“裂項相消”是數(shù)列求和的方法之源

廉萬朝

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點內(nèi)容之一，但是，無論是教材還是各種資料，給出的數(shù)列求和的方法多種多樣，如“公式法”（即等差、等比數(shù)列前n項和的公式），“分組求和法”（即通項公式形如（其中a，b，c，q均為常數(shù)）的數(shù)列求和），“裂項相消法”、“錯位相減法”等一系列的方法.筆者經(jīng)過探討an=（an+b）+c·qn發(fā)現(xiàn)，其實這些問題均可以通過“裂項相消法”予以解決. 本文對此加以解釋說明，僅供參考！

一、等差數(shù)列的前n項和公式推導

教材中對于等差數(shù)列的前n項和公式的推導，采用的是“倒序相加法”，其實也可以利用“裂項相消法”求和來推導.

問題1若數(shù)列{an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解析等差數(shù)列{an}的通項公式為an=a1-d+dn，只需對正整數(shù)n進行 “裂項”即可，而其余項均為常數(shù)項.

由于n=（n+1）2-n22-12，

所以an=（a1-d）+d[（n+1）2-n22-12]

=（a1-32d）+d2[（n+1）2-n2].

于是

Sn=（a1-32d）n+d2[（22-1）+（32-22）+（42-32）

+…+（n+1）2-n2]

=（a1-32d）n+d2[（n+1）2-1]

=na1+n（n-1）d2.

從而得到等差數(shù)列{an}的前n項和公式為

Sn=na1+n（n-1）d2.

二、等比數(shù)列的前n項和公式推導

教材中對等比數(shù)列前n項和公式的推導，采用的是 “錯位相加法”，也可以采用“裂項相消法”推導.

問題2數(shù)列{an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，求其前n項和Sn.

解析當q=1時，Sn=na1是顯而易見的，我們只探討公比q≠1的情況，只需要對qn進行“裂項”，

由于qn=1q-1（qn+1-qn），

所以，等比數(shù)列{an}的通項公式

an=a1qn-1=a1q-1（qn-qn-1）.

于是

Sn=a1q-1[（q1-q0）+（q2-q1）+（q3-q2）+…

+（qn-qn-1）]

=a1q-1（qn-1）.

從而得到等比數(shù)列的前n項和公式.

三、通項公式形如an=（an+b）qn （其中a，b，q為常數(shù)，且q≠1）的數(shù)列求和

各種資料對這種形式的數(shù)列求和，都采用“錯位相減法”，本文采用“裂項相消”予以解決，并加以推廣.

問題3若數(shù)列{an}的通項公式為an=（2n+1）·3n，求該數(shù)列的前n項和Sn.

解析利用待定系數(shù)法對通項公式進行“裂項”.

設(shè)an=（2n+1）·3n

=[a（n+1）+b]·3n+1-（an+b）·3n，

解得a=1，b=-1，

于是an=（2n+1）·3n

=[（n+1）-1]·3n+1-（n-1）·3n，

所以Sn=（32-0）+（2×33-32）+（3×34-2×33）

+…+{[（n+1）-1]·3n+1-（n-1）·3n}

=[（n+1）-1]·3n+1=n·3n+1.

對于一般情況，當數(shù)列{an}的通項公式為an=（an+b）qn （其中a，b，q為常數(shù)，且q≠1）時，也同樣可以利用待定系數(shù)法對通項公式進行“裂項”，即an=（an+b）qn=[s（n+1）+t]qn+1-（sn+t）qn，待定出系數(shù)s，t，最終使其前n項的和能夠相消，達到求前n項和的目的.

上述問題還可推廣為：數(shù)列{an}的通項公式為an=（an2+bn+c）qn （其中a，b，c，q為常數(shù)，且q≠1），也同樣可以利用待定系數(shù)法進行“裂項”，即an=（an2+bn+c）qn=[s（n+1）2+t（n+1）+r]qn+1-（sn2+tn+r）qn，待定出系數(shù)s，t，r，使其前n項和能夠相消.甚至通項公式為an=f（n）qn （其中f（n）是關(guān)于n的多項式函數(shù)），均可以利用“裂項相消”進行數(shù)列求和，其思路方法同上，不再贅述.

四、其它幾類數(shù)列的求和

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{banan+1}（其中b為常數(shù)）的前n項和Sn的求法，以及通項公式an=1n+1+n及其相類似的問題，本身就采用“裂項相消”進行數(shù)列求和，不再贅述.

以上分析可以看出，對于數(shù)列求和的常見問題，都可以采用“裂項相消”進行數(shù)列求和，因而“裂項相消”成為數(shù)列求和的方法之源，也使得數(shù)列求和的方法得以統(tǒng)一.