高中數(shù)學(xué)超幾何分布與二項(xiàng)分布解題策略

周小興

【摘 要】概率與統(tǒng)計(jì)中超幾何分布與二項(xiàng)分布在高考中也處于相對重要的位置，命題方向主要有兩類：第一類命題直接考查二項(xiàng)分布和超幾何分布；第二類是借用二項(xiàng)分布和超幾何分布的計(jì)算概率的思想，但題目所研究的隨機(jī)變量并不服從二項(xiàng)分布和超幾何分布。正確識別隨機(jī)變量分布模型，了解命題規(guī)律，有針對性練習(xí)，才能提高解題效率。

【關(guān)鍵詞】超幾何分布；二項(xiàng)分布；解題策略

超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實(shí)際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決。概率與統(tǒng)計(jì)中超幾何分布與二項(xiàng)分布在高考中也處于相對重要的位置，命題方向主要有兩類：第一類命題直接考查二項(xiàng)分布和超幾何分布；第二類是借用二項(xiàng)分布和超幾何分布的計(jì)算概率的思想，但題目所研究的隨機(jī)變量并不服從二項(xiàng)分布和超幾何分布。學(xué)生在平時學(xué)習(xí)中應(yīng)重視超幾何分布與二項(xiàng)分布概念辨析，正確識別超幾何分布與二項(xiàng)分布模型，了解命題規(guī)律，有針對性練習(xí)，才能提高復(fù)習(xí)效率。

一、超幾何分布與二項(xiàng)分布定義

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*。此時稱X服從超幾何分布，記為X～H（n，M，N）。

在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為：P（X=k）=CnkPk（1-p）n-k

（k=0，1，2，...n），此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布記作X～ B（n，p）。

超幾何分布是不放回抽取，而二項(xiàng)分布是放回抽取，為多次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)；超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；超幾何分布的應(yīng)用中，常見的模型常有較明顯的兩部分，如“正品”與“次品”，“男生”與“女生”，“優(yōu)”與“劣”等。二項(xiàng)分布的應(yīng)用中，常見的模型涉及試驗(yàn)次數(shù)，如“射擊次數(shù)”， “摸球次數(shù)”， “幾人試驗(yàn)”。

二、超幾何分布與二項(xiàng)分布直接應(yīng)用

超幾何分布與二項(xiàng)分布直接應(yīng)用題目主要考查超幾何分布與二項(xiàng)分布概念，

首先根據(jù)題意判斷隨機(jī)變量是超幾何分布還是二項(xiàng)分布，然后求隨機(jī)事件概率。

例1.在一個口袋中裝有30個球，其中有10個紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同。

（1）游戲者一次從中摸出5個球.摸到4個紅球就中一等獎，那么獲一等獎的概率是多少？

（2）游戲者一次從中摸出1個球，并放回，連續(xù)摸5次。摸到4個紅球就中一等獎，那么獲一等獎的概率是多少？

解：（1）游戲者一次從中摸出5個球，相當(dāng)于一次從中摸出1個球，不放回，連續(xù)摸5次，此問題歸結(jié)為超幾何分布模型。用X表示摸到的紅球數(shù)，則

所以獲一等獎的概率是0.029.

（2）游戲者一次從中摸出1個球，并放回，連續(xù)摸5次，相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)， 此問題歸結(jié)為二項(xiàng)分布模型。用X表示摸到的紅球數(shù)，則

所以獲一等獎的概率是0.041。

三、借用超幾何分布與二項(xiàng)分布計(jì)算隨機(jī)事件概率

借用超幾何分布與二項(xiàng)分布計(jì)算隨機(jī)事件概率是指題目所求隨機(jī)變量X不滿足超幾何分布與二項(xiàng)分布，但是與之相關(guān)隨機(jī)變量Y滿足超幾何分布與二項(xiàng)分布，此時可以借用隨機(jī)變量Y的分布列研究隨機(jī)變量X的分布列。

例2.袋中有7個大小相同的球，其中有3個白球、4個黑球。若每次摸到1個白球得2分，摸到1個黑球得1分。求：

（1）從袋中一次摸出4個球，恰得5分的概率。

（2）從袋中有放回地一個一個地摸4次，恰得5分的概率。

解：（1）從袋中一次摸出4個球，摸到的白球數(shù)記為Y，得到分?jǐn)?shù)記為X，顯然Y服從超幾何分布，X不服從超幾何分布，但是只有摸出1白、3黑就得5分，即，故可以借用超幾何分布的計(jì)算隨機(jī)事件“從袋中一次摸出4個球，恰得5分”的概率。

所以

（2）從袋中有放回地一個一個地摸4次，摸到的白球數(shù)記為Y，得到分?jǐn)?shù)記為Z，顯然Y服從二項(xiàng)分布，Z不服從二項(xiàng)分布，但是只有摸出1白、3黑就得5分，即P（Z=5）=P（Y=1），故可以借用二項(xiàng)分布的計(jì)算隨機(jī)事件“從袋中一次摸出4個球，恰得5分”的概率。

所以P（Z=5）=P（Y=1）