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    新課標(biāo)數(shù)學(xué)教學(xué)中的向量教學(xué)

    2016-05-14 00:13李向陽
    理科考試研究·高中 2016年6期
    關(guān)鍵詞:向量函數(shù)解題

    李向陽

    向量作為新時(shí)期高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和能力的發(fā)展具有非常積極的意義,已經(jīng)成為教師教學(xué)的關(guān)鍵.高中數(shù)學(xué)向量部分知識(shí)內(nèi)容較為復(fù)雜,主要包括向量基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)及向量在函數(shù)、立體幾何等中的應(yīng)用兩大部分.在教學(xué)過程中教師要結(jié)合上述內(nèi)容形成針對(duì)性教學(xué)策略,對(duì)向量知識(shí)及其應(yīng)用進(jìn)行講解,從而確保學(xué)生能夠正確運(yùn)用向量知識(shí)求解數(shù)學(xué)問題.

    一、向量的基礎(chǔ)知識(shí)及其運(yùn)用

    向量基礎(chǔ)知識(shí)主要包括向量的相關(guān)概念及向量的運(yùn)算兩部分內(nèi)容.教師在進(jìn)行向量概念教學(xué)的過程中要依照高中向量教學(xué)要求及教學(xué)內(nèi)容,對(duì)上述知識(shí)進(jìn)行匯總、提煉,確保形成良好的高中向量認(rèn)識(shí),明確高中向量概念教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容.在運(yùn)用向量的相關(guān)概念解題的過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生把握好向量的定義、表示方法和類別,從上述性質(zhì)出發(fā)把握向量的本質(zhì),確定解題的路徑.在運(yùn)用向量的運(yùn)算解題的過程中教師要鼓勵(lì)學(xué)生耐心、細(xì)心解題,借助運(yùn)算對(duì)向量習(xí)題進(jìn)行求解,得到相應(yīng)的答案,其具體狀況見例1.

    例1點(diǎn)D是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),并且滿足AB2+CD2=AC2+BD2,求證:AD⊥BC.

    解析對(duì)該例題進(jìn)行求解的過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生從垂直關(guān)系著手尋找各向量之間的關(guān)聯(lián).要證明AD⊥BC,則只需要證明AD·BC=0,因此,可以結(jié)合題目中所給定的條件設(shè)AD=m,AB=c,AC=b,將BC用m,b,c線性表示,實(shí)現(xiàn)向量的簡化,然后通過向量的運(yùn)算解,防止計(jì)算量過于復(fù)雜導(dǎo)致的關(guān)系錯(cuò)誤.

    證明設(shè)AB=c,AC=b,AD=m,

    則BD=AD-AB=m-c,CD=AD-AC=m-b.

    因?yàn)锳B2+CD2=AC2+BD2,

    所以c2+(m-b)2=b2+(m-c)2,

    即c2+m2-2m·b+b2=b2+m2-2m·c+c2,

    所以m·(c-b)=0,即AD·(AB-AC)=0,

    所以AD·CB=0,所以AD⊥BC.

    二、向量求解函數(shù)問題的運(yùn)用

    向量求解函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的關(guān)鍵問題.這種問題的難度較大,包含知識(shí)點(diǎn)較為豐富.在教學(xué)的過程中教師要把握好向量知識(shí)體系,結(jié)合函數(shù)問題尋找向量與函數(shù)之間的關(guān)系,確定相應(yīng)的關(guān)系式,構(gòu)建解題橋梁.

    常規(guī)向量及函數(shù)問題求解的過程中要把握好以下幾方面知識(shí)內(nèi)容,其主要包括:(1)對(duì)三角函數(shù)有界定義、三角函數(shù)最大(小)值、三角函數(shù)有界點(diǎn)、三角函數(shù)對(duì)稱軸知識(shí)及概念;(2)三角函數(shù)加減法、乘除法運(yùn)算知識(shí);(3)三角函數(shù)圖象知識(shí);(4)向量數(shù)乘、數(shù)量積知識(shí)等.教師要引導(dǎo)學(xué)生從上述知識(shí)點(diǎn)出發(fā)尋找向量與函數(shù)間的基本關(guān)系及限定,尋找解題路徑.

    教師要認(rèn)真思考提高教學(xué)效率的方法,合理使用多種多樣的教學(xué)方式來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,讓學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)向量不再害怕、不再迷茫,并能從中感受到學(xué)習(xí)的樂趣,進(jìn)而提高高中向量教學(xué)的學(xué)習(xí)效率.筆者在教學(xué)的過程中就常通過層次性例題教學(xué)讓學(xué)生加深對(duì)向量的認(rèn)識(shí),其具體狀況見例2.

    例2f(x)=a·b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(π4,2).

    (Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;

    (Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的最小值及此時(shí)x值的集合.

    解析在對(duì)上題進(jìn)行求解的過程中,教師可以指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)計(jì)算,根據(jù)第1、2、3部分內(nèi)容,對(duì)f(x)=a·b的值進(jìn)行求解.完成求解后由三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化求出m值.

    解答(Ⅰ) f(x)=a·b=m(1+sin2x)+cos2x,

    由已知f(π4)=m(1+sinπ2)+cosπ2=2,得m=1.

    (Ⅱ)由上可知

    f(x)=1+sin2x+cos2x=1+2sin(2x+π4).

    所以當(dāng)sin(2x+π4)=-1時(shí),

    y=f(x)的最小值為1-2,

    由sin(2x+π4)=-1,

    得x值的集合為{x|x=kπ-3π8,k∈Z}.

    這類的題目整體難度適中,主要是對(duì)學(xué)生計(jì)算能力和認(rèn)真度的考查,是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的檢驗(yàn).在進(jìn)行該部分復(fù)習(xí)的過程中,教師要指導(dǎo)學(xué)生依照解題步驟進(jìn)行操作和計(jì)算,得出結(jié)果后要及時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn).通過檢驗(yàn)提高學(xué)生做題的準(zhǔn)確性,保證學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

    三、向量求解立體幾何的運(yùn)用

    向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中,是行之有效的方法,它降低了立幾中求證和求解的難度,是一種非常高效和便捷的解題手段.運(yùn)用向量法解決立體幾何問題的過程中,要通過“作”、“證”、“求”三步,在空間想象過程中對(duì)空間中,線、面之間的關(guān)系進(jìn)行判定,確定相應(yīng)的向量關(guān)系式,尋找向量求解立體幾何的路徑.

    向量法則很好展現(xiàn)了立體幾何中復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系,以向量對(duì)關(guān)系狀況進(jìn)行表達(dá)非常簡潔和清晰,解題過程中避免了過多坐標(biāo)量導(dǎo)致的計(jì)算錯(cuò)誤,所以它對(duì)人們研究立幾問題有著普及的意義.尤其是在立體幾何中線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關(guān)系的證明時(shí),更能達(dá)到事半功倍的效果.

    例3設(shè)a=(a1,a2,a3),b=b1,b2,b3,且a≠b,記|a-b|=m,求a-b與x軸正方向的夾角的余弦值.

    解析本題主要考察了向量夾角余弦值的求解方法,解題的過程中找出兩個(gè)向量之間的關(guān)系后,直接用余弦值求解公式即可.因此,要在a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)與x軸正方向向量c=(x,0,0)之間建立點(diǎn)積關(guān)系.

    解答取x軸正方向的任一向量c=(x,0,0),設(shè)所求夾角為α,

    因?yàn)椋╝-b)·c=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)·(x,0,0)

    =(a1-b1)x,

    所以cosα=(a-b)·c|a-b||c|=(a1-b1)xmx=a1-b1m,

    即為所求.

    基礎(chǔ)部分知識(shí)解題時(shí)難度較小,在對(duì)該類習(xí)題進(jìn)行求解的過程中只要將向量關(guān)系代入后求解即可.部分情況下可以采用逆向思維倒推,從而找到向量關(guān)系式,完成問題的處理.

    四、向量求解解析幾何的運(yùn)用

    在高中數(shù)學(xué)體系中,解析幾何占有著很重要的地位,有些問題用常規(guī)方法去解決往往運(yùn)算比較繁雜,運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化則會(huì)大大簡化過程,實(shí)現(xiàn)解析幾何的化簡,從根本上提升問題的處理效益.但是應(yīng)用向量求解解析幾何問題的過程中,教師要解析結(jié)合中常用的向量關(guān)系式進(jìn)行歸納和總結(jié),從學(xué)生感興趣的內(nèi)容出發(fā),構(gòu)建相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生進(jìn)行解題聯(lián)系,這樣才能夠讓學(xué)生快速找到解析幾何中的解題點(diǎn).

    例4已知A(-3,0),B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=4.

    (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;

    (2)過點(diǎn)(1,0)作直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn),求OM·ON的取值范圍.

    解析該題求解的過程中主要把握好數(shù)量積的關(guān)系式,要在數(shù)量積的基礎(chǔ)上借助函數(shù)最值關(guān)系求解OM·ON的取值范圍.

    解答(1)由題目中的關(guān)系量可知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x24+y2=1.

    (2)當(dāng)直線l為x軸時(shí),

    M(-2,0),N(2,0),OM·ON=-4.

    當(dāng)直線l不為x軸時(shí),設(shè)過(1,0)的直線l:x=λy+1,

    代入曲線C的方程得(4+λ2)y2+2λy-3=0.

    設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),

    則y1+y2=-2λ4+λ2,y1y2=-34+λ2.

    OM·ON=x1x2+y1y2=(λ2+1)y1y2+λ(y1+y2)+1

    =-4λ2+14+λ2=-4+174+λ2∈(-4,14].

    所以O(shè)M·ON的取值范圍為[-4,14].

    向量處理解析幾何問題的過程中需要找準(zhǔn)向量關(guān)系,以該關(guān)系作為突破口解題,對(duì)復(fù)雜的解析幾何關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,完成問題的簡化.

    高中數(shù)學(xué)向量知識(shí)教學(xué)的過程中教師要對(duì)向量知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理,在該基礎(chǔ)上形成針對(duì)性框架體系,對(duì)各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行明確,從而實(shí)現(xiàn)向量知識(shí)內(nèi)容的全面把握.教師要有目的性地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行各種類型向量習(xí)題的訓(xùn)練,在實(shí)際訓(xùn)練中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的不足并給予相應(yīng)的建議,潛移默化中提升學(xué)生向量問題處理效果.

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