運(yùn)用構(gòu)造法解決三角函數(shù)題

由國(guó)清

[摘要]解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法很多，構(gòu)造法是其中的一種基本方法。本文通過(guò)構(gòu)造法，來(lái)解決三角函數(shù)問(wèn)題

[關(guān)鍵詞]構(gòu)造法；三角函數(shù)；應(yīng)用

所謂構(gòu)造法就是根據(jù)問(wèn)題的條件或結(jié)論所具有的特征，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使轉(zhuǎn)化后的問(wèn)題比原問(wèn)題更易理解，更富啟發(fā)性，從而使問(wèn)題得以解決。構(gòu)造輔助元素的方法很多，在選擇構(gòu)造方法的過(guò)程中要根據(jù)實(shí)際需要，使構(gòu)造的輔助元素為問(wèn)題的解決起到橋梁的作用。對(duì)于構(gòu)造法也可以這樣理解：當(dāng)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題使用通常的方法按定式思維去求解很難湊效時(shí)，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)展開(kāi)聯(lián)想，即從一個(gè)目標(biāo)想到曾經(jīng)使用過(guò)可能達(dá)到該目標(biāo)的結(jié)論、方法、手段，進(jìn)而構(gòu)造出解決問(wèn)題的特殊模式。成功使用構(gòu)造法解決問(wèn)題是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的一種有效方法，并對(duì)培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣有很大幫助。

構(gòu)造法的方法很多，技巧性強(qiáng)，使用時(shí)沒(méi)有固定的模式，須根據(jù)具體問(wèn)題采用相應(yīng)的構(gòu)造法。下面通過(guò)構(gòu)造不同數(shù)學(xué)模型的例子，介紹一下構(gòu)造法的應(yīng)用。

一、構(gòu)造三角形

例1 求cot10°-4cos10°。

解 根據(jù)三角形中的邊角關(guān)系，可構(gòu)造如圖的三角形ABC，使∠C=90°，∠A=10°，BC=1，D為AC邊上的一點(diǎn)，且使∠BCD=30°，則BD=2且∠ABD=20°。

在△ABD中，由正弦定理得ADsin20°=BDsin10°?！郃D=BDsin20°sin10°=4cos10°。

又AC=cot10°，∴cot10°-4cos10°=AC-AD=3。

二 、構(gòu)造方程

例2 已知ABC是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且sinA≠sinB，（sinC-sinA）2 -4（sinA –sinB）（sinB-sinC）=0，求證：0

證明 ∵sinA≠sinB，∴可構(gòu)造一元二次（sinA–sinB）x2+（sinC-sinA）x+sinB-sinC=0。

∵方程各項(xiàng)系數(shù)之和為0，∴1是方程的一個(gè)根。

又∵Δ=0，∴方程的另一個(gè)根也是1。

∴根據(jù)韋達(dá)定理得：sinB-sinCsinA-sinB=1。

2sinB=sinA+sinC。2sinB2cosB2=sinA+C2cosA-C2=cosB2cosA-C2。

∴sinB2=12cosA-C2≤12，∴0

三、構(gòu)造函數(shù)

例3 已知x，y∈-π4，π4，a∈R且，

x3+sinx-2a=0

4y3+sinycosy+a=0

，求cos（x+2y）的值。

分析 看到這個(gè)題目，會(huì)有一種陌生感，這個(gè)題目既有代數(shù)式又有超越式，還有參數(shù)。通過(guò)題設(shè)消去參數(shù)a，可得x3+sinx=（-2y）3+sin（-2y）。因此，可構(gòu)造函數(shù)f（x）=t3+sint，此函數(shù)在[-π4，π4]上遞增，又f（x）=f（-2y），∴x=-2y，即x+2y=0，cos（x+2y）=1。

四、構(gòu)造橢圓

例4 已知cos4αcos2β+sin4αsin2β=1，求證：cos4βcos2α+sin4βsin2α=1。

證明 條件和橢圓方程很相似，構(gòu)造橢圓x2cos2β+y2sin2β=1，

顯然P1（cos2α，sin2 α）P2（cos2β，sin2β）都在橢圓上，又過(guò)點(diǎn)P2的切線方程是x+y=1，而點(diǎn)P1也在直線x+y=1上，由切點(diǎn)的唯一性知P1和P2重合，故

cos2α=cos2β，sin2α=sin2β，∴cos4βcos2α+sin4βsin2α=cos2 β+sin2 β=1。

總之，從以上的例題（構(gòu)造法不只限于上述提到的幾種），中容易看到：構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，在解決問(wèn)題中顯得靈活簡(jiǎn)單，但也有思維跨度大的缺點(diǎn)，只要我們具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，掌握基本的構(gòu)造法解題技巧，對(duì)待問(wèn)題能夠透過(guò)表面看本質(zhì)，適當(dāng)有效的進(jìn)行知識(shí)的遷移和重組構(gòu)造，就能理解構(gòu)造法的內(nèi)涵，靈活運(yùn)用構(gòu)造法去解題。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣，豐富學(xué)生的想象力和思維的創(chuàng)造力，從而培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)造意識(shí)和探索精神。