電學(xué)教學(xué)及競賽中含源電路的簡化和計算

董世金

高中電類課教學(xué)及競賽中解決電路問題時，經(jīng)常會涉及復(fù)雜的含源電路的簡化和計算.本文通過具體實例，介紹如何解決這一類問題.

一、簡化含源電路的兩個基本工具

1.戴維南定理

一個由獨立源、線性電阻、線性受控源組成的二端網(wǎng)絡(luò)，可以用一個電壓源和電阻串聯(lián)的二端網(wǎng)絡(luò)等效（事實上，也可等效為“電流源和電阻并聯(lián)的的二端網(wǎng)絡(luò)”這就是諾頓定理）.

2.基爾霍夫定律

基爾霍夫第一定律：在任一時刻流入電路中某一節(jié)點的電流強(qiáng)度的總和，等于從該點流出的電流強(qiáng)度的總和.基爾霍夫第二定律：在電路中任取一閉合回路，并規(guī)定正的繞行方向，其中電動勢的代數(shù)和等于各部分電阻（在交流電路中為阻抗）與電流強(qiáng)度乘積的代數(shù)和.

二、含源電路的簡化和計算

1.利用戴維南定理

應(yīng)用方法其等效電路電壓源的電動勢等于網(wǎng)絡(luò)的開路電壓，其串聯(lián)電阻等于從端鈕看進(jìn)去該網(wǎng)絡(luò)中所有獨立源為零值（可看做將電源短路，只保留內(nèi)阻）時的等效電阻.

例1在如圖1甲所示電路中，電源ε=1.4 V，內(nèi)阻不計，R1=R4=2 Ω，R2=R3=R5=1 Ω，試用戴維南定理求通過電阻R5的電流.

分析與解用戴維南定理的目的是將電源系統(tǒng)或與電源相關(guān)聯(lián)的部分電路等效為一個電源，然后直接應(yīng)用閉合電路歐姆定律.此電路中的電源只有一個，我們可以采用后一種思路，將除R5之外的電阻均看成“與電源相關(guān)聯(lián)的”部分，將電路做“拓?fù)洹弊儞Q為圖1乙圖，這時候，P、Q兩點可看成“新電源”的兩極，設(shè)新電源的電動勢為ε′，內(nèi)阻為r′，則

r′=R1∥R2+R3∥R4=43 Ω，

ε′為P、Q開路時的電壓，開路時，R1的電流I1和R3中電流I3相等，I1=I3=ε（R1+R2）∥（R3+R4）·12=715 A，令“老電源”的負(fù)極接地，則UP=I1R2=715 V，UQ=I3R4=1415 V，所以ε′=UQP=715 V.

最后將電路演化為圖1丙，通過閉合電路歐姆定律得R5中電流大小為0.20 A，方向（在甲圖中）向上.

2.利用基爾霍夫定律

應(yīng)用方法利用基爾霍夫第一定律和第二定律解題，首先必須確定獨立方程的個數(shù)：

基爾霍夫第一定律的獨立方程個數(shù)為節(jié)點總數(shù)減一；基爾霍夫第二定律的獨立方程個數(shù)則為獨立回路的個數(shù).而且，獨立回路的個數(shù)m應(yīng)該這樣計算：m=p-n+1.

其中p為支路數(shù)目（不同電流值的數(shù)目），n為節(jié)點個數(shù).譬如，在圖2所示的三個電路中，m應(yīng)該這樣計算：

甲圖，p=3，n=2，m=3-2+1=2；

乙圖，p=6，n=4，m=6-4+1=3；

丙圖，p=8，n=5，m=8-5+1=4.

以上的數(shù)目也就是三個電路中根據(jù)基爾霍夫第二定律列出的獨立方程個數(shù).

例2在圖3所示的電路中，ε1=32 V，ε2=24 V，兩電源的內(nèi)阻均不計，R1=5 Ω，R2=6 Ω，R3=54 Ω，求各支路中的電流.

分析與解這是一個基爾霍夫定律的基本應(yīng)用，第一定律的方程個數(shù)為n-1=1，第二方程的個數(shù)為p-n+1=2.

由第一定律得：I3=I1+I2①

由第二定律得：

左回路ε1-ε2=I1R1-I2R2②

右回路ε2=I2R2+I3R3③

代入數(shù)字后，從這三個方程不難解出：

I1=1.0 A，I2=-0.5 A，I3=0.5 A.

這里I2的負(fù)號表明實際電流方向和假定方向相反.

R1的電流大小為1.0 A，方向向上，R2的電流大小為0.5 A，方向向下，R3的電流大小為0.5 A，方向向下.

例3用基爾霍夫定律解圖1甲所示電路中R5的電流（所有已知條件不變）.

分析與解此電路p=6，n=4，故基爾霍夫第一定律方程個數(shù)為3，第二定律方程個數(shù)為3.

為了方便，將獨立回路編號為Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ，電流只設(shè)了三個未知量I1、I2和I3，其它三個電流則直接用三個第一定律方程表達(dá)出來，如圖4所示.這樣我們只需解三個基爾霍夫第二定律方程就可以了.

對Ⅰ回路，有I2R1+I1R5-I3R3=0，

即2I2+1I1-1I3=0①

對Ⅱ回路，有（I2-I1）R2-（I1+I3）R4-I1R5=0，

即1（I2-I1）-2（I1+I3）-1I1=0②

對Ⅲ回路，有ε=I3R3+（I1+I3）R4，

即1.4=1I3+2（I1+I3）③

解①②③式不難得出

I1=-0.2 A.（I2=0.4 A，I3=0.6 A）

例4求解圖5所示電路中流過30 Ω電阻的電流.

分析與解基爾霍夫第一定律方程2個，已在圖中體現(xiàn).

基爾霍夫第二定律方程3個，分別為：

對Ⅰ回路，有100=（I2-I1）·10+I2·10①

對Ⅱ回路，有40=I2·10+I1·30-I3·10②

對Ⅲ回路，有100=I3·10+（I1+I3）·10③

解①②③式不難得出I1=1.0 A （I2=5.5 A，I3=4.5 A）

流過30 Ω電阻的電流大小為1.0 A，方向向左.

綜上所述，利用戴維南定理和基爾霍夫定律兩大工具，可以使高中電類課教學(xué)及競賽中復(fù)雜的含源電路得以簡化，從而達(dá)到電路計算的目的.