雙向出擊，如魚(yú)得水
——試析在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力

江蘇省蘇州市相城區(qū)望亭中學(xué) 張春麗

數(shù)學(xué)作為一門較抽象的學(xué)科， 在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力方面有著十分重要的作用。 本文通過(guò)介紹在教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理的逆運(yùn)用及對(duì)逆向思維解題技巧的掌握，并結(jié)合分析法和反證法， 探討教師如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力。

正向思維是指符合人們一般認(rèn)知規(guī)律的、常規(guī)化的、習(xí)慣化的思維方式，正向思維在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中表現(xiàn)為從條件出發(fā)，分析得到結(jié)論。逆向思維則是一種反方向的思維，它是從問(wèn)題的答案出法，追溯到問(wèn)題的結(jié)論的思維形式。學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，正向與逆向思維都非常需要。如果一個(gè)學(xué)生只是習(xí)慣于正向思維，那么他的解題思路就會(huì)非常僵化，有的問(wèn)題就難以順利得到解答。作為初中數(shù)學(xué)教師，要在平時(shí)的教學(xué)中有機(jī)地滲透逆向思維能力的培養(yǎng)，使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能來(lái)去自由，富于靈活性。

一、雙向訓(xùn)練，落實(shí)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的最基本形式，如果教師只是正向地讓學(xué)生理解與訓(xùn)練概念，那么學(xué)生今后就只會(huì)片面地理解概念，不利于數(shù)學(xué)思維的深化，故注重逆向訓(xùn)練是非常重要的。

例1 （1）6的絕對(duì)值是_______。一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是6，那么這個(gè)數(shù)是_______。（2）|a|=3，那么a+1=_______。

對(duì)于絕對(duì)值的概念學(xué)習(xí)之后，教師會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三種情況下的絕對(duì)值計(jì)算方法，為了培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，教師可以出一些相關(guān)的訓(xùn)練題。上述兩題中，第1題從正反兩方面進(jìn)行訓(xùn)練，由于前邊題的定勢(shì)影響，學(xué)生在解答后半題時(shí)很容易導(dǎo)致只分析這個(gè)數(shù)是正數(shù)的情況，忽視了這個(gè)數(shù)還可能是負(fù)數(shù)。而第2題需要分情況討論，有的學(xué)生只寫(xiě)了4，是因?yàn)閷?duì)逆向思維的考慮不周全，有的學(xué)生直接寫(xiě)了答案是±4，是屬于過(guò)于草率，沒(méi)有認(rèn)真分析算法。

二、雙向命題，活化思維方向

數(shù)學(xué)中的每個(gè)定理、公式都可以從反方向來(lái)思考，教師在教學(xué)這些定理、公式時(shí)需要有意識(shí)地引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維，克服定勢(shì)帶來(lái)的刻板性思維。比如對(duì)于平均數(shù)的教學(xué)，雖然是小學(xué)時(shí)學(xué)生就知道了其基本概念，但學(xué)生對(duì)平均數(shù)的一些基本特性掌握得不是太充分，同時(shí)可以進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，所以需要繼續(xù)強(qiáng)化。如：

例2 （1）養(yǎng)魚(yú)專業(yè)戶老李在魚(yú)塘中放養(yǎng)了1500條魚(yú)，一年后為了調(diào)查魚(yú)塘中魚(yú)的平均體重，采取了抽樣調(diào)查的方式，三次從塘中撈取若干魚(yú)，得到如下數(shù)據(jù)，請(qǐng)計(jì)算老李魚(yú)塘中在魚(yú)的平均體重。

次數(shù) 第1次 第2次 第3次條數(shù) 15 18 14平均體重（kg） 1.2 1.3 1.0

（2）小明本學(xué)期每單元數(shù)學(xué)考試的平均成績(jī)?yōu)?0分，前5單元的成績(jī)分別為：92，93，88，85，96，最后第6單元的成績(jī)小明忘記了，請(qǐng)問(wèn)小明第6單元的成績(jī)是多少。

上述兩題中，第1小題涉及平均數(shù)的一種特殊形式——加權(quán)平均數(shù)，通過(guò)訓(xùn)練有助于學(xué)生了解加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，屬于正向思維。第2小題，屬于逆向思維，小明第6單元的成績(jī)可通過(guò)90乘6，再減去前5次成績(jī)的總和而得到。為什么呢？教師不妨讓學(xué)生通過(guò)列方程解方程，自然能理解這樣計(jì)算的道理。這一題還有一種比較靈活的算法，那就是以平均數(shù)90為基準(zhǔn)進(jìn)行思考，可以將前5次的成績(jī)分別記為+2，+3，-2，-5，+6，把這些數(shù)相加得到4，所以最后一個(gè)數(shù)只有記為-4才能使總和為零。故最后一次的單元成績(jī)?yōu)?0減去4等于86分。這種算法是利用了平均數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行的特殊算法，其計(jì)算原理可以讓學(xué)生去分析，這其實(shí)也是很好的逆向思維訓(xùn)練。

三、雙向思考，盤活解題思路

例3 已知方程x2+(p-1)x+3=0的兩根分別是某正三角形的內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑，求p的值。

分析：如果按正向思維去解答，這一題應(yīng)求得方程的兩根，然后根據(jù)兩半徑間的關(guān)系列出方程，但是求方程的解比較麻煩，這里題目中的方程有字母P參與，只能運(yùn)用求根公式表示，最后得出方程，能否得到正確答案不得而知。若按逆向思維， 可從正三角形與三角形的重心的性質(zhì)入手，設(shè)內(nèi)切圓半徑為 r，外接圓半徑為2r，那么根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得到r×2r=3，故r=，2r=，接下來(lái)就能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得p值了。

四、變式訓(xùn)練，強(qiáng)化解題策略

例4 （1）甲、乙兩個(gè)人報(bào)數(shù)，規(guī)則如下：甲從1開(kāi)始先報(bào)一個(gè)或兩個(gè)數(shù)，乙緊跟著報(bào)下一個(gè)或者兩個(gè)數(shù)，甲再接下去報(bào)數(shù)，如此來(lái)回報(bào)數(shù)誰(shuí)先搶到10，誰(shuí)就勝出，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲?qū)住⒁覂蓚€(gè)人是否公平？甲能否有穩(wěn)操勝券的辦法？

（2）如果把游戲改為“搶30”，規(guī)則改為： 第—個(gè)人先說(shuō)“1”或“1，2”或“1，2，3”，一次最多連說(shuō)不能超過(guò)3個(gè)數(shù)，然后兩人來(lái)回報(bào)數(shù)，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲是否公平呢？誰(shuí)能穩(wěn)操勝券呢？

分析與解答：這類題學(xué)生一開(kāi)始往往無(wú)從下手，因?yàn)閷?duì)手報(bào)什么數(shù)是無(wú)法控制的，但我們可以根據(jù)對(duì)手的報(bào)數(shù)來(lái)調(diào)整自己的報(bào)數(shù)，使每一輪兩人報(bào)數(shù)的總和保持恒定，在第（1）小題中，可以控制兩人一輪報(bào)數(shù)的個(gè)數(shù)的總和是3，即對(duì)方報(bào)一個(gè)數(shù)，我就報(bào)兩個(gè)數(shù)，對(duì)方報(bào)兩個(gè)數(shù)，我就報(bào)一個(gè)數(shù)，故要搶到10，必須搶到7，依次往前推，必須搶到1才能勝出，所以這個(gè)游戲是偏向于甲的。第（2）小題加大了思考的跨度與難度，如果學(xué)生能從（1）中總結(jié)出解題規(guī)律，當(dāng)然解這一題就能非常迅速了。這兩題都是運(yùn)用了逆向思維，讓學(xué)生從結(jié)果出發(fā)去分析，追溯到問(wèn)題的起點(diǎn)。第（1）小題學(xué)生可以憑一個(gè)個(gè)數(shù)倒退來(lái)得到答案，但第（2）小題卻可能因?yàn)檫\(yùn)用老方法而延誤答案得出的時(shí)間，故學(xué)生在運(yùn)用逆向思維的同時(shí)還需要學(xué)會(huì)找到數(shù)學(xué)本質(zhì)——自然數(shù)的整除。

五、場(chǎng)外切入，實(shí)現(xiàn)出奇制勝

有時(shí)候，從題目所給的條件與環(huán)境中無(wú)法找到突破口，這時(shí)可能需要從條件的反面或者外圍入手來(lái)解答，這也是屬于逆向思維。

例5 如右圖所示，四邊形ABCD中，AD=1，BC=2，∠B=D=90，∠C=60°，求四邊ABCD的面積。

一開(kāi)始很多學(xué)生通過(guò)連接AC，制造了兩個(gè)直角三角形，但發(fā)現(xiàn)無(wú)法解決問(wèn)題，怎么辦呢？其實(shí)這一題只要延長(zhǎng)BA與CD，就能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)三角形的面積之差的問(wèn)題了。

有老師認(rèn)為這個(gè)題目是需要跳出思維定勢(shì)，學(xué)生靈活解決問(wèn)題，而不是逆向思維的運(yùn)用，但筆者認(rèn)為這一題是逆向思維的訓(xùn)練——在圖中充分利用∠C=60°這個(gè)條件，就應(yīng)該想到這有一個(gè)特殊三角形，而這個(gè)特殊三角形現(xiàn)在并不存在，所以我們要把它補(bǔ)全復(fù)原，那就自然想到畫(huà)兩條延長(zhǎng)線了，這樣就得到了“有一個(gè)角是30°的特殊直角三角形”了，這種從已知條件出發(fā)并不直接指向結(jié)果，而是回歸到條件所產(chǎn)生的場(chǎng)景的思考方式，應(yīng)該屬于逆向思維。從另一個(gè)角度看，這一題的解答不能從內(nèi)部突破而需要從外圍進(jìn)入，這也是逆向思維的表現(xiàn)。

由上可見(jiàn)，逆向思維具有下列特征：①普遍性。有正向思維的題目就會(huì)有逆向思考的機(jī)會(huì)，所以逆向思維還可以運(yùn)用于解題的驗(yàn)算、檢查，對(duì)提高答題的正確率非常有效。②批判性。逆向思維培養(yǎng)時(shí)學(xué)生對(duì)常規(guī)思維的背叛精神，這種精神需要足夠的勇氣。③逆向思維是對(duì)常規(guī)思考方式的一種突破，它的運(yùn)用往往讓人產(chǎn)生意想不到的結(jié)果，令人拍案叫絕，這也是培養(yǎng)學(xué)生思維個(gè)性化的一個(gè)重要窗口。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維將大大促進(jìn)學(xué)生解題策略的改進(jìn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度、情感與價(jià)值觀的轉(zhuǎn)變，使學(xué)生從學(xué)解題走向會(huì)解題，實(shí)現(xiàn)思想與智慧的超越。作為教師，一方面需要精心設(shè)計(jì)訓(xùn)練逆向思維的習(xí)題，把逆向思維訓(xùn)練與正向思維訓(xùn)練結(jié)合起來(lái)，另一方面需要不斷改進(jìn)教學(xué)流程，使課堂更精彩，也使學(xué)生享受成功的樂(lè)趣，培養(yǎng)積極探究、勇于發(fā)現(xiàn)的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。