn)題的最優(yōu)解。其中，復(fù)雜變量是指當(dāng)其給定時(shí)會(huì)使原問(wèn)題的優(yōu)化變得非常容易的那些變量。根據(jù)廣義Benders分解法，將問(wèn)題(10)分解為一個(gè)主問(wèn)題和一個(gè)子問(wèn)題，其中復(fù)雜變量定義為生產(chǎn)商的減排投資決策變量a。

(11)

s.t. (6)

其中，ZQ是下列子問(wèn)題的最優(yōu)值：

(12)

s.t. (2), (4), (5), (8)

子問(wèn)題(12)是一個(gè)考慮碳排放成本的允許缺貨的動(dòng)態(tài)批量生產(chǎn)模型，它是Wager和Whitin[24]提出的動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)批量訂貨模型的擴(kuò)展形式[25]，可以在O(T2)時(shí)間內(nèi)找出問(wèn)題的最優(yōu)解[26]。子問(wèn)題(12)以其最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值ZQ反饋到主問(wèn)題(11)的目標(biāo)函數(shù)中，以其最優(yōu)解Qt反饋到主問(wèn)題(11)的約束條件(6)中。

值得注意的是，子問(wèn)題(12)的最優(yōu)解不受復(fù)雜變量a取值的影響。因此，子問(wèn)題(12)的最優(yōu)解即為原問(wèn)題(1)的最優(yōu)解。子問(wèn)題(12)的目標(biāo)函數(shù)是線(xiàn)性的，約束條件(2), (4), (5), (8)組成的可行域是封閉的凸集，所以其最優(yōu)解必在該凸集的頂點(diǎn)處達(dá)到。

定理1 子問(wèn)題(12)的最優(yōu)解滿(mǎn)足如下性質(zhì)：

(1)It-1Qt=It-1Bt=ItBt=QtBt=0,t=1,…,T;

(2)同樣使用反證法：若最優(yōu)解不滿(mǎn)足(2)，易知其必定不滿(mǎn)足(1)，則其不是最優(yōu)解。

證畢。

定理1說(shuō)明，生產(chǎn)商的最優(yōu)生產(chǎn)策略應(yīng)該遵循以下原則：

(1) 庫(kù)存水平為0時(shí)才進(jìn)行生產(chǎn)；

(2)有庫(kù)存時(shí)不允許缺貨；

(3) 若在某個(gè)周期進(jìn)行生產(chǎn)，則該周期不應(yīng)存在缺貨，即產(chǎn)量至少應(yīng)該滿(mǎn)足當(dāng)期需求和該周期之前的所有缺貨；

(4) 一次生產(chǎn)的產(chǎn)量應(yīng)該等于該周期前后若干個(gè)周期的總需求。

定義1 如果Qt>0，則稱(chēng)周期t為生產(chǎn)周期；如果It>0，則稱(chēng)周期t為庫(kù)存周期；如果Bt>0，則稱(chēng)周期t為缺貨周期。特別地，如果It=0且Bt=0，則稱(chēng)周期t為再生周期。

在定理1給出的最優(yōu)生產(chǎn)策略中，任意兩個(gè)連續(xù)的再生周期之間存在且僅存在一個(gè)生產(chǎn)周期以及若干個(gè)庫(kù)存周期和缺貨周期。由此，可以給出子問(wèn)題(12)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃遞推公式[27]：

(13)

其中，E(j)表示從周期1到周期j的最小總成本，周期i和j表示兩個(gè)連續(xù)的再生周期(i

一般來(lái)說(shuō)，生產(chǎn)商獲得碳排放權(quán)的來(lái)源有三種方式：政府分配配額、碳排放權(quán)市場(chǎng)交易和生產(chǎn)商投資減排技術(shù)[8,10,11,12]。其中，碳排放權(quán)配額是由政府管理部門(mén)分配的外生變量，其它兩項(xiàng)是由生產(chǎn)商決定的決策變量。當(dāng)問(wèn)題(1)的最優(yōu)生產(chǎn)決策變量由子問(wèn)題(12)確定后，主問(wèn)題(11)中生產(chǎn)商的最優(yōu)減排投資和運(yùn)行決策滿(mǎn)足如下性質(zhì)：

生產(chǎn)商在某個(gè)決策周期內(nèi)進(jìn)行減排設(shè)備投資決策時(shí)，需要在減排投資和運(yùn)行總成本與減排總收益之間進(jìn)行權(quán)衡。其中，減排投資和運(yùn)行總成本包括減排投資成本和每個(gè)周期的減排設(shè)備運(yùn)行成本，減排總收益包括每個(gè)周期運(yùn)行減排設(shè)備節(jié)約的碳排放成本和能耗成本。定理3的管理意義是，當(dāng)減排投資的邊際收益小于邊際成本時(shí)，生產(chǎn)商不進(jìn)行減排投資。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析

為了分析配額—交易機(jī)制下碳排放權(quán)價(jià)格pc和碳排放權(quán)配額C對(duì)企業(yè)生產(chǎn)和減排投資決策的影響，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中分別對(duì)其取不同的值，其中pc={10, 15, 20, 25, 30, 35},C={9000, 9500, 10000, 10500, 11000, 11500}。下列數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果均通過(guò)對(duì)隨機(jī)生成的25組需求數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算并求其平均值得到。

圖1 碳排放配額對(duì)總成本和碳排放量的影響

(1)固定碳排放權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格pc=10，逐漸變化碳排放權(quán)配額C發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)商的碳排放水平不受碳排放配額的影響，而總成本隨著碳排放權(quán)配額的減少不斷上升(圖1)。這是因?yàn)閺?10)中可以看出， 碳排放權(quán)配額C不影響生產(chǎn)商的決策， 與生產(chǎn)商的總成本之間是遞減關(guān)系。這個(gè)結(jié)果說(shuō)明當(dāng)碳交易市場(chǎng)上的碳排放權(quán)充足時(shí)，減少碳排放配額并不能降低生產(chǎn)商的碳排放水平。

圖2 碳價(jià)格對(duì)總成本和碳排放量的影響

(2)固定碳排放配額C=10000，逐漸變化碳排放權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格pc發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)商的碳排放水平隨著碳排放權(quán)價(jià)格的增加不斷下降，而總成本隨著碳排放價(jià)格的增加先增加后減少(圖2)。這是因?yàn)殡S著碳排放權(quán)價(jià)格的上升，生產(chǎn)商的碳排放水平不斷下降，減排投資規(guī)模不斷上升(表2)，生產(chǎn)商由碳排放權(quán)不足(支付碳排放權(quán)買(mǎi)入成本)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)樘寂欧艡?quán)剩余(賣(mài)出碳排放權(quán)獲得收益)。從圖2中可以看出，當(dāng)碳排放權(quán)價(jià)格大于15時(shí)，生產(chǎn)商的總成本和碳排放水平隨著碳價(jià)格的升高同時(shí)降低。

(3) 當(dāng)碳排放權(quán)價(jià)格固定時(shí)，生產(chǎn)商的減排投資規(guī)模不受碳排放配額的影響(表1)；當(dāng)碳排放配額固定時(shí)，生產(chǎn)商的減排投資規(guī)模隨碳排放權(quán)價(jià)格的增加不斷上升(表2)。表1-2給出了兩種情況下生產(chǎn)商的實(shí)際生產(chǎn)量，減排處理量和最大減排處理能力的統(tǒng)計(jì)平均值。從表1可以看出，約96.4%的生產(chǎn)量經(jīng)過(guò)了減排處理，但同時(shí)約6.4%的減排能力被閑置。從表2可以看出，雖然在pc=20時(shí)生產(chǎn)商的減排投資規(guī)模已基本實(shí)現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)量的100%減排處理，但是隨著碳價(jià)格的增加，生產(chǎn)商的減排投資規(guī)模仍在繼續(xù)增加，使得減排能力閑置率由5.9%增加至8.4%。這說(shuō)明過(guò)低的碳排放權(quán)價(jià)格會(huì)抑制減排投資，而過(guò)高的碳排放權(quán)價(jià)格則會(huì)引起減排投資過(guò)度，減排能力閑置。

表1 不同碳排放配額下的實(shí)際生產(chǎn)量，減排處理量和最大減排處理能力(統(tǒng)計(jì)平均值)

注：“實(shí)際生產(chǎn)量”指整個(gè)決策周期內(nèi)生產(chǎn)商累計(jì)生產(chǎn)的數(shù)量，它等于總需求量；“減排處理量”指整個(gè)決策周期內(nèi)減排設(shè)備累計(jì)運(yùn)行處理的數(shù)量；“最大減排處理能力”指減排設(shè)備滿(mǎn)負(fù)荷運(yùn)行時(shí)處理的數(shù)量，它等于減排投資規(guī)模乘以生產(chǎn)周期個(gè)數(shù)。

表2 不同碳排放權(quán)價(jià)格下的實(shí)際生產(chǎn)量，減排處理量和最大減排處理能力(統(tǒng)計(jì)平均值)

注：“實(shí)際生產(chǎn)量”， “減排處理量”和“最大減排處理能力”的定義同表1。

(4) 當(dāng)碳排放權(quán)價(jià)格與碳排放配額呈負(fù)相關(guān)關(guān)系(如pc=125-0.009C)時(shí)，生產(chǎn)商的碳排放水平隨著碳排放權(quán)價(jià)格的增加不斷下降(圖3)，生產(chǎn)商的減排投資規(guī)模隨著碳排放權(quán)價(jià)格的增加不斷上升(參見(jiàn)表2)。生產(chǎn)商的總成本隨著碳排放權(quán)價(jià)格的增加先減少后增加(圖3)。從圖3中可以看出，當(dāng)碳排放權(quán)價(jià)格小于20時(shí)，生產(chǎn)商的總成本和碳排放水平隨著碳價(jià)格的升高同時(shí)降低。將pc=125-0.009C代入(10)中可以看出，這是因?yàn)樯a(chǎn)商的總成本函數(shù)(14)中最后一項(xiàng)是關(guān)于pc的凸二次函數(shù)：

(14)

s.t. (2), (4), (5), (6), (8)

圖3 碳價(jià)格與碳配額負(fù)相關(guān)時(shí)碳價(jià)格對(duì)總成本和碳排放量的影響

(5)當(dāng)碳排放配額按周期平均分配給生產(chǎn)商時(shí)，與一次性分配碳排放配額的結(jié)果相同，生產(chǎn)商的碳排放水平和減排投資規(guī)模不受碳排放配額的影響(參見(jiàn)圖1)，而總成本隨著碳排放權(quán)配額的減少而不斷上升(參見(jiàn)表1)。

假設(shè)生產(chǎn)商每個(gè)周期得到CT的碳排放配額，則問(wèn)題(1)中的約束條件(3)調(diào)整為

(15)

同樣，生產(chǎn)商每周期的最優(yōu)碳排放權(quán)交易數(shù)量應(yīng)等于其短缺或剩余的碳排放權(quán)數(shù)量。故約束條件(15)等價(jià)于：

(16)

代入到(1)中，生產(chǎn)商的總成本函數(shù)為：

(17)

s.t. (2), (4), (5), (6), (8)

從(17)中可以看出，碳排放權(quán)的周期配額CT同樣不影響生產(chǎn)商的決策。也就是說(shuō)，當(dāng)存在穩(wěn)定的碳交易市場(chǎng)時(shí)，碳排放權(quán)配額的分配方式并不影響生產(chǎn)商的決策。

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了一個(gè)多周期動(dòng)態(tài)需求下企業(yè)生產(chǎn)和減排投資聯(lián)合優(yōu)化決策問(wèn)題，提出了一個(gè)考慮碳排放總量約束、碳排放交易和減排投資的動(dòng)態(tài)批量?jī)?yōu)化模型?；趶V義Benders分解法對(duì)模型進(jìn)行了分解分析，得到了最優(yōu)生產(chǎn)決策和最優(yōu)減排投資決策的一些性質(zhì)，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析了碳排放配額和碳排放權(quán)價(jià)格對(duì)生產(chǎn)商總成本和總排放以及減排投資決策的影響。本文的研究結(jié)果揭示了配額—交易機(jī)制的幾個(gè)特點(diǎn)：(1)當(dāng)碳交易市場(chǎng)上的碳排放權(quán)充足時(shí)，減少碳排放配額或改變碳排放配額的分配方式并不能影響生產(chǎn)商的碳排放水平；(2)碳排放權(quán)價(jià)格是影響生產(chǎn)商的碳排放水平和減排投資規(guī)模的關(guān)鍵因素；(3)隨著碳排放權(quán)價(jià)格的上升，即使擁有足夠的碳排放配額，生產(chǎn)商仍會(huì)不斷提高減排投資規(guī)模以獲得減排收益。因此，對(duì)于給定的碳排放配額，總存在一個(gè)碳排放權(quán)價(jià)格“拐點(diǎn)”，在此拐點(diǎn)價(jià)格水平之上提高碳排放權(quán)價(jià)格可以同時(shí)降低生產(chǎn)商總成本和碳排放水平。(4)若減少企業(yè)的碳排放配額會(huì)引起碳排放權(quán)價(jià)格的上漲，則企業(yè)從增加減排投資規(guī)模中獲得的減排收益最終會(huì)被迅速增加的碳排放成本所抵消。因此也存在一個(gè)碳排放權(quán)價(jià)格“拐點(diǎn)”， 在此拐點(diǎn)價(jià)格水平之下提高碳排放權(quán)價(jià)格可以同時(shí)降低生產(chǎn)商總成本和碳排放水平。這些都是在已有文獻(xiàn)中尚未涉及，但又對(duì)配額—交易機(jī)制的應(yīng)用實(shí)踐具有重要意義的結(jié)論。

[1] Hua Guowei, Cheng T C E, Wang Shouyang. Managing carbon footprints in inventory management[J]. International Journal of Production Economics, 2011, 132(2): 178-185.

[2] Benjaafar S, Li Yanzhi, Daskin M S. Carbon footprint and the management of supply chains: Insights from simple models[J]. IEEE transactions on automation science and engineering, 2013, 10(1): 99-116.

[3] Absi N, Dauzère-Pérès S, Kedad-Sidhoum S, et al. Lot sizing with carbon emission constraints[J]. European Journal of Operational Research, 2013, 227(1): 55-61.

[4] 胡海菊, 李勇建. 考慮再制造和產(chǎn)品需求可替代的短生命周期產(chǎn)品動(dòng)態(tài)批量生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2007, (12): 76-84.

[5] 戴道明.碳排放約束下動(dòng)態(tài)定價(jià)與批量的聯(lián)合決策[J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 36(8): 996-1001.

[6] 王明喜, 王明榮, 汪壽陽(yáng), 等. 最優(yōu)減排策略及其實(shí)施的理論分析[J]. 管理評(píng)論, 2010, 22(6): 42-47.

[7] 趙道致, 張學(xué)強(qiáng). 面向碳減排投資優(yōu)化的低碳供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)及優(yōu)化研究[J]. 物流技術(shù), 2013, 32(3): 215-218.

[8] 謝鑫鵬, 趙道致. 基于CDM的兩級(jí)低碳供應(yīng)鏈企業(yè)產(chǎn)品定價(jià)與減排決策機(jī)制研究[J]. 軟科學(xué), 2013, 27(5): 80-85.

[9] 謝鑫鵬, 趙道致. 低碳供應(yīng)鏈企業(yè)減排合作策略研究[J]. 管理科學(xué), 2013, 26(3): 108-119.

[10] 杜少甫, 董駿峰, 梁樑, 等. 考慮排放許可與交易的生產(chǎn)優(yōu)化[J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2009, 17(3): 81-86.

[11] 何大義, 馬洪云. 碳排放約束下企業(yè)生產(chǎn)與存儲(chǔ)策略研究[J]. 資源與產(chǎn)業(yè), 2011, 13(2): 63-68.

[12] 侯玉梅, 潘登, 梁聰智. 碳排放交易下雙寡頭企業(yè)生產(chǎn)與減排研究[J]. 商業(yè)研究，2013, 55(1): 176-182.

[13] 陳伯成，李英杰.“考慮排放許可交易的生產(chǎn)優(yōu)化”的補(bǔ)充研究[J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2014, 22(9):141-148.

[14] Islegen O, Reichelstein S J. Carbon capture by fossil fuel power plants: An economic analysis[J]. Management Science, 2011, 57(1): 21-39.

[15] Jiang Yan, Klabjan D. Optimal emissions reduction investment under green house gas emissions regulations[R]. Working paper, Northwestern University, 2012.

[16] 駱瑞玲，范體軍，夏海洋. 碳排放交易政策下供應(yīng)鏈碳減排技術(shù)投資的博弈分析[J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2014, 22(11): 44-53.

[17] 王明喜，鮑勤，湯鈴，等. 碳排放約束下的企業(yè)最優(yōu)減排投資行為[J]. 管理科學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 18(6): 41-57.

[18] 陳伯成，李英杰，閆學(xué)為. 補(bǔ)貼及懲罰模式下的碳排放許可交易生產(chǎn)優(yōu)化[J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2014, 22(SI): 774-781.

[19] 周艷菊，黃雨晴，陳曉紅，等. 促進(jìn)低碳產(chǎn)品需求的供應(yīng)鏈減排成本分擔(dān)模型[J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2015, 23(7): 85-93.

[20] Vogt-Schilb A, Meunier G, Hallegatte S. Should marginal abatement costs differ across sectors: The effect of low-carbon capital accumulation[A]. Working Paper, World Bank, 2013.

[21] 魯奎, 楊昌輝, 戴道明. 能力受限批量問(wèn)題的啟發(fā)式算法與CPLEX仿真優(yōu)化[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2008, 20(3): 6365-6371.

[22] 魯奎, 楊昌輝, 戴道明. 運(yùn)輸能力受限與費(fèi)用時(shí)變批量問(wèn)題的拉格朗日松弛啟發(fā)式算法[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2008,(10): 47-52.

[23] Geoffrion A M. Generalized benders decomposition[J]. Journal of Optimization Theory and Application. 1972, 10(4):237-260.

[24] Wagner H M, Whitin T M. Dynamic version of the economic lot size model[J]. Management Science, 1958, 5(1): 89-96.

[25] Brahimi N, Dauzère-Pérès S, Najid N M, et al. Single item lot sizing problems[J]. European Journal of Operational Research, 2006, 168(1): 1-16.

[26] Aggarwal A, Park J K. Improved algorithms for economic lot size problem[J]. Operations Research, 1993, 41(3):549-571.

[27] Gade D, Kücükyavuz S. Formulations for dynamic lot sizing with service levels[J]. Naval Research Logistics, 2013, 60(2):87-101.

Optimal Production and Emissions Reduction Investment Policies in a Dynamic Lot Sizing Model Under Cap-and-trade

HUANG Di1,2, CHEN Jian2, ZHOU Hong3

(1.School of Economics and Management, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China; 2.School of Economics and Management, Tsinghua University, Beijing 100084, China; 3.School of Economics and Management, Beihang University, Beijing 100191, China)

With the establishment and development of China’s emissions trading market, the reduction of carbon emissions intensity has become a medium and long term mandatory target in companies’ production operations management. A dynamic lot sizing model is proposed to investigate the optimal production, emissions trading and abatement investment decisions of a manufacturer under cap-and-trade. At the beginning of the planning horizon, the manufacturer determines the optimal abatement investment decisions, including the timing of investment in an abatement technology and the optimal abatement capacity. In each period, the manufacturer decides the optimal emission abatement size according to the production planning. It is assumed that the abatement technology can reduce both carbon emissions and energy consumption in the production process. Based on the generalized Benders decomposition approach, the dynamic model is analyzed and some properties of the optimal solution are derived. Numerical experiments are conducted to examine the effects of emission cap and emission allowance price on the manufacturer’s total cost, total emissions level, and the optimal abatement investment decisions. It is found that: (1) when the supply of emission allowances in the market is abundant, reducing the carbon cap or changing the initial allocation rule of free emission allowances will not reduce the manufacturer’s carbon emissions level; (2) carbon emission allowance price is the key factor to control the manufacturer’s carbon emissions level and abatement capacity; (3) with the increase of carbon price, the manufacturer will expand the abatement capacity even if it has already held enough allowances to cover all its emissions. Our research provides useful managerial insights for manufacturing firms to make investment in carbon emissions abatement under the cap-and-trade system.

dynamic lot sizing; abatement investment; cap-and-trade; generalized benders decomposition

1003-207(2016)04-0129-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.04.015

2014-06-23；

2015-12-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71232007, 71301082, 71471007, 71390334)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2014RC032)

黃帝(1984-)，男(漢族)，河南南陽(yáng)人，北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院講師，研究方向：低碳供應(yīng)鏈運(yùn)作管理，E-mail:huangd@sem.tsinghua.edu.cn.

F253.4

A