數(shù)列型不等式想說愛你不容易

金雅芳

縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)卷，很多壓軸試題多為數(shù)列與不等式相交匯的試題，其中往往涉及證明數(shù)列型不等式.這類問題融計(jì)算、推理于一體，不但考查證明數(shù)列不等式的各種方法，也是對考生的數(shù)學(xué)閱讀、理解、轉(zhuǎn)化等能力的綜合考量，難度不小.碰到這樣的問題，考生第一時(shí)間往往會望而生畏，真可謂：“想說愛你不容易”.其實(shí)數(shù)列型不等式的求解或求證是萬變不離其宗的，只要解題策略正確、方法得當(dāng)，還是有章可循的.因此，在數(shù)列復(fù)習(xí)教學(xué)中，要把握好數(shù)列與不等式之間的交匯點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)陌胃?，要求學(xué)生將數(shù)列不等式試題串成一條主線，即用不同的放縮技巧來進(jìn)行證明.在放縮過程中，會合理地使用裂項(xiàng)放縮法、等比放縮法、函數(shù)放縮法及二項(xiàng)放縮法等方法處理結(jié)果.下面舉隅一二，與讀者共享數(shù)學(xué)之美.

一、裂項(xiàng)放縮法求證數(shù)列不等式

常見的恒等變換：

（1）11×2+12×3+…+1n（n+1）=1-1n+1<1；

（2）11×3+12×4+13×5+…+1n（n+2）=12（1+12-1n+1-1n+2）<34；

（3）12×3+14×5+…+12n（2n+1）<16+14（1-12+12-13+…+1n-1-1n）=512-14n<512；

（4）12×3+14×5+…+12n（2n+1）<16+12（13-15+15-17…+12n-1-12n+1）=13-14n+2<13.

……

例1設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N*；

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）證明：1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）<13（n∈N*）

解析（Ⅰ）由題可得，[Sn-（n2+n）]（Sn+3）=0，又各項(xiàng)均為正數(shù)，故Sn=n2+n，

則an=S1n=1，

Sn-Sn-1，n≥2，即an=2，n=1，

2n，n≥2.

綜上an=2n （n∈N*）

（Ⅱ）可有1an（an+1）=12n（2n+1）<1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）.

當(dāng)n=1時(shí)，1a1（a1+1）=16<13成立；

當(dāng)n≥2時(shí)，

1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）

<16+12（13-15+15-17+…+12n-1-12n+1）

=16+12（13-12n+1）=13-12（2n+1）<13.

綜上所述，對一切正整數(shù)n，均有1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）<13成立.

二、等比放縮法求證數(shù)列不等式

常見的恒等變換：

（1）12+122+…+12n=12[1-（12）n]1-12=1-（12）n<1；

（2）13-1+132-1+…+13n-1<23+232+…+23n

=2×13[1-（13）n]1-13=1-（13）n<1；

（3）13-1+132-1+…+13n-1<12+232+…+23n

=12+29[1-（13）n-1]1-13=56-（13）n<56.

例2已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

（Ⅰ）證明：{an+12}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）證明：1a1+1a2+…+1an<32.

解析（Ⅰ）因?yàn)閍n+1+12an+12=3an+1+12an+12=3，

所以{an+12} 是等比數(shù)列.

又an+12=（a1+12）·3n-1=12·3n，則an=3n-12.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，1an=23n-1≤33n=13n-1，

1a1+1a2+…+1an≤1+13+132+…+13n-1

=1[1-（13）n]1-13=32[1-（13）n]<32，

即證1a1+1a2+…+1an<32.

數(shù)列與不等式的結(jié)合，是高考的熱點(diǎn)性題型，也是高考復(fù)習(xí)需攻破的一個難點(diǎn).在日常教學(xué)中，教師應(yīng)對一些典型試題開展“一題多解”、尋找最優(yōu)解等活動，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，通過解一題、帶一片，強(qiáng)化知識的正遷移，從數(shù)學(xué)模仿秀開始，逐步了解數(shù)列型不等式的求解思路及解題策略，最終達(dá)成問題的求解.