淺談三角恒等變形的策略與方法

張劍洪

三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)，在每年的高考解答題中都進(jìn)行了考查，主要分為以下幾類：一是考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，尤其是三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)性、圖象變換、對(duì)稱分析（對(duì)稱中心、對(duì)稱軸）；二是考查三角函數(shù)式的恒等變形（化簡(jiǎn)求值）；三是考查正弦定理和余弦定理；四是考查綜合與應(yīng)用，運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問題及三角知識(shí)與立體幾何、解析幾何、平面向量、數(shù)列等綜合命題，

體現(xiàn)三角的工具性作用。為了更好地解決此類問題，本文對(duì)三角恒等變形及其應(yīng)用作一總結(jié)分析。

三角恒等變形的實(shí)質(zhì)是對(duì)角、函數(shù)名稱及運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是一系列的三角公式，因此對(duì)三角公式在實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用應(yīng)有足夠的了解：①同角三角函數(shù)關(guān)系——可實(shí)現(xiàn)函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化；②誘導(dǎo)公式及和、差、倍角的三角函數(shù)——可以實(shí)現(xiàn)角的形式的轉(zhuǎn)化；③倍角公式及其變形公式——可實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)的升冪或降冪的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也可完成角的轉(zhuǎn)化。

三角函數(shù)的恒等變形的通性通法是：從函數(shù)名、角、運(yùn)算三方面進(jìn)行差異分析，常用的技巧有：切割化弦、降冪、用三角公式轉(zhuǎn)化出特殊角、異角化同角、異名化同名、高次化低次等。下面通過例題的解題證明，對(duì)三角恒等變形的解題策略與方法作初步的探討研究。

一、變換函數(shù)名

對(duì)于含同角的三角函數(shù)式，通常利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，通過“切割化弦”、“正余互化”等途徑來(lái)減少或統(tǒng)一所需變換的式子中函數(shù)的種類，這就是變換函數(shù)名法。它實(shí)質(zhì)上是“歸一”思想，通過同一和化歸以有利于問題的解決或發(fā)現(xiàn)解題途徑。

例1：已知，，求的值.

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六、添補(bǔ)法

與代數(shù)恒等變換一樣，在三角變換中有時(shí)應(yīng)用添補(bǔ)法對(duì)原式作一定的添項(xiàng)裂項(xiàng)會(huì)使某些問題很便利地得以解決。將原式“配上一個(gè)因子，同時(shí)除以這個(gè)式子也是添補(bǔ)法的一種特殊情形”。

例9：求的值.

分析：題中的三個(gè)角成倍數(shù)關(guān)系，添加一項(xiàng)可以實(shí)現(xiàn)降冪升角從而解決問題.

解：

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以上探討了三角變換中的六種變換思想和解題方法，在實(shí)際解題中這些方法是交織在一起的，混合于同一問題中靈活使用。掌握這些變換方法的前提是熟悉公式，善于公式的變形運(yùn)用，同時(shí)注意縱橫聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)用發(fā)散性的思維考慮問題。

三角恒等變形在整個(gè)初等數(shù)學(xué)中涉及面廣，是常用的解題工具，而且由于三角公式眾多，方法靈活多變，若能熟練掌握三角恒等變形的技巧，不但能加深對(duì)三角公式的記憶與內(nèi)在聯(lián)系的理解，而且對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力都大有益處。