原型啟發(fā) 畫(huà)圖表征 題組比較 凸顯算理
——“隔位退位減”教學(xué)思考

江蘇省太倉(cāng)市榮文小學(xué) 黃 巍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題?！闭_運(yùn)算、理解算理、靈活運(yùn)算是運(yùn)算能力的主要內(nèi)涵。為了實(shí)現(xiàn)正確運(yùn)算，不少教師希望通過(guò)大量重復(fù)的練習(xí)，實(shí)現(xiàn)“熟能生巧”。練習(xí)固然是達(dá)成技能的必要手段，但運(yùn)算能力是與觀察能力、記憶能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力及想象能力等有關(guān)的由低級(jí)到高級(jí)的綜合能力。計(jì)算教學(xué)的價(jià)值在于發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的推理素養(yǎng)。因此，計(jì)算教學(xué)要以計(jì)算為載體，引導(dǎo)學(xué)生理解算理，知其所以然，以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解。算理是算法的根基，是靈活運(yùn)算的前提。在“隔位退位減”一課的教學(xué)中，我借助生動(dòng)有趣的情境，原型啟發(fā)悟算理；利用直觀的模型，畫(huà)圖表征明算理；發(fā)揮題組的功能，對(duì)比辨析說(shuō)算理，凸顯了算理，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感，提升了他們的思維品質(zhì),并適時(shí)滲透了基本的數(shù)學(xué)思想方法。

一、原型啟發(fā)，悟算理

二年級(jí)學(xué)生的思維水平還是以形象思維為主，適合的情境能喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，也會(huì)讓學(xué)生主動(dòng)調(diào)用生活經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題，初步感悟算理?！案粑煌宋粶p”一課，教材上呈現(xiàn)的情境是：二年級(jí)同學(xué)畫(huà)了204幅兒童畫(huà)，一年級(jí)同學(xué)比二年級(jí)同學(xué)少畫(huà)108幅。一年級(jí)同學(xué)畫(huà)了多少幅？考慮到學(xué)生有購(gòu)物的經(jīng)驗(yàn)，又學(xué)習(xí)過(guò)人民幣的簡(jiǎn)單換算，我把情境進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整。

教學(xué)片段1：

呈現(xiàn)情境：老師原來(lái)有204元，買(mǎi)書(shū)用去108元。根據(jù)這兩個(gè)條件，你們想提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：還剩多少元？

師：用什么方法計(jì)算？怎樣列式？

生：已知原有的錢(qián)和用去的錢(qián)，求還剩的錢(qián)用減法計(jì)算，算式是204-108。

師：204-108，個(gè)位上4元減8元不夠減，怎么辦？

生：可以從十位上拿出1張10元來(lái)，換成10張1元，就夠減了。

生：可是十位上是0，說(shuō)明1張10元也沒(méi)有?。?/p>

生：百位上有，可以從那拿出1張100元，換成10張10元的，再?gòu)?0張10元里拿出1張10元換成10張1元的。

師：204-108，個(gè)位上4減8不夠減，需要從十位退1，可是十位上是0，怎么辦呢？剛才同學(xué)們自己想出辦法：先從百位上拿出1張100元，換成10張10元的，再?gòu)闹心贸?張10元換成10張1元的，就解決問(wèn)題了。

“老師原來(lái)有204元，買(mǎi)書(shū)用去了108元，還剩多少元？”當(dāng)學(xué)生列式后嘗試計(jì)算出現(xiàn)困難時(shí)，他們直接想到是找人民幣幫忙，主動(dòng)進(jìn)行實(shí)物操作以解決計(jì)算中遇到的困難—“個(gè)位不夠減，要十位退1，而十位上是0，怎么辦？”購(gòu)物情境里蘊(yùn)含著算理的原型，學(xué)生在熟悉的情境里，主動(dòng)調(diào)用換錢(qián)的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)不能只求結(jié)果，而要從“根”上思考，根據(jù)學(xué)生的情況創(chuàng)設(shè)給學(xué)生帶來(lái)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的體驗(yàn)和積累的情境，讓學(xué)生在解決情境中計(jì)算問(wèn)題的同時(shí)初步感悟隔位退位減的道理：個(gè)位上4減8不夠減，需要從十位退1，可是十位上是0，需要先從百位上拿出1張100元，換成10張10元的，再?gòu)闹心贸?張10元換成10張1元的，這樣就可以解決問(wèn)題了。

二、畫(huà)圖表征， 明算理

根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和心理特點(diǎn)，算理的理解需要教師“架橋”，寓抽象的知識(shí)于具體形象之中，把學(xué)生的直觀認(rèn)識(shí)逐步引導(dǎo)到抽象的彼岸。在學(xué)生初悟算理后，我出示計(jì)數(shù)器圖，讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，把抽象的算理畫(huà)圖表征出來(lái)。

教學(xué)片段2：

師：那你們能不能把剛才計(jì)算的過(guò)程在計(jì)數(shù)器上畫(huà)出來(lái)呢？要撥入的珠請(qǐng)小朋友用鉛筆直接畫(huà)上去，撥去的珠可以直接劃去。

學(xué)生試畫(huà)，教師巡視。

師：先畫(huà)好的小朋友同桌兩人先交流，互相介紹一下你是怎么畫(huà)的？

學(xué)生交流：

個(gè)位上不夠減，從十位退1，十位上是0，所以要從百位退1；

百位退1到十位，1個(gè)百是10個(gè)十，所以要在十位上畫(huà)10顆珠；

十位退1到個(gè)位，1個(gè)十是10個(gè)一，所以要在個(gè)位上畫(huà)10顆珠；

個(gè)位上現(xiàn)在是14顆珠，劃去8顆珠，剩下6顆珠。

小組討論：十位上是怎么變成9的？

集體梳理：

個(gè)位上：4-8不夠減，從十位退1，十位是0，從百位退1，十位是10，十位退1到個(gè)位，14-8=6；

十位上：10退了1看作9，9-0=9；

百位上：2退了1看作1,1-1=0，不寫(xiě)。

答案是96。

個(gè)體思考：這里百位的2上打點(diǎn)看作1，那十位0上打點(diǎn)看作幾呢？

理想的數(shù)學(xué)課堂不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要讓學(xué)生“知其所以然”，要引導(dǎo)學(xué)生把對(duì)法則的演練轉(zhuǎn)變成對(duì)算理的思考，把運(yùn)算從操作層面轉(zhuǎn)向思維層面，才能真正發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。畫(huà)的過(guò)程，不僅可以激發(fā)學(xué)生的興趣，而且可以把抽象的算理具體化，化難為易，特別是課上人人動(dòng)手，可以啟發(fā)學(xué)生積極思考，明晰算理，增強(qiáng)運(yùn)算的積極性。

實(shí)踐操作之后，還需要把學(xué)生自己的思維過(guò)程通過(guò)豎式表達(dá)出來(lái)，從畫(huà)圖表征逐步過(guò)渡到符號(hào)表征。我引導(dǎo)學(xué)生回溯計(jì)算過(guò)程，“隔位不夠減，十位是0，是怎么退位的？”“差的十位上的9是怎么算出來(lái)的？”解決了這些疑難問(wèn)題，算理的理解也就通透了。學(xué)生在回溯知識(shí)的形成過(guò)程，與自己對(duì)話、與同桌對(duì)話、與教師對(duì)話，不斷反思、不斷辨析，他們通過(guò)自己的努力漸漸清除了算理理解中的阻礙，實(shí)現(xiàn)了對(duì)算理的深刻理解。

三、題組比較，說(shuō)算理

語(yǔ)言是思維的外殼。在課堂上，不但要讓學(xué)生明算理，更要重視讓學(xué)生說(shuō)算理。說(shuō)算理是數(shù)學(xué)理解和語(yǔ)言表達(dá)的綜合體現(xiàn)，加強(qiáng)算理的表達(dá)也是在培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維。在教學(xué)中我們能發(fā)現(xiàn)，很多時(shí)候，學(xué)生會(huì)算，心里也知曉，但就是說(shuō)不出來(lái)。因此在教學(xué)中，我們要?jiǎng)?chuàng)造更多的鍛煉機(jī)會(huì)，給學(xué)生提供更多表達(dá)的機(jī)會(huì)，讓每個(gè)學(xué)生都能表達(dá)自己的想法，闡述自己對(duì)算理的個(gè)性化理解。在“隔位退位減”一課的練習(xí)環(huán)節(jié)，我充分發(fā)揮題組的功能，讓學(xué)生對(duì)比辨析說(shuō)算理，深化了對(duì)算理的理解。

教學(xué)片段3：

1. 填一填。

在隔位退位減中，百位上都要退1，十位上都是0上打點(diǎn)看作9后再進(jìn)行計(jì)算。這一組三道題重在考查學(xué)生對(duì)算式特點(diǎn)的把握。在學(xué)生填完這一組題后，我引導(dǎo)他們說(shuō)說(shuō)：為什么這些題都是“隔位退位減”？讓學(xué)生通過(guò)語(yǔ)言描述加深對(duì)隔位退位減算式特征的理解。

2.選一選。

圖1是連續(xù)退位減，2上打點(diǎn)表示個(gè)位不夠減從十位退1，此時(shí)圈出部分表示的數(shù)值是1（個(gè)十）；圖2是隔位退位減，0上打點(diǎn)表示9。這一題組指向的是算理的理解，讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言說(shuō)思考過(guò)程，辨別連續(xù)退位與隔位退位的不同，再次突破了“0上有點(diǎn)就是9”這一隔位退位減算理的難點(diǎn)。

3.猜一猜：星星背后躲著幾？

下面的題都是我們今天學(xué)習(xí)的隔位退位減。

星星后面躲著哪個(gè)數(shù)呢？看哪位小朋友能把它們都找出來(lái)。

這一題組重在考查學(xué)生的推理能力。第1顆★是0；第2顆★要填比7大的數(shù)，可以是8或9；第3顆★要比3小，可以是0、1、2；第4顆★可以是1到9中的任意一個(gè)數(shù)。

題組練習(xí)的目的是讓學(xué)生在交流中糾正并完善自己的認(rèn)知，在不斷的自我反思中深化對(duì)“隔位退位減”算理的理解，提升自己的數(shù)學(xué)思維。開(kāi)放而有挑戰(zhàn)性的練習(xí)，不同層次的學(xué)生都能參與其中，他們盡情地說(shuō)，有理有據(jù)地爭(zhēng)辯，運(yùn)算技能和邏輯思維能力在題組練習(xí)的過(guò)程中悄然提升。

總之，在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，算理的理解是核心的環(huán)節(jié)。我們要精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，緊密聯(lián)系生活創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生主動(dòng)實(shí)現(xiàn)對(duì)算理的原型理解。課堂是動(dòng)態(tài)生成的，學(xué)生中蘊(yùn)藏著豐富的資源和巨大的潛能，我們要開(kāi)放課堂，從具象到抽象，讓學(xué)生在多樣表征中完成對(duì)算理的直觀理解，在多樣化的練習(xí)中加深對(duì)算理的過(guò)程理解，同時(shí)要處理好算理與算法之間的聯(lián)系，循“理”入“法”，讓學(xué)生在收獲運(yùn)算能力的同時(shí)，積淀終身有用的思想方法，最終促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成。