淺談?dòng)嘘P(guān)恒成立問(wèn)題的解題策略與技巧

程玲芝

摘 要：高中數(shù)學(xué)是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，“恒成立”問(wèn)題是近年來(lái)高校招生考試中最重要的考點(diǎn)之一。為了使學(xué)生更好地理解并掌握高中數(shù)學(xué)的"恒成立”問(wèn)題，我將簡(jiǎn)要介紹這類(lèi)問(wèn)題的策略和技巧。

關(guān)鍵詞：恒成立；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）06-001-02

很多高中生在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由于沒(méi)有掌握一定的解題策略與技巧，他們常常會(huì)覺(jué)得在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中總是充滿(mǎn)了困難，那么我就來(lái)用恒成立的問(wèn)題介紹下解題策略以及技巧。高中數(shù)學(xué)恒成立問(wèn)題涉及到函數(shù)的性質(zhì)、圖像，其中也滲透著數(shù)形結(jié)合等思想。通過(guò)讓學(xué)生進(jìn)行這類(lèi)題型的練習(xí)，有助于對(duì)學(xué)生的解題能力進(jìn)行綜合的考查，并能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成靈活性與創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維。下面我結(jié)合我的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)労愠闪?wèn)題的解題方法。

一、構(gòu)造函數(shù)法

在解決問(wèn)題時(shí)，該方法可以用來(lái)解決問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解題。但是在構(gòu)造函數(shù)時(shí)我們需注意要確定出合適的變量與參數(shù)，若是不能正確地構(gòu)造函數(shù)，會(huì)使解題步驟過(guò)于繁瑣，解題的思路也會(huì)更加復(fù)雜。因而，找出正確的函數(shù)關(guān)系，能夠使函數(shù)關(guān)系更加清晰明了，使數(shù)學(xué)問(wèn)題解決起來(lái)更直觀簡(jiǎn)便。對(duì)于大部分這類(lèi)問(wèn)題，我們通常會(huì)將已知存在范圍的量視為變量，而將待求范圍的量視為參數(shù)。例如：

例1.已知不等式2x-1>m（x2-1）對(duì)隨意的m∈[-2，2]都成立，求x 的取值范圍。

分析：該題為含有兩個(gè)變量的不等式，如果用不等式的性質(zhì)等進(jìn)行解題，難以實(shí)現(xiàn)，那么我們就會(huì)想到要構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。因?yàn)樵S多學(xué)生的思維公式，很容易想到的不平等的討論，從而解決問(wèn)題的過(guò)程是復(fù)雜的。若是轉(zhuǎn)變一下思路，既然m的取值范圍已知，那么我們可以將其作為自變量，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，將x作為參數(shù)處理。

解：將原式移項(xiàng)得：m（x2-1）-（2x-1）<0.我們可以看出，不等式左側(cè)的式子與二次函數(shù)的形式非常相似，構(gòu)造函數(shù)f（m）= m（x2-1）-（2x-1），則原不等式2x-1>m（x2-1）對(duì)任意的m∈[-2，2]都成立等價(jià)于f（m）<0對(duì)m∈[-2，2]恒成立。即當(dāng)-2

f（2）=2（x2-1）-（2x-1）<0，即 -2x-1<0

f（-2）= -2（x2-1）-（2x-1）<0 2x2+2x-3>0

故x的取值范圍為（，）.

評(píng)注：該題將不等式恒成立問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的自變量在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)值小于零恒成立的問(wèn)題，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，將原來(lái)的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式，大大降低了解題的難度，增加了解題的技巧性，從而使問(wèn)題輕松得到解決。

二、分離參數(shù)法

在解函數(shù)與不等式含參數(shù)恒成立的問(wèn)題時(shí)，如果可以將參數(shù)與其他的變量分離出來(lái)，并且在分離后不等式或函數(shù)其中一邊的代數(shù)式能夠求其取值范圍或最值時(shí)，就可以采用分離參數(shù)的方法求解。其一般的類(lèi)型為：（1）f（x）>a恒成立a< f（x）min；f（a）≤g（x）恒成立f（a）≤ g（x）min；（2）f（x）f（x）max；f（a）≥g（x）恒成立f（a） ≥g（x）max.

例2.已知函數(shù)f（x）=lg（x+-2），若對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）>0，試確定a的取值范圍。

分析：該題是含有參數(shù)的函數(shù)式恒成立的問(wèn)題。那么在解題時(shí)就先要看看該題的參數(shù)是否能夠從函數(shù)式中分離出來(lái)。若無(wú)法將參數(shù)直接分離出來(lái)，我們則要根據(jù)不同的函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，或是采取其它的方法解題。

解：根據(jù)題意得：x+-2>1在x∈[2，+∞）上恒成立，即a> -x2+3x在x∈[2，+∞）上恒成立，設(shè)f（x）= -x2+3x，則f（x）= -（x -）2

+，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）max=2，所以a>2.

評(píng)注：該題將參數(shù)從函數(shù)式中分離出來(lái)，并根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)，求出函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)的最大值，得出參數(shù)的取值范圍。

對(duì)于一些具有特殊性質(zhì)的函數(shù)求參數(shù)問(wèn)題，可以將其轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解，然后借助恒成立的特殊性，進(jìn)行求解。

例3.函數(shù)f（x）=loga（-x2+ log2ax）定義域?yàn)椋?，），求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：此函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)我們會(huì)得出一個(gè)關(guān)于x的不等式，然后再根據(jù)該題的已知條件，將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)處理。

解：依題可知，-x2+ log2ax>0在區(qū)間（0，）上恒成立 log2ax> x2在區(qū)間（0，）上恒成立。又∵x2>0，∴l(xiāng)og2ax>0，∴0<2a<1，則有0

評(píng)注：對(duì)于一些函數(shù)的恒成立問(wèn)題，像是有關(guān)于函數(shù)的定義域、單調(diào)性等，可以通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問(wèn)題來(lái)處理。該題采用的是間接分離參數(shù)的方法，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的一些特性，通過(guò)解不等式的方法來(lái)求解轉(zhuǎn)化后的恒成立問(wèn)題，這種解題思想也是高考的考點(diǎn)，是我們課堂教學(xué)的重要內(nèi)容。

三、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是高中數(shù)學(xué)最常用的解題方法之一，其通過(guò)圖形能夠?qū)⒑瘮?shù)的基本信息直觀地展示出來(lái)。利用圖形進(jìn)行求解大大簡(jiǎn)化了解題的思路與步驟，能夠使解題思路清晰地浮現(xiàn)出來(lái)，從而使計(jì)算過(guò)程得到了有效的簡(jiǎn)化，能夠提高學(xué)生的解題效率。如果不等式中的函數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖像能夠容易畫(huà)出時(shí)，我們就可以通過(guò)圖像或圖形的相應(yīng)位置關(guān)系建立不等式求解。

例4.已知函數(shù)y=f（x）= 3x+6 x≥2

-6-3x x<-2， 若不等式f（x） ≥2x-m恒成立，則求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：由于該函數(shù)為分段函數(shù)，且其每一段上都是一次函數(shù)，其函數(shù)圖像能夠很容易地畫(huà)出來(lái)，而且含有參數(shù)的不等式也為一次函數(shù)的形式，因此該題就可以采用數(shù)形結(jié)合的解題方法。

解：在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x-m與y=f（x）的圖像。由于不等式f（x） ≥2x-m恒成立，所以函數(shù)y=2x-m的圖像應(yīng)該總在y=f（x）的圖像的下方，又圖像可知，當(dāng)x=-2時(shí)，y=f（x）取得最小值為0，則能得出y=-4-m≤0，從而可得出m≥-4.所以m的取值范圍為[-4，+∞）.

評(píng)注：在解決一些不等式問(wèn)題時(shí)，我們可以根據(jù)函數(shù)的圖像以及不等式中量的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下位置關(guān)系來(lái)確定參數(shù)的取值范圍。

四、最值法

最值法是解函數(shù)以及不等式問(wèn)題常用的方法之一，其利用函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式的數(shù)量關(guān)系，將含有參數(shù)的代數(shù)式分離出去，與參數(shù)分離法相結(jié)合，來(lái)進(jìn)行求解。

例5.已知函數(shù)f（x）=x（lnx+m），g（x）= x2+x. （Ⅰ） 當(dāng)m=-2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間。（Ⅱ）若m= 時(shí)，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：（Ⅱ）該題中的兩個(gè)函數(shù)圖像都難以畫(huà)出，因此不能采用數(shù)形結(jié)合的解題思想。那我們只能先將函數(shù)進(jìn)行整理，從問(wèn)題出發(fā)，聯(lián)系已知條件，一步步進(jìn)行求解。

解：（Ⅱ）當(dāng)m= 時(shí)，不等式g（x）≥f（x），即x2+x≥x恒成立。

由于x>0，∴x2+1≥lnx+，則有a≥.令h（x）= ，則h（x）=，由h（x）=0得出x=1，且當(dāng)00；當(dāng)x>1時(shí)，h（x）<0，即h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以h（x）在x=1處取得極大值h（1）= ，也就是函數(shù)h（x）在定義域上的最大值。因此要使a≥恒成立，只需a≥max，即a≥，∴a∈[，+∞）.

評(píng)注：該題是將求參數(shù)的取值范圍通過(guò)轉(zhuǎn)化，變?yōu)榍蠛瘮?shù)的極值問(wèn)題。在函數(shù)或不等式問(wèn)題中，使用極值或值的取值范圍，一般需要進(jìn)行分離，從而使問(wèn)題的解不是靜態(tài)常數(shù)，有些問(wèn)題需要將兩種或者兩種以上的解題方法綜合運(yùn)用，并要根據(jù)不同題目的特點(diǎn)選取不同的解題方法，進(jìn)而得到問(wèn)題的解。

綜上所述，高中數(shù)學(xué)的恒成立問(wèn)題的解題方法多種多樣，像是構(gòu)造函數(shù)法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等，在解該類(lèi)問(wèn)題時(shí)，不能將解題思路局限在某一個(gè)解題方法上，而要根據(jù)題目的特點(diǎn)，選取合適的解題策略。為了讓學(xué)生能夠快速而準(zhǔn)確地找到解題思路，作為高中數(shù)學(xué)教師，我們?cè)谡n堂教學(xué)時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)他們養(yǎng)成善于觀察、善于總結(jié)的好習(xí)慣，掌握一定的解題策略與技巧，從而在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠輕松地找到解題思路，并進(jìn)行求解。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 何桂琴.關(guān)于恒成立問(wèn)題的思考與解決[J].高中數(shù)理化，2013（24）.

[2] 鄧衛(wèi)和.淺析“有解”與“恒成立”問(wèn)題[J].考試周刊，2014（87）.