賞析數(shù)學美

陳小璽

摘 要：數(shù)學是一門藝術。數(shù)學之美充滿了整個世界，它的結構的完整、圖形的對稱、布局的合理、形式的簡潔，無不體現(xiàn)出數(shù)學中美的因素。本文從數(shù)學的和諧美，統(tǒng)一美，對稱美，簡潔美，奇異美五個方面賞析了數(shù)學的美。

關鍵詞：數(shù)學；美；賞析

數(shù)學是一門藝術。龐卡萊（J.H.poincom，1854—1912）說過： “感覺數(shù)學美，感覺數(shù)與形調和，感覺幾何優(yōu)雅……這是所有真正數(shù)學家都知道的真正美感?！贝髷?shù)學家克萊因認為：“數(shù)學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數(shù)學能給予以上的一切?！北砻嫔峡?，學習數(shù)學就是解題，解題再解題，顯得非?？菰餆o味，但當我們細細品味慢慢體會的時候，我們就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學非常美而且美的妙不可言。數(shù)學之美充滿了整個世界，它的結構的完整、圖形的對稱、布局的合理、形式的簡潔，無不體現(xiàn)出數(shù)學中美的因素。數(shù)學美在何處？

一、和諧美

一些表面上看來復雜的得令人眼花繚亂的對象，一經(jīng)數(shù)學的分析便顯得井然有序，從而喚起理性的美感。例如三角函數(shù)的誘導公式，又如歐拉公式，被人們認為是一個非常優(yōu)美的公式。原因在于指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在實數(shù)域中看不出有什么聯(lián)系，而在復數(shù)域中卻發(fā)現(xiàn)了它們之間的相互轉化，并被一個簡單的關系式聯(lián)系在一起。特別有趣的是當時，歐拉公式寫成了，它把數(shù)中最富有特色的五個數(shù)，這些藐似不相干（性質上十分不同）的數(shù)竟然如此和諧地共處于一個公式中，它被認為是充分顯示數(shù)學內(nèi)在美的一個公式。

二、統(tǒng)一美

哲學家普洛克拉斯曾說過：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！奔臃ǎ瑴p法統(tǒng)一于代數(shù)和（正數(shù)與負數(shù)和），乘法，除法在有公約數(shù)后統(tǒng)一成乘法，解析幾何又體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的統(tǒng)一，而指數(shù)函數(shù)又把乘方與開方又統(tǒng)一起來……這便是數(shù)學的統(tǒng)一美。

三、對稱美

對稱美是數(shù)學美的核心。對稱的圖形，對稱的建筑物，是到處可見的。繪畫中利用對稱美，文學作品中也有對稱手法。就拿人體本身來說，人體本身是美的，它的對稱性：兩手，兩腿，兩眼，兩耳都是很對稱的，而且人體最標準的身材，便是以肚臍眼為黃金分割點的。在數(shù)學中則表現(xiàn)在幾何圖形中有點對稱，線對稱，面對稱。在幾何圖形中還有一些深層的對稱美，如：一條線段關于它的中點對稱，這條線段若左端點的坐標為，右端點的坐標為，那么中點在處。又如似乎黃金分割點（在處）不是對稱點，但若將左端點記為，右端點記為，黃金分割點記為，則；而且關于中點的對稱點也是的黃金分割點，因為；再進一層看，又是類似的一直討論下去，這可視為一種連環(huán)對稱。

四、簡潔美

簡潔、有效、經(jīng)濟給人以美感，煩瑣、臃腫、無謂的消耗則給人以相反的感覺。數(shù)學不愿意把一億寫成，而要寫成，更不愿意把億分之一寫成，而樂于寫成。這樣的簡寫，給我們計算提供了很大方便。就數(shù)列求和來說吧，求我們就不會將其各項都一一列出來逐項相加，而通常是用公式，這樣寫既簡單又明了。數(shù)學總是追求簡潔的，不僅在運算上，符號上，而且對于論證也是如此，它總是力求用簡潔的方式完成論證，證明題的證明方法是最貼近我們的體現(xiàn)。

五、奇異美

幾何與代數(shù)曾經(jīng)是平行發(fā)展的，世紀之前，幾何與代數(shù)相比處于支配地位，幾何是代數(shù)的同義詞。然而，世紀竟發(fā)現(xiàn)兩者是那樣密切的聯(lián)系在一起的，研究了數(shù)千年的亦被認為是非常漂亮的圓錐曲線竟為一個簡單的二次方程包羅無遺：。公元前世紀曾被希臘學者歐多克斯等研究過的黃金分割，誰曾料到，它會在世紀年代被用于優(yōu)選法？誰曾料到，年伽羅華為研究代數(shù)方程求根公式可能性問題而被引進的群的概念竟在世紀被用來表達物理學的基本原理？誰曾料到，世紀初誕生的非歐幾何竟被用來建立相對論學說？誰曾料到，世紀頭年代建立的數(shù)理邏輯會成為數(shù)學計算機的基本工具？真可謂有無窮的“誰曾料到”。新奇才有藝術，“未曾料到”才引人入勝，這也是數(shù)學的魅力，數(shù)學的美。

美國數(shù)學家，數(shù)學史家克萊因說過：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善生活，但數(shù)學卻能提供上述一切?！睌?shù)學家在贊頌數(shù)學美時都是異口同聲的。即使不同的流派，在這一點上都是一個調子。邏輯主義派懷特海德說：“只有音樂堪與數(shù)學媲美”，另一代表羅素說：“數(shù)學，如果正確的看它，不但擁有真理，而且也是有至高是美，正像雕刻的美……”，畢達哥拉斯本人還是音樂理論的一位始祖，他闡明了單弦的調和音樂與單弦的弦長之間的關系；希臘學者歐多克斯等也寫出過音樂方面的著作，研究過諧音的配合，制訂過音階；笛卡爾作為世紀的一位卓越數(shù)學家，也寫過一本名為《音樂概論》的書；世紀的大數(shù)學家歐拉創(chuàng)立過一種新的音樂理論。可見數(shù)學與美妙的音樂又是密切聯(lián)系的。

一方面，數(shù)學美給人們以精神享受，從而激發(fā)起學習研究的興趣；另一方面，對于數(shù)學美的追求，又會給數(shù)學的發(fā)現(xiàn)帶來積極的影響。數(shù)學中的審美原則在數(shù)學家發(fā)現(xiàn)中有重要的地位。數(shù)學的美是顯而易見的，數(shù)學的審美作用是不容忽視的。

數(shù)學中充滿美，絢麗多姿而又深邃含蓄的數(shù)學美需要人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，只有發(fā)現(xiàn)才可能欣賞和享受。學習數(shù)學不僅僅是理解，會運用，還要欣賞它的奇異，它的和諧，它的簡潔，它的美麗。