“算兩次”在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究

劉清源

波利亞說：“為了得到一個方程，我們必須將同一個量以兩種不同的方法表示出來”，即將一個量“算兩次”，由此建立相等關(guān)系列出方程，它是從不同的角度考察問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化及方程的思想。

“算兩次”是一種重要的數(shù)學(xué)方法，她貫穿了我們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，從小學(xué)的減法運(yùn)算完后用加法運(yùn)算檢驗(yàn)其結(jié)果，除法運(yùn)算完后用乘法運(yùn)算檢驗(yàn)其結(jié)果；為了得到一個方程，我們必須把同一個量用兩種不同的方法表示出來，等等都屬于“算兩次”。不僅計(jì)算題、求解題需要這樣做，在證明中，用兩種方法計(jì)算同一個量，更是一種行之有效的基本方法?？梢姟八銉纱巍痹跀?shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用，本文專門探討利用“算兩次”解決高中階段出現(xiàn)的一些問題問題。

一、“算兩次”在與導(dǎo)數(shù)相關(guān)切線方程中的應(yīng)用

“算兩次”在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在切線方程，它的應(yīng)用基礎(chǔ)是一個量的兩種表示。在切線方程方面，能夠通過兩種表示的有兩個量：切線斜率 和切點(diǎn)（x0，f（x0））。

通過學(xué)習(xí)我們都知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)f/（x0）為相應(yīng)切線方程的斜率k。如果我們知道函數(shù)在在x0處的切線或者與切線平行或垂直的直線我們就可以知道 ，通過這兩方面都能求出。當(dāng)然在這中間還有一個共同的量——切點(diǎn)，它是切線與曲線的交點(diǎn)，能夠起到溝通的作用。我們不妨通過下面一道題來說明這個問題：

例1：設(shè)直線y=x+b是曲線y=lnx的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為？

分析：我們不妨設(shè)切點(diǎn)為（x0，f（x0））（1）通過題意我們由切線y=x+b可知切線的斜率為k=1（2）再由函數(shù)y=lnx可得k=1/x0

通過上面的形式我們對k “算兩次”可得x0= 1

（1）由于切點(diǎn)為曲線上的點(diǎn)，可知切點(diǎn)為（1，0）（2）切點(diǎn)也在切線上，

通過上述形式我們對于切點(diǎn)“算兩次”，可得1+b=0則b=-1。

結(jié)合上述問題我們不難發(fā)現(xiàn)，我們對切線的斜率和切點(diǎn)進(jìn)行了算兩次，基于這類題目我們不妨看下列這些相似的問題：

變式1：設(shè)曲線y=eax在x=0處的切線于x+2y+1=0垂直，求a

變式2：曲線y=x3+x-2在P點(diǎn)的切線平行于y=4x-1，求P點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：結(jié)合上述問題我們不難你發(fā)現(xiàn)變式1：通過算兩次k即可求出a；

而變式2：由題意我們可以通過算兩次k，先求出切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再代入曲線求出點(diǎn)P。

二、“算兩次”在平面向量中的應(yīng)用

我們通過平面向量基本定理的學(xué)習(xí)可知：在平面內(nèi)，如果a，b是不共線的兩個向量那么存在唯一的一個實(shí)數(shù)對（m，n）使得c=ma+nb成立。如果還存在一對實(shí)數(shù)（k，l）滿足題意，只能是m=k，n=l。結(jié)合上述結(jié)論，我們來看看與重心相關(guān)的中線被重心分成2：1的推理過程：已知三角形ABC中，AL、BM、CN分別為對應(yīng)邊的中線，它們交于G點(diǎn)，如圖所示，求證：AG=2GL

證明：設(shè)AB邊上的中線為CN，AC邊上的中線為BM，其交點(diǎn)為G，邊BC的中點(diǎn)為L，連接AG和GL，因?yàn)锽、G、M三點(diǎn)共線所以，存在實(shí)數(shù)m，使得 ，即可得

同理，存在實(shí)數(shù)n，使得

又因?yàn)?不共線，所以 和 解得

即 ，又因?yàn)?可知 即得證。

我們不難發(fā)現(xiàn)“算兩次”在平面向量中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在通過兩種方式轉(zhuǎn)化在相同一組基底情況下的分解是唯一的，進(jìn)而得到對應(yīng)的系數(shù)相等，即可得到所要結(jié)論。

三、“算兩次”在立體幾何中的應(yīng)用

“算兩次”在立體幾何中的引用主要體現(xiàn)在等體積變換等方面，通過翻轉(zhuǎn)變換底面實(shí)現(xiàn)錐體體積的兩種計(jì)算途徑。利用其中較易于算出高的錐體形式，求出幾何體的體積，當(dāng)然可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離。我們來看這樣一個問題：

例2：如圖5甲，四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB =2， DC=1，BC= ，AB =AD= .將（圖甲）沿直線BD折起，使二面角A-BD-C為60o（如圖）.

（1）求證：AE⊥平面BDC； （2）求點(diǎn)B到平面ACD的距離.

分析（1）證明略（2）由于題目要求解點(diǎn)B到平面ACD的距離，我們可以采用等體積法對三棱錐A-BCD的體積算兩次，即 ，而B到平面ACD的距離即為三棱錐B-ACD底面ACD上的高 ，而由（1）可知三棱錐A-BCD底面BCD的高為已知即為AE，所以h= /7

通過上述的問題我們不難發(fā)現(xiàn)“算兩次”應(yīng)用在幾何體的等體積上主要體現(xiàn)在高的尋求上，換底面的最終目的是使得高較為明顯或者已知，同樣在求點(diǎn)到面的距離是可以省卻了輔助線的添加，進(jìn)行抽象的思考，有助于學(xué)生思維能力的養(yǎng)成。

最后，結(jié)合上述問題我們可以發(fā)現(xiàn)“算兩次”，其實(shí)是對于一個問題，由兩個角度的切入，通過不同途徑，并最終達(dá)成一致的結(jié)果，在這個過程中引入變量并最終解決變量的方法。正應(yīng)了這樣一句詩：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”。我們觀察事物，如果所處的立場不同，觀察到的結(jié)果也會不同。如果從某一角度用某種方法難以奏效，不妨換一個角度去觀察，換一種方法去處理便有可能“迎刃而解”。

【參考文獻(xiàn)】

[1]付秀鳳 《高中數(shù)學(xué)解題中“算兩次”思想方法的應(yīng)用探析》發(fā)表于《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》2015年13期

[2]陳祖靈 《“算兩次”的思想方法及其在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用》《理科考試研究：高中版》2013年 第7期 |