導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題上的應(yīng)用

曾慶國(guó)

[摘要]函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高考必考內(nèi)容，主要是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的有關(guān)問題。本文擬對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題，單調(diào)性，極值，最值的方法進(jìn)行分析。

[關(guān)鍵詞]利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)；切線；單調(diào)性；極值；最值

在初中階段，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究幾類相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)。在高中階段，我們又用集合映射的觀點(diǎn)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等幾類基本初等函數(shù)，這些都是通過列表描點(diǎn)用平滑的曲線畫出函數(shù)大體圖像，并通過函數(shù)圖像來(lái)研究這些基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。但對(duì)于由幾個(gè)基本初等函數(shù)的加減乘除構(gòu)成相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)，那么我們想通過列表描點(diǎn)畫出這類函數(shù)圖像進(jìn)而研究這類函數(shù)的性質(zhì)，就顯得力不從心，因此很難刻畫出這類相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)的圖像，從而影響我們對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究。而導(dǎo)數(shù)恰好克服這一弱點(diǎn)，通過變化率和逼近的觀點(diǎn)來(lái)研究函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，這樣就較容易刻畫出這類相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)的大致圖像，通過圖像就可以看出函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值等性質(zhì)，進(jìn)一步研究這類函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，不等式等問題提供理論基礎(chǔ)。函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和創(chuàng)新能力有著重要意義和作用，且函數(shù)方程思想貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)始終，地位作用顯得尤為突出，而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的有關(guān)問題是歷年高考的重要考點(diǎn)?，F(xiàn)本人利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題，單調(diào)性，極值，最值的方法及學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方提出自己的看法。

一、函數(shù)切線問題

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x），就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線的斜率k，即k=f′（x0）。當(dāng)我們?cè)谇蠼膺^某點(diǎn)的切線問題時(shí)，必須先討論此點(diǎn)是否在切線上，若切點(diǎn)坐標(biāo)未知，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)。

例 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+2=0。求函數(shù)f（x）的解析式。

分析 函數(shù)的切點(diǎn)問題最主要是利用函數(shù)方程思想，把切線的斜率和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值聯(lián)系起來(lái)，切點(diǎn)坐標(biāo)P（x0，f（x0））滿足三個(gè)方程：k=f′（x0），切點(diǎn)坐標(biāo)P（x0，f（x0））滿足切線方程和曲線方程。

解

∵f′（x）=3ax2+2bx-3，

根據(jù)題意，得f（1）=-2，

f′（1）=0，

即a+b-3=-2，

3a+2b-3=0，

解得a=1，

b=0。

∴f（x）=x3-3x。

二、函數(shù)單調(diào)性問題

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。 注意在求解函數(shù)y=f（x）單調(diào)區(qū)間時(shí)，容易忽視函數(shù)y=f（x）的定義域。也要注意把握導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像之間對(duì)應(yīng)關(guān)系。

例 設(shè)函數(shù)f（x）=xex。

（1） 求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意的x1，x2∈（a，+∞），當(dāng)x1f（x1）-f（a）[]x1-a成立。若存在，求a的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由。

解 （1）f′（x）=（1+x）ex。令f′（x）=0，得x=-1。列表如下：

x[]（-∞，-1）[]-1[]（-1，+∞）

f′（x）[]-[]0[]+

f（x）[][]極小值[]

單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1），單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞），f（x）極小值=f（-1）=-1[]e。

（2）設(shè)g（x）=f（x）-f（a）[]x-a，由題意，對(duì)任意的x1，x2∈（a，+∞），當(dāng)x1g（x1），即y=g（x）在（a，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)。

∵g′（x）=f′（x）（x-a）-[f（x）-f（a）][]（x-a）2=（1+x）ex（x-a）-xex+aea[]（x-a）2=（x2+x-ax-a）ex-xex+aex（x-a）2=x2ex-axex-aex+aea[]（x-a）2。

x∈（a，+∞），g′（x）≥0，令h（x）=x2ex-axex-aex+aea≥0。

h′（x）=2xex+x2ex-a（1+x）ex-aex=x（x+2）ex-a（x+2）ex=（x+2）（x-a）ex，

①若a≥-2，當(dāng)x>a時(shí)，h′（x）>0，h（x）為[a，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴h（x）>h（a）=0，不等式成立。

②若a<-2，當(dāng)x∈（a，-2）時(shí)，h′（x）<0，h（x）為[a，-2]上的單調(diào)遞減函數(shù)，∴x0∈（a，-2），h（x0）

所以，a的取值范圍為[-2，+∞）。

通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法比較大小，證明不等式，以及處理定參問題，比一般的定義證明顯得簡(jiǎn)單方便。

三、函數(shù)極值問題

函數(shù)極小值的定義：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=a的函數(shù)值為f（a）比它在x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′（a）=0，而且在x=a附近的左側(cè)f′（x）<0，右側(cè)f′（x）>0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)，f（a）叫做函數(shù)f（x）的極小值。類似的也定義極大值。

例 方程x3-6x2+9x-10=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)是 （ ）。

A。3 B。2 C。1 D。0

分析 此題是一個(gè)三次方程，不易猜根?？上葮?gòu)造函數(shù)，再通過求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)，畫出其草圖，數(shù)形結(jié)合分析求解，就顯得直觀易解。

解 令f（x）=x3-6x2+9x-10，則f′（x）=3x2-12x+9。

∴f′（x）=3（x-1）（x-3）。

∴當(dāng)x<1或x>3時(shí) ，f′（x）>0，f（x）為增函數(shù)。

當(dāng)1

∴f（x）極大值=f（1）=-6<0。

故f（x）的極大值在x軸的下方，如圖，即f（x）的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，原方程只有一個(gè)實(shí)根。選C。

四、函數(shù)最值問題

把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值。

例 設(shè)函數(shù)f（x）=2lnx（x-1）-（x-1）2。若關(guān)于x的方程f（x）+x2-3x-a=0在區(qū)間[2，4]內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析 利用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析處理，方程根的問題，函數(shù)的零點(diǎn)問題要注意和對(duì)應(yīng)方程的根及函數(shù)的圖像聯(lián)系起來(lái)，通過

極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)求出函數(shù)的最值。當(dāng)一個(gè)函數(shù)不能直接畫出圖像時(shí)，要有求導(dǎo)的意識(shí)來(lái)探究一下函數(shù)的基本性質(zhì)然后再畫草圖。解題直觀漂亮。

解 ∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）2，

∴f（x）+x2-3x-a=0x+a+1-2ln（x-1）=0。

即a=2ln（x-1）-x-1，

令h（x）=2ln（x-1）-x-1，

∵h(yuǎn)′（x）=2[]x-1-1=3-x[]x-1，且x>1，

由h′（x）>0，得13。

∴h（x）在區(qū)間[2，3]內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間[3，4]內(nèi)單調(diào)遞減。

∵h(yuǎn)（2）=-3，h（3）=2ln2-4，h（4）=2ln3-5，又h（2）

故f（x）+x2-3x-a=0在區(qū)間[2，4]內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根h（4）≤a

即2ln3-5≤a<2ln2-4。

綜上所述，a的取值范圍是[2ln3-5，2ln2-4）。

通過列表描點(diǎn)只能研究比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的圖像和性質(zhì)，那么對(duì)相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)只能通過導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，極值，最值，就能生動(dòng)刻畫出這些相對(duì)復(fù)雜函數(shù)的圖像，從而進(jìn)一步研究其性質(zhì)起著非常重要的作用。在教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)與不等式，方程，三角函數(shù)，解析幾何，向量等交叉滲透，這對(duì)學(xué)生各方面數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)有著重要意義和作用。